Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Алгоритмы адаптивного улравлгния с ЭМ 2о7 обычной задачей управления и не связано спецификой адаптивного управления. Параметрическая сходимость. При адаптивном управлении с ЭМ основное целевое условие — это обеспечение сходимости к нулю ошибки слежения е(1) = у(1) — у (1). Если параметры регулятора принимают идеальные значения, то, естественно, это условие будет выполнено. Однако из сходимости к нулю ошибки слежения не следует параметрическая сходимость — сходимость варьируемых параметров к идеальным значениям. Параметрическая сходимость зависит от структуры (гсложностнс) задающего воздействия. Если задающее воздействие простое, например константа, то по окончании процесса адаптации варьируемые параметры в зависимости от начальных условий могут принять различные значения.
Однако когда задающее воздействие д(1) обладает таким свойством, что выполняется так называемое условие постоянного возбуждения, то сходимость к нулю ошибки слежения влечет за собой параметрическую сходимость. Определение 11.1. Условие постоянного возбуждения и— векторного сигнала»(1) выполняется, если существуют положительные константы Т и а такие, что при любом 1 > О н-т »(т)» (г) > аул, с гдг ҄— единичная матрица порядка и. Адаптивное управление по состоянию линейным объектом.
Постановка задачи. Пусть линейный объект описывается уравнением (л) (сс-!) аоу +а! у + "+а„у=и, где у — выход, и — управление, ас (с = О, 1, ..., и) — неизвестные пара- метры; знак ао известен. Эталонная модель задается уравнением (л) (л- !) у +а! у +". +алу = Дэд(1). т т (1 1.2) е(1) =у(1) — у (1) О при( с . Ниже при записи решения используется (и х 1)-матрица В = (О О ".
О 1)' (1 1.3) Здесь у — выход эталонной модели, ас (с = 1, 2, ..., и) и дэ — известные положительные постоянные, д(1) — задающее воздействие. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка слежения 288 Ги 11. Адаптивные системы правления и (и х и)-матрица Р, которая является решением уравнения Ляпунова РА+ АтР где Я вЂ” положительно определенная матрица, А — (п х и)-матрица 0 1 0 " 0 0 0 1 " 0 0 0 0 " 1 -О„-О„~ -О„з " -Сь~ (11 А) в которой элементами последней строки являются коэффициенты урав- нения эталонной модели. Утверждение 11.1.
Алгоритмом адаптивного управления с ЭМ (11.2) линейным объектом (11.1), обеспечивающим глобальную устойчивость и слодимость оисибки е($) = у(2) — у (2) к нулю при 2 — оо, является ! О т и= Йоу($)+ Й! у +".+ Й„у = 1с ч, (11.5а) )с = — а!йп(ао)ГчВтрх, (11.56) а значение д учесть при выборе матрицы Г. Уравнение синтезируемой системы (11.1), (11.5а) совпадает с уравнением эталонной модели, когда Йо = Йо = ао,бо, Йс = Й,* = а — аоа . (11.6) Коэффициенты Й; (1 = О, 1, ..., и) по определению являются идеальными. И если для каких-либо коэффициентов алгоритма управления (11.5а) априорная информация позволяет вычислить их идеальные значения, то, естественно, нет необходимости для их определения использовать алгоритм адаптации (11.56). Пример 11.1. Объект описывается уравнением у'+ Зу+ азу = и, где 1с = (Йо Йс - Й„)2 — (и+1)-вектор варьируемых параметров (н-1) (н-2) регулятора, ч = (д у у " у)2 — (п+ 1)-вектор сигналов, Г-произвольная положительно определенная (и+ 1) х (и+ 1)-мат!" ')т рица, х = (е е "° е )т-вектор состояния.
Если в качестве с,) принимается матрица д1„(д > 0,.1„-единичная матрица и-го порядка), то, не нарушая общности, можно при записи уравнения Ляпунова принять д = 1, т.е. рассмотреть уравнение РА+ АтР !Дй Алгаривигм адаавивиага правления с ЗМ 289 где аз-неизвестный параметр; уравнение эталонной модели имеет вид 9тп + 21ь + рт = 9(т) Определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего ограниченность всех переменных и сходимость ошибки с = у — р к нулю при з- оо. Решение. В данном случае сп = 2 и оэ = 1, матрицы А и В имеют вид А=~ ~, В (). Уравнение Ляпунова после перемножения матриц принимает вид — Рзз Рз~ — 2рзз н — 2Рл рьз — 2рзз О 1 -2р~з = — 1, Рп — 2Рш — Раз = О 2рщ — 4Рзз = — 1.
Эта система имеет следующее решение: 1 1 3 Рш= — * Рю= —. Рп= —. 2* 2' 2' Поэтому матрица Р имеет вид 3/2 1/2 1 3 1 Так как известны коэффициенты ао =1, а~=3, то по формуле (11.6) находим йз = йо = 1, Й~ = й~ —— 3 — 2 = 1.
ВданномслУчаео= (дпу) их=(ее) (е=Р— П ). ПРинЯв Г= У1з, по формуле с (11.5б) получаем йо й, йз 2 9 (О 1) 3 '. =-'('+ ) 9 Это уравнение, учитывая равенство рм = Рты можно записать в виде системы 29О Гя. 11, Адаптивные системы правления Отсюда и в соответствии с соотношением (11.5а) для адаптивного алгоритма управления находим 1 п = д+ У'+ йгУ, йг = — -7(е+ е)У. 2 ДГ(р) Ьо 0(Р) йР + 1Р + ' + и- (117) 44) р" + р"-'+ -"+ н выбрана эталонная модель с передаточной функцией 1)„(р)=й -(Р— й " + ' ' +"'+ '; (11.8) Е (р) р" + Ю" '+" +М Йз, 6; (1 = 1, 2, ..., п — 1), аь (к = 1, 2, ..., и) — неизвестные параметры объекта, знак Йо известен; Р (р), В р) — устойчивые полиномы, 1 и передаточная функция гг' (р) является строго вещественно-положительной, т. е.
она устойчива и Ве И'(у~) > 0 при все ш > О. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка е(г) = У(с) — У (г) стремится к нулю при 1 — оо. При этом в алгоритмах управления и адаптации должны быть использованы только доступные измерению сигналы (задающее воздействие, входной и выходной сигналы объекта) и сигналы, которые получаются путем их фильтрации, т.е. сигналы на выходе фильтров, иа вход которых подаются указанные сигналы.
Принимается, что уравнения фильтров в нормальной форме Коши имеют вид (11.9а) (11.96) Ф = Еч+Рп, й = Ев+ Гу. Здесь ч = (ш пг ... п„~) — (и — 1)-вектор переменных, получаемых путем фильтрации входного сигнала (управления) объекта; Адаптивное управление по выходу линейным объектом с единичным относительным порядком. Выше был рассмотрен случай, когда в уравнение объекта не входили производные управления или, что то же, когда относительный порядок передаточной функции объекта был равен ее порядку, и все фазовые координаты были доступны измерению. Однако обычно не все фазовые координаты доступны измерению. И чтобы получить их, нужно дифференцировать выходную переменную, что не желательно из-за помех, которые при этом возникают.
Ниже рассматривается адаптивное управление по выходу, т.е. такое управление, при котором в алгоритмах управления и адаптации используются только входной и выходной сигналы объекта и сигналы, получаемые путем их фильтрации. Постановка задачи. Пусть задан объекте передаточной функ- цией 11.1. Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ 291 и = (гы хз ... г !)' — (и — 1)-вектор переменных, получаемых путем фильтрации выходного сигнала объекта; Š— (и — 1) х (и — 1)-матрица, à — (и — 1) х 1 — матрица, и они имеют следующий вид: 0 1 0 " 0 0 0 1 " 0 0 0 0 0 0 " 1 -11а-~ -1У -з Рп-з " -А 0 1 П ри и е р 11.2. Пусть объект и эталонная модель задаются передаточными функциями р+Ь, р+ ! рт+ а~р+ аз' рз+ Зр+ 2' где йе, бп ап аз-неизвестные параметры, известен знак йо: 1се ) О. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего глобальную устойчивость системы и сходимость к нулю разности между выходами системы и эталонной модели.
Решение. Передаточная функция эталонной модели является строго вещественно-положительной, так как она устойчива, и вещественная часть частотной передаточной функции при любой частоте ы > 0 положительна: Веи' (1ы)=й ( 22 2)О. 2(1+ шз) "' 2 „~2)2 ! 9„,2 Здесь в последней строке матрицы Е стоят коэффициенты полинома числителя передаточной функции эталонной модели.
Утверждение 11.2. Алгоритмом адаптивного управления с ЭМ (11.8) линейным объектом (11.7), обгспечивающцм глобаль- ную устойчивость и сходимость ошибки е(С) = у(с) — у (с) к нулю при с — оо, является и ) „ч+)с,и+ Мяу+ йвд, )с„= — з18п(йо)тче, 1с, = — з18п(йе) 1хе, й„= — яйп(йо)туе, йв — — — з18п(кр) уде, где 1с„= (Й„~ )с з ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
