Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 34
Текст из файла (страница 34)
'йапвот нга!Ьв апв Ше)г арр1!са!!опз", Атеисоп Зс!еп!!зг, 71, 65 — 71, (1983). 6. Биржевый парадокс;. мартингалы а) История парадокса Математические исследования, связанные с фондовой биржей, насчитывают почти столько же лет, сколько и сама биржа. Математический подход, видимо, использовался уже на бирже Грешема в ХН[ веке, однако основные методы теории вероятностей не применялись довольно долго. Характерно, что даже в 1900 г., когда в Париже Луи Башелье защищал докторскую диссертацию о связи между колебанием цен на фондовой бирже и броуновским движением (еще до того„как броуновским движением занялись физики), комиссия с трудом воспринимала его по существу новые идеи.
Вашелье создал общую математическую модель безобидных игр, так называемый мартингал, который позднее, после исследований )К. Вилле, П. Леви, Дж. Дуба и других, стал одним из важнейших стохастических процессов. Последовательность случайных величин Хь Хь Хз, вазывается мартингалом, если для любого и условное математическое ожидание разности Х +! — Х„(«прибыль, полученная за время и») относительно случайных величин Х„, Х„-ь . равно 0 с вероятностью 1, т. е. Е(Х +! — Х [Х Ха-г.
)=О с вероятностью 1. Последовательность Хь Хь Хм ... является супермартингаяом (или субмартингалом), если указанное выше математическое ожидание неположительно (или неотрицательно). Мартингал представляет собой общую модель безобидных игр, модель «количественной справедливости», которая применима во многих случаях, в частности, при анализе парадоксов, связанных с фондовой биржей. б) Парадокс Если ожидается, что какие-то акции принесут прибыль, то решение об их покупке кажется естественным, если же прибыли не будет, то надо их продавать. Столь же разумной представляется покупка на все деньги акций, от которых ожидается наибольшая прибыль. Все это верно, но на практике поступают иначе, так как хотя наша ожидаемая прибыль может возрастать (общий ожидаемый капитал будет стремиться к бесконечности), одновременно наше состояние будет убывать до нуля с вероятностностью 1.
Так что действовать на фондовой бирже надо осторожно: акции, которые обещают принести прибыль, иногда следует продать. в) Объяснение парадокса Предположим, что мы собираемся купить акции и можем выбрать среди й различных акций. За год <-я акция (! = 1, 2, ..., Й) увеличивает наш капитал, который был в начале года, в Х<'! раз. (Очевидно, Х<о ~ — 1.) Для простоты предположим, что величина Х<<! ограничена, хотя от этого условия можно отказаться, если немного изменить приводимые ниже рассуждения. Случайный вектор Х = (Х<'<, ..., Х<»!) описывает котировку акций. Считаем, что векторы Х! (! = 1, 2, ...), описывающие котировку в 1-м году, независимы и распределены так же, как и Х.
Пусть Т, — наш начальный капитал, и а<'! означает ! долю нашего капитала, который мы потратили на покупку акций <-го типа в !ьм году. Величина а<<<!' »<) может зависеть от случайных векторов Х<, Хь ..., Х! !. Вектор а =(а"<, а<»<, ...
! ! ' ! ..., а<"!) описывает нашу закупочную стратегию в !ьм году. Очевидно, Е а<<<(1. Через а,Х, обозначим следующую сумму: ! ! С помощью этого обозначения наш общий капитал в конце»-го года запишется в виде Т„= То П (1 + а>Х>). > Математическое ожидание величины Т„будет наибольшим, если каждый год покупать на все деньги наиболее прибыльные акции. (Предполагаем, что по крайней мере одна акция прибыльная.) В этом случае математическое ожидание величины Т„стремится к бесконечности (так что мы, кажется, богатеем), и в то же время наш общий капитал Т„может стремиться к нулю с вероятностью 1! Проанализируем эту парадоксальную ситуацию подробно.
Ясно, что 1оп ҄— 1оа Т, = Е 1оп (1 + а>Х>). > ! Предположим, что а>=а есть постоянный вектор (не зависящий от /; это предположение довольно естественно, так как в нашем случае распределения котировок не меняются). Тогда правая часть приведенного выше равенства принимает наибольшее значение (с вероятностью ! при больших и это следует из закона больших чисел), если величина Е(1од(1+а>Х>)) максимальна (при условии, что а)п.
ьО и Х а">~1). Пусть а' обой! значает стратегию, максимизирующую приведенное выше равенство. Пусть также Т'„и Т. обозначают наш общий капитал, если мы выберем соответственно стратегию а" илн произвольную стратегию а. Тогда можно показать, что последовательность Т„!Т'„ (п= 1, 2, ...) всегда является неотрицательным супермартингалом (более того, если каждая координата а>чо вектора а* положительна и о'м> ( ! > то последовательность будет мартингалом).
Следовательно, в силу одной хорошо известной теоремы из теории мартингалов получаем, что предел В Т„(Т„=Т л~ всегда существует с вероятностью 1 и его максимальное математнческое ожидание равно 1. Итак, а' является оптимальной стратегией (в этом смысле) на долгосрочный период. Таким образом, удобнее максимизировать математическое ожидание величины 1опТ„, а не величины Т„.
Эвристическое объяснение этого факта достаточно просто: для любой разумной стратегии величина Т„возрастает экспоненциально и для максимизации скорости этого роста можно максимизировать как раз математическое ожидание величины 1оц Т„. Рассмотрим теперь простой (но крайний) случай. Предположим, что можно выбирать из акций двух типов.
Пусть с вероятностью рп =10 $ стоимость обеих акций удвоится, с вероятностью Роо =5% обе акции обесценятся, с вероятностью р1о= = 50 % стоимость первой акции удвоится и вторая обесценится и, наконец, с вероятностью ро1 — — 35 то произойдет то же самое, но акции поменяются местами. Тогда первая акция прибыльна (с вероятностью 60 о(о), а вторая — убыточна (она прибыльна с вероятностью 45 о(о), однако имеет смысл купить акции обоих типов, точнее каждый год тратить треть денег на покупку акций в отношении 13:4. В общем случае разумно тратить часть денег, равную Рн Роо Рм+ Роо на покупку обоих типов акций в отношении (РпРю РооРэо1(РнРоо РюРоо) (предполагаем, что все разности положительны).
Хотя проблемы, возникающие в практике фондовой биржы намного сложнее, чем предыдущий пример, парадокс, который мы рассматриваем, входит в число этих сложных проблем. г) Замечания (1) Мартингал как система игры был хорошо известен задолго до появления математической теории мартингалов. (Приведем цитату из статьи Снелла (5пеП 3. 1..
«ОашЬ1!пц, ргоЬаЬ(- 1йу апд шаг!!ппа!езэ, ТЬе Ма!Ьета!!са1!и!е11щепсег, 4, 118— 124, (1982) ): «Основная идея мартингальной системы заключается в удваивании ставки при проигрыше. Предположим, что мы играем в рулетку и всегда ставим на красное. Сначала поставим 1 доллар. Если выигрываем, то прекращаем игру; при проигрыше ставим в следующий раз 2 доллара. При выигрыше наш напитал увеличится на 1 доллар, и мы прекратим игру; при проигрыше мы теряем уже 1+ 2 = 3 доллара и ставим 4 доллара.
Прн выигрыше наш капитал увеличится на 1 доллар, и мы прекратим игру; при проигрыше ставим в следующий раз 8 долларов и т. д. Если колесо рулетки хотя бы раз остановиться на красном числе, то при такой мартннгальной системе игры мы покинем казино, став на 1 доллар богаче, чем когда в него вошли. Поскольку красное в конце концов должно появиться, кажется, что эта система гарантирует успех. Однако предположим, что мы вошли в казино со 100 долларами, и 6 раз подряд выигрывало черное. Тогда мы проиграем 2' — 1 = 63 доллара и не сможем сделать следующую ставку в нужном размере— 64 доллара». В семейной хронике «Ньюкомы» Теккерей замечает: «Еще не ставилиу И не ставьте! А если уж начнете, то никогда не удваивайте ставки при проигрыше» ').
Это хороший совет для игроков, однако математики ему не следуют и в итоге в теории вероятностей появляются многие важные результаты. (й) Томас Грешем (1619 — 1679 гг.), основатель Лондонской фондовой биржи, видимо, догадывался, что математика играет важную роль при анализе биржевых операций и экономической жизни. В завещании Грешема содержался план создания колледжа, в котором при изучении экономики математика была бы одним из основных предметов.
Генри Бриге, опубликовавший в 1617 г. первые таблицы логарифмов, был профессором в Грешем Колледже, который во многих отношениях предопределил появление Лондонского королевского общества. (ш) Мартингалы с успехом применяются в генетике, теории потенциала, стохастических интегралах и т. д. Выдающимися монографиями в этой области являются труды Ж. Неве, П.
Мейера, К. Хейди и П. Холла.. д) Литература Вге!вап 1.. "Орцва! кавьнпя яуысвя 1ог 1ауогаые навея", Ргос. 4М Вегас!еу Вутр. оя Мяш. В(о((я1. ояв Ргоэ., 65 — 78, (1961!. Эооь Л. 1.. 31осйоа(гс Ргосеахеа, ТЧ!!еу, 5(см уогй, !953. (Имеется переяод: Л(уб Л(ж. Л. Вероятностные пооцассы. — Мс ИЛ, 1956.1 Мбг( Т, Р., зхбйе!у Сг. Л. "Нож !о м(п 11 уоп сап", Сои. Мою Ясй Во1уог, 36 (еб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
