Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Позтому согласно теореме 10.1 для оптимальной оценки имеем х = Ах+ Вц+ Ко(у — Сх), х(1о) = хо, К =РСВ', Р АР+ РАт РСтВ 'СР+Яо Р(1о) = Ро Пример 10.4. Пусть уравнения объекта н наблюдения имеют вид х~ = хз, х1 (то) = х,; о. 9 = х! + Чн, где хз — стационарный случайный процесс (шум объекта) с характеристиками 1 М[хз] = О, К (т) = М[хз($)хз(1+ т)] = -е начальное значенне хо1 н шум наблюдения не коррелированы нн между собой, нн с шумом объекта н имеют следующие характеристики: М[х,] = О, М[(хо) ] = ро, МЩ = О, М[Ъ'„(1)К(1+ т)] = то(т). Требуется определить оптимальную оценку. Решение. Спектральная функция шума объекта может быть вычислена путем двухстороннего преобразования Фурье н представлена в виде 1 1 2 +,с2 [ .
[2' Отсюда для передаточной функции формирователя получаем 1 И',~(в) = —. в+1 Уравнение формирователя имеет внд хз = -ха+ Ъ~, где Ц вЂ” белый шум с нулевым средним и единичной интенсивностью: сео = 1. 288 В данном случае А= ~ ~, В= ~ ~, С=[! 0~, Рю=К (0)=-, Во — С вЂ” 1! — СЯ Ст — Р— х! = х2+ й1(у — х1), х!(2о) = О; где а! = а2 = Р11 Р21 го го Р11 Р12 1 Р22 или в скалярной форме При записи скалярных уравнений учтена симметричность дисперсион- ной матрицы (рга = Р21).
Начальные условия имеют вид Онтимаяьная фияьшраг!ия нри г!веииньн шуме наблюдения. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта является белым, шум наблюдения цветным. Постановка задачи. Пусть управляемая система описывается уравнениями 10.2. Фильтры Винера и Калнина-Бытии Фильтр Калмана-Бьюси описывается уравнениями х2 = -хт+ йт(р — х1), хт(2о) = О, Дисперсионное уравнение имеет следующий вид: Р11 Р12 Р!1 Р12 1 . 1 Р11 = 2Р21 — — Р21, р21 = Рх1 — Р21 — — Рзы 1'о го Р22 = -2Р22 — Р222+ 1.
Рп(то) = Ро Р21(то) = О. Р22(то) = 1/2. х=Ах+Вц+ тго, х(!о) =хо; у = Сх+я, я=вв+Ч„, (10.8а) (!0.86) (10.8в) 256 Гл. /О. Синглез оптимальныл систем управления где хо — случайная величина и то, Ԅ— белые шумы с вероятностны- ми характеристиками и[хо[ = зг', М[(хо - хо)(хо — хо) = Рш МЮо[ = О, М['Ко(!) тот(!')! = Яа(!)б(! — !'); М[Фя[ = О, М~Ъ'„(!)Ф~(!')) = Ло(!)б(Ф вЂ” !'); М[Уо(!)ЪЯ (!')[ = У(!)б(! — т'); (бо, Ро — положительно полуопределенные матрицы, Ло — положительно определенная матрица, случайная величина хо не коррелирована с шумами т'о($) и Ф„(!). Требуется на основе наблюдения выхода у(!) на интервале [!о,!)[ определить несмещенную оценку х(!) фазового вектора х(!), обеспечивающую минимум среднему квадрату ошибки: ,У = М[(х(!) — х(!))~(х(!) — х(!))[ — + зпш.
(10.8г) 90) Здесь (10.8а) является уравнением объекта, (10.86) — уравнением наблюдения, в котором з — цветной шум наблюдения, (10.8в) — уравнение формирователя, формирующего из белого шума т'„шум наблюдения. И данная задача преобразуется в задачу фильтрации с белымн шумами. Из уравнений (10.8а)-(10.8в) находим у = Сх+ Сх+ з = (С + СА)х + СВц + Рз+ СУо + 'Ч„.
Введем новый вектор наблюдения. (10.9а) у = у — СВи — Ру. После подстановки сюда выражений для р и р, получим у = Сх+ Ъ'„, где С = С+СА — РС, ~н — С)~~ + )гн. (10.96) В преобразованном уравнении наблюдения шум $я является белым, и его интенсивность Во и интенсивность взаимной корреляционной функции его и шума объекта Яо определяются следующим образом: Ве = СЯоСт + уСт + СЯ+ Во Яо = ЯоСт + У (10 9в) Из последнего равенства следует, что шум объекта то и шум ч„ преобразованного уравнения наблюдения будут коррелированы, хотя шум объекта т'о и шум 'Ч„на входе формирователя не коррелированы (Я = 0).
!0,2. Фалы и Вине а и Калнина-Бьюси Итак, если матрица Во положительно определена, то оптимальный фильтр согласно теореме 10.2 описывается уравнениями х = Ах+ Вц+ Ко(у — Сх); х(зо) = хо; Ко (РСт + Во)ВР = (А — Вой ~С)Р+Р(А — ЯоВ~ ~С)т — РС' В 'СР+ с~о — ВоВ 4, Р(зо) = бЪ. (10.10а) (10.10б) (10.10в) Новый вектор наблюдения определяется соотношением (10.9а). В него входит производная у, что делает необходимым дифференцирование наблюдаемой переменной, но что является нежелательным. Возможен другой способ получения оптимальной оценки, исключающий необходимость дифференцирования.
Введем вектор х, определяемый соотношением х = х+ Коу. (10.11а) Продифференцируем это равенство по времени и, подставив в него выражения для х и у, получим х = (А — КоС)х+ ( — КоСВ)н — (Ко+ КоВ)у, или, подставив выражение для х, В последнее уравнение производная у не входит. Из него определяется х, а затем из (Ю.11а) находится искомая оценка. Пример 10.5.
Объект и наблюдение описываются уравнениями х = О, у = х+ з; Мх(0) = О, М[хз(0)] = ро. Шум наблюдения е является стационарным случайным процессом с характеристиками М[з] = О, М[з(1)е(1+т)] = — е ~ 1. 2 Р е ш е н и е. Уравнение формирователя имеет вид (см. пример 1ОА) й = -е+ У„М[Ч„] = О, М[рь(1)еь(1)] = б(1 — $'). В данном случае А=О, В=О, С=1, До=О, В= — 1, Во=1, Я=О. х = (А — КоС)х+ ( — КоСВ)м+ + [(А — КоС)Ко — Ко — КоВ]у, х(то) = хо — Ко(1о)у(то). (10.11б) 258 Га 1О. Синтез оптимальных систем и аиеения Поэтому из (10.96) и (10.9в) получаем С=1, В =1, д =О. Из (10.11) находим м = йо- + ( йо' йо + йо)р; я(О) = -йод(О); я = я+Й~у.
Так как Яо = О, то йо и р определяются согласно теореме 10.1 по формулам (!0.56) и (10.5в): Ао = р р = рз р(0) - ро Как легко проверить, ро йо ро 1+ роз' 1+ р,1' Вырожденная задача овтимального ог1ениоанал. Задача оптимального оцениваиия называется вырожденной или сингулярной, если матрица интенсивности шума наблюдения является вырожденной (не является положительно определенной). Вырожденные задачи возникают, когда часть компонент выходного вектора измеряется точно или когда шум наблюдения является цветным и матрица интенсивности преобразованного шума наблюдения является вырожденной. Если задача оцеиивания является вырожденной, то приведенные выше опти- ' мальные фильтры использовать нельзя. Если шумы являются цветными, то согласно описанным выше процедурам исходная задача может быть преобразована в задачу с белыми шумами.
Поэтому ограничимся рассмотрением только сингулярной задачи с белыми шумами. Сингулярную задачу оптимального оценивания можно сформулировать следующим образом: х = Ах+ Вп+ чо., х(1о) = хо; (10.12а) у01 = С1х+ ч„, (10.126) у1з) = Сзх, (10.12в) ,У = М[(х(1) — х(Ф))~(х(1) — х(1))] - ппп, (10.12г) хО) где фазовый вектор в начальный момент х не коррелирован с шумами объекта Ъо и наблюдения ч„, и они имеют следующие вероятностные характеристики: М[ '] = й'.о, М[(хо — хо)(хо — )' = Ро; М[чо] =О, М[чо(т)Ча(т)] =1Ро(1)5(1 — 1')' М('!Г„] = О, М[АГ„(1)~l~(1')] = Ло(1)б(Ф вЂ” 1'); МЖо(1)М'.
(1')] = Яо(Ф)б(1 — 1'). 259 10.2. Фильтры Винера и Налиана-Бьюси Здесь, как обычно, принимается, что РО, ЯΠ— положительно полуопределенные матрицы, ВΠ— положительно определенная матрица. Эта задача отличается от несннгулярной задачи оценнвання тем, что в ней уравнение наблюдения представлено двумя уравнениями: (10.126)— уравнение, определяющие неточно нзмеряемые выходные переменные, (10.!2в) — уравнение, определяющие точно измеряемые выходные переменные. Оптимальная оценка определяется следующим образом:: х = г.
у(2) + г.тц, (10. 1За) с1 = Ас1+ й+ Ко(у — С21), с1(1О) = Сзхх, (10.136) КО = (РС + ®В (10,13в) Р = (А — БОВ 1С)Р+Р(А — ЯОВ ~С)т— — РС ВО 'СР+ ссо — оОВО 'Я~О2, Р(2О) = С2РОС'2. (10.13г) Здесь приняты следующие обозначения: Ь~ н 12 определяются нз соотношения -1 и, ьс=(',) где матрица С' выбирается так, чтобы (п х ~)-матрица справа в последнем соотношении была не вырождена; А = (С2+ С2А)52, й = (С2+ С2А)Ь|у09 + С2Вц, (1014а) (10.146) -12) где уи = уб) — С~Ь~у1~1, у(21 = у(2) — (С2+ С2А)А~у(2) — С2Вп; (10.15а) С1 = С~Х2, С2 = (С2 + СОА)Ь2, (10.156) вероятностные характеристики преобразованных шумов: ЮΠ— С29ОС 2 В ~ О 2 т) О (С2ЯО С2ЯОСзт) . ~2~О ~2~О~2 (10.15в) Следует иметь в виду, что не всегда рассмотренный подход позволяет решить поставленную задачу.
Очевидно, он не позволяет получить оптимальную оценку, если матрица ВО интенсивности преобразованного шума наблюдения является вырожденной. Пример 10.6. Объект н наблюдение описываются уравнениями Х! =Х2, Хз =о+а~2, 91 = Х~ + Кн, 92 = Х2. 260 Гл. 1О. Синтез оне)ииаленых сисе)ии нраеления Мх,(0) = О, М[хз(0)] = рш, 1 = 1,2; М[х)(0)хз(0)] = 0; М[тш(1)] = О, М[т))2(1)Ъ2(1 )] = Чззб(З 1) М[У,(З)] = О, М[Ъ',(1)ЪЯЗ')[ = г))б(1 — З') МК~(1)Ъ',(З')] = О. Требуется определить оптимальную оценку.
Решение. Задача является сингулярной. В данном случае имеем А=[ ]. В=(). С =)1 О), С =(О 1); 10 — „р1т)— Яо = но = г)), Зо = 0; Ф вЂ” О, Ро = Примем Ст = (1 0). Тогда о = Сзх = х). Из равенства го~ получаем Ь) = , с'т = [,1,/ 0) Из формул (10.14) и (10.1 ) находим .4=0, )р)) =р) С) =1 фз) =1) — н с =о, РЮ 1) — н С О 4),=О, Ло= "", ~'~=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
