Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Идентификация, которую выполняет идентификатор, состоит в получении оценки неизвестных параметров объекта в реальном времени и в процессе нормального функционирования адаптивной системы управления. И поэтому ее называют адаптивной идентификацией. Сложность адаптивной идентификации заключается в том, что она происходит одновременно с процессами адаптации (подстройки параметров регулятора) и управления и необходимостью в этих условиях обеспечить работоспособность и прежде всего устойчивость системы управления. Модель для получения оценки. Сущность оценки параметров — это выделение информации о параметрах из доступных данных, получаемых путем измерения.
Для получения оценки используется модель для получения оценки, или идентификационная модель, которая связывает возможные данные с неизвестными параметрами. Довольно общей идентификационной моделью является линейная параметрическая форма у = И'(1)а, где у — выходной вектор, а в вектор неизвестных параметров, И'(г)— матричная функция, которая называется сигнальной матрицей. Выходной вектор и сигнальная матрица должны быть известны из данных, получаемых путем измерения сигналов системы.
В каждый момент времени идентификационная модель (11.10) представляет собой линейную систему уравнений относительно неизвестных параметров. Если даны измерения у(1) и Иг($) на некотором интервале времени, то имеем бесконечное число уравнений вида (11.10). Если даны значения у(8) и И'(1) в 1 дискретных точках, то имеем систему из 1 уравнений. Получение оценки неизвестных параметров сводится к решению этих избыточных уравнений для г неизвестных параметров. Для возможности получения оценки для г параметров необходимо иметь, по меньшей мере, г уравнений.
Однако, чтобы получить хорошую оценку параметров при присутствии шумов и ошибки в модели желательно иметь данные в больших точках. При определении оценки в реальном масштабе времени уравнения решаются рекурретно, так как данные об у(1) и Иг(Ф) обновляются с течением времени. Быстрота и точность оценки зависят от двух факторов: идентификационной модели и метода решения. Модель (11.10) является достаточно общей.
Любая линейная система может быть представлена в такой форме после надлежащего преобразования. Преобразование сводится к пропусканию измеряемых сигналов через фильтры, на выходе которых получаем преобразованные сигналы. Идентификационная модель линейного объекта. В общем случае линейный одномерный объект может быть задан Гл. 11, Адапмивныв сисмвмм правления уравнением А(р)у = В(р)и, (11.11) где А(р) = рп + о~рп-' .! + о В(р) — Ь,рп- ! Ь р -~ ! Разделив обе части на операторный полипом Ае(р) = р" + а! р" ' +... + а„, уравнение (1!.11) можно преобразовать к виду Ае(р) — А(р) В(р) Ао(р) Ао(р) Здесь Ао(р) — А(р) = (а~ — о~)р" ~ + (аз — оз)р" + ... + а„— он.
г-1 1-1 Введем новые переменные: уг = — у, и; = — и, т = 1,2„..., и. Ао(р) ' ' Ао(р) ' Уравнение (11.11) примет вид оценочной модели (11.10), если положить 1у(г)=1у " й й ". й1) а=(а! — а! " а„— а„Ь| " Ь„)т. Здесь Ао(р) является собственным оператором фильтров. В нормальной форме уравнения фильтров можно записать в виде у=Ау+Ву, Й= Ай+Во, где у = (р ...р„)т, й = (й~ ...и„)т, матрицы А и В определяются соотношениями (11.4) и (11.3) соответственно. Градиентный идентификатор.
Пусть а(1) является оценкой в момент Ф вектора неизвестных параметров а в (11ЛО). Оценка выхода у(т) = Ьт"(т)а(Г), (11.12) которая получается при постановке в (11.10) вместо а его оценки, называется прогнозируемым выходом, а разность е„(г) = у(!) — у(!) (11.13) — прогнозируемой огиибкой.
Очевидно, прогнозируемая ошибка есть не что иное, как невязка — термин, который был определен при рассмотрении фильтра Калмана-Бьюси. Подставив в (11.13) выражения для у($) нз (11.!О) и у(г) из (11.12), получим е (1) = гт'(Ф)а(1) — гг'(!)а(!). (1! .14) П.2.
Адаитивное ирааление с идентификогиором 301 Рассмотрим алгоритм для получения оценки (алгоритм иденпшфикацив), использующий невязку, и= уррт „ (11.15) Здесь у — положительная константа. Алгоритм (1!.15) является градиентным: при этом алгоритме невязка уменьшается путем изменения оценок параметров, двигаясь в пространстве параметров в обратном направлении градиенту квадрата невязки ез по вектору параметров а.
Градиенгиний идентификатор, т.е. идентификатор, использующий градиентный алгоритм идентификации, устойчив по Ляпунову, и параметрическая ошибка прн этом идентификаторе убывает. Однако будет ли она стремится к нулю, зависит от сигнальной матрицы И'(Ф), которая, в свою очередь, зависит от внешних воздействий. Коэффициент у в (11.15) оказывает сильное влияние на характер сходимости алгоритма оценивания. В случае одного параметра чем больше у, тем скорость сходимости больше. В случае многих параметров связь между т и скоростью сходимостн не такая простая. На некотором малом интервале увеличение оценочного коэффициента усиления может привести к увеличению скорости сходимости, но вне указанного интервала дальнейшее увеличение этого коэффициента может привести к колебаниям и более медленной сходимости.
Кроме влияния на скорость сходимости, выбор у оказывает также влияние на способность идентификатора следить за изменяющимися параметрамн и противостоять возмущениям. Свойство робастности. Чтобы идентификатор имел практическое значение, ои должен обладать робастностью (грубостью), т.е. он должен выдавать удовлетворительную оценку при изменении параметров, при наличии шума измерения и других возмущений. Качество градиентного идентификатора зависит от нескольких факторов, главными нз которых являются: — уровень постоянного возбуждения матрицы сигналов ИГ(Ф); — скорости изменения параметров и уровня непараметрической неопределенности; — величины оценочною коэффициента усиления у.
Уровень постоянного возбуждения 1г'(8) определяется задачей управления. Постоянное возбуждение существенно для робастности идентификатора. Если сигнал постоянно не возбуждается, параметры не будут сходиться точному значению даже при отсутствии непараметрической неопределенности. При наличии непараметрической неопределенности идентификатор может стать неустойчивым. Может оказаться, что нужно добавлять некоторое возмущающее воздействие к управлению, чтобы получить качественную оценку параметров.
Если оцениваемые параметры изменяются, то чем быстрее происходят эти изменения, тем больше непараметрические неопределенности влияют на качество оценки параметров. Очевидно, чем быстрее изменя- 302 Ги 1Д йдантивные системы улравеения ются параметры, тем труднее получить точную оценку. Кроме того, чем выше уровень шума и больше неучтенных возмущений и динамики, тем идентификатор функционирует хуже. Пример 1!.3. Задан объект передаточной функцией 2р2 ! бзр+ 1 рз+ Зрз+ 2р+ 2' где З2 — неизвестный параметр.
Определить градиентный алгоритм идентификации неизвестного параметра при условии, что собственный оператор фильтров имеет вид Ао(р) рз + 4рз+ 4р+ 3 Решен не. В данном случае ач = 4, аз = 4, аз = 3, и уравнения фильтров принимают вид Й = у1 уз = уз уз = — Зу~ — 4уз — 4уз+у а~ =аз, йз = аз, йз = — Зй! — 4йз — 4аз+а.
Так какая — а! =4 — 3=1, аз — аз=4 — 2=2, аз — аз =3 — 2=1, 61 = 2, Ьз = 1, то для оценки вектора параметров имеем Ит(2) = (уз,уз,упйз,йз,й~), п=(1 2 1 2 б2 1)~. Оценка выходной переменной и градиентный алгоритм идентификации принимают вид у = рг'(Ф)а = уз + 2уз + р + 2йз + узйз + йы Ь2 = —.~й,(У-- У). МНК-идентификатор. Для получена» оценки параметров широкое применение находит метод наименьших квадратов. При этом методе оценка получается путем минимизации интегральной прогнозируемой ошибки (неелзки) 1 ! 2 ,У = — ~ !у(т) — ьу(т)а(т)~ сгт.
2~ (11.16) о Алгоритм идентификации, получаемый методом наименьших квадратов, будем называть МНК-алгоритмом или МНК-алгоршпмом идентификации, идентификатор, построенный иа основе такого алгоритма, — МНК-идентификатором. Интегральная невязка (11.16) учитывает все измерения, которые производятся до текущего момента. Поэтому оценки, получаемые методом наименьших квадратов, имеют то преимущество, что оии меньше зависят от шумов измерения, так как в процессе измерения и интегри- Н.2.
Адаптивное управление с идентификатором 303 рования они сглаживаются. МНК-алюритмы хорошо противостоят не только шумам измерения, но и другим возмущающим воздействиям. Утверждение !1.3. МНК-алгоритм идентификации имеет еид а(т) = — Р(1) Ьут(т) (т), (11.17а) где е„($) — прогнозируемая ошибка (нееязка), Р($) — матрица коэф- фициентое усиления, которая определяеп1ся из ураенения РЯ = -Р(с)1»' (1)1»'(с)Р(Ф).
(11.1?б) При выборе начальных значений а(0) и Р(0) = роХ следует иметь в виду, что малая ошибка в а(0) приводит к малым ошибкам в течение всего процесса оценнвания. Кроме того, чем больше ро, тем меньше ошибка. Поэтому ро нужно выбирать настолько большим, насколько позволяет чувствительность к шумам. МНК-идентификатор с вкспоненциальной потерей памяти. До сих пор предполагалось, что неизвестные параметры вовсе не изменяются или изменяются очень медленно: за время адаптации практически не меняются. Однако, если этн параметры в действительности, хотя и медленно, изменяются, старые данные при оценке текущих значений неизвестных параметров обесцениваются, так как они отражают старые значения параметров.
Поэтому представляется разумным, чтобы старые данные оказывали меньшее влияние на оценку, чем новые данные. Эти соображения привели к методу наименьших квадратов, при котором вклад старых данных на значение оценки экспоненциально убывает. Экспоненциальное «забывание» достигается за счет тою, что в этом случае в качестве минимизируемого функционала принимается интеграл ,У = — ~ ехр — ! Л(т)йт ~у(з) — И"(з)а(Ф)~ йз, 11 (11.18) где Л(т) > 0 — переменный коэффициент потери памяти. Алгоритм идентификации, получаемый путем минимизации функционала (11.18), будем называть МНК-алгоритмом идентификации с экспоненциальной потерей памяти, а идентификатор, построенный на основе такого алюритма — МНК-идентификатором с экспоненциальной потерей памяти. Алгоритм (11.17) обеспечивает параметрическую сходимость (а(с) — 0 при 1 - оо), если еыполняется условие постоянного еозбуждения сигнала.
Гл. П. Адаптивные системы управление Утверждение 11.4. МНК-алгоритм идентификации с экспоненциальной потерей памяти имеет вид а(!) = — Р(1) 1Э'~(!)е„(Ф), (1! .! 9а) Р(!) = Л(!)Р(!) Р(!))т'т(!)УУ(!)Р(!) (1! 19б) и он обеспечивает параметрическую сходимость (а(Ф) -+ а(1) при $ — оо), если выполняется условие постоянного возбуждения. Выбор коэффициента потери памяти.
При выборе коэффициента потери памяти нужно проявлять осторожность. Если коэффициент потери памяти выбрать равным нулю (обычный МНК-идентификатор), то в этом случае невозможно слежение за изменяющимися параметрами и при наличии постоянного возбуждения. Если коэффициент потери памяти выбрать постоянным, то это может привести к резкому росту коэффициентов усиления и при отсутствии постоянного возбуждения возникновению сильных колебаний оцениваемых параметров. Так как сигнал может иметь различный уровень возбуждения, то желательно иметь подстранваемый коэффициент потери памяти. Значение нормы матрицы коэффициентов усиления зависит от уровня возбуждения матрицы сигналов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
