Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Теорема Больцмана справедлива лишь статистически: вероятность роста Н(1) со временем очень мала. Другой парадокс вытекает из теоремы А. Пуанкаре. Он по. казал, что в замкнутой и конечной газовой системе фазовая точка, описывающая состояние этой системы (и двигающаяся по эквипотенциальной поверхности в многомерном евклидовом пространстве) возвращается в произвольно малую окрестность своего начального местонахождения за ограниченное время. Но это, как в !896 г. установил Э.
Цермело, противоречит теореме Больцмана: если процесс необратим (его энтропия возрастает), то фазовая точка вернуться не может. Однако статистическая формулировка теоремы Больцмана позволяет решить и эту проблему: последовательность событий, происходящих с очень малыми вероятностями, может привести к возвращению фазовой точки, но согласно Больцману для этого потребуется 10кл» лет, так что это событие практически ненаблюдаемо, в то время как необратимость проявляется наглядно.
Парадоксы Лошмидта — Цермело показывают, что теория вероятностей играет ключевую роль в основаниях молекулярной физики, в становление которой важный вклад внесли венгерские ученые. Например, в 1926 г.Лео Силард похоронил заманчивую идею демона Максвелла, способного создать вечный двигатель.
(Максвелл утверждал, что если энтропия возрастает только статистически, то демон, способный управлять движением каждой молекулы, мог бы построить вечный двигатель. Но, как показал Силард, существование такого «хорошо информированного» демона потребовало бы огромной энтропии, поэтому вечный двигатель, управляемый демоном Максвелла, невозможен.) (!!) Статистический анализ текста «Евгения Онегина» не был единичным исследованием подобного типа. В конце прошлого века стало модным изучать частотное распределение слов в различных текстах (чтобы помочь в обучении иностранным языкам и стенографии).
В 1898 г. Ф. Каздиг опубликовал первый частотный словарь (Нац[!нйе!(зтчог!егЬцсЬ бег Реп[зсЬеп Брга«Ье) немецкого языка, который был основан на текстах, содержащих 11 миллионов слов. Во многом благодаря работам американского ученого Дас. Цилфи (1902 — 1950 гг.) применения математической статистики в лингвистике переросли в отдельное научное направление. Его книга «Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия» («Ншпап Ьейач!ог апд [Ье Рг!по!р1е о1 1еаз[ ЕНогб») содержит очень глубокие идеи.
д) Литература Воцхтзпп 1.. Лес(агез ол паз Тйеогу, ()и!ч. Сзп1огп!е Ргезз, Вег1се1еу, 1964. [Имеется перевод: Больцмен Л. Лекции по теории газов. — Мл Гостехнздзт, 1966.1 СЬппй К. 1,. Магйоо СЬа(лз тЫЬ 8(а(Флагу Тгалзшол Ргобайщиез, Зрг!пкег, Вег1!и — Ооцткеп — Неше!Ьегк, !960. [Имеется перевод: Чжун Кзйлей, Однородные цепн Маркова. — М.: Мнр, 1964.1 Дынннн Е. Б. Марковские процессы. — Мл Фнзматгнз, 1963. ЕЬгеп1ез1 Р., ЕЬгеп(ез1 Т.
"ОЬег зме( Ьейзпп1е Е!пмйпбе Кекеп бзз Вопппзппзсье Н-Тьеогет", Рдузиь Хей., 8, 311 — 314, (!907). Ре!!ег %. Ал !л(голос!Гол го РгоьаЬ(щу ТЛеогу али Лз Аррисаиолц Нем Уогй, уоьп 1Ч1!еу, 1969. [Имеется перевод: Феллер В. Введение н теорию вероятностей н ее прнложення. В 2-х томах. — Мл Мнр, !984.1 Кетреппзпп 3. Н. В, Тйе Раз«оке РгоЫет !ог а Я!а!Флагу Магйон СЛа(л, ()п(ч. Сысейо Ргезз, !961. Мерное А. А. Распрострзненне зенонз балыках чисел нз зелнчнны, ззннсящне друг от друга.— "Илв. Фнз.-мат. общества прн Кззенсном унннерснтете", 2-я серия, 1906, т.
1б, № 4. Марков А. А. Распространение предельных теорем исчисления вероятностей нз сумму величин, связанных н цепь. СПБ, 1908. Записки Акад. Наук по Фнз.-мзт. отделению, Ч1П серая, т. 22, № 9. Тзйасз Ь. "Оп еп пгп ргоо!ет о1 Рзп) апб Тег!епе ЕЬгеп1езГ', Ма(Л. Ргос. Сать. РЬи. Зос., 86, 127 — 130, (1979). Тгпезбе!! С. Тйе Тгау(сот!с Ны(огу о! Тйеплолулат!сз 1822 — 1854, Зрппкег, Ыем Уог1с, 1980, 3. Парадокс броуновского движения а) История парадокса Во время экспериментов с использованием микроскопа английский ботаник Р.
Браун (1778 †18 гг.) обнаружил не только существование ядер у клеток, но и наблюдал интересное, хотя в то время необъяснимое, явление: случайное движение взвешенных частиц, известное ныне как броуновское движение. Поскольку Браун проводил свои эксперименты с цветочной пыльцой (в июне — августе 1827 г.), предположили, что движение имеет биологические причины.
Великой заслугой Брауна является экспериментальное доказательство исключительно физической природы этого явления. Степень развития микрофизики тогда не позволяла объяснить это явление научно. Неудивительно, что даже в 1879 г. немецкий ботаник К. Негели отказался поверить, что причина броуновского движения в тепловой диффузии частиц. С другой стороны, А. Пуанкаре на одной из лекций (в Париже в !904 г.) утверждал, что когда большие частицы размером приблизительно 0.1 мм со всех сторон много раз ударяются движущимися атомами, то эти частицы остаются на месте, так как по закону больших чисел случайные столкновения нейтрализуют друг друга, однако в случае более мелких частиц воздействие толчков недостаточно для их общей нейтрализации, поэтому частицы двигаются зигзагообразно.
Количественное объяснение явления было дано в 1905 г. Эйнштейном и польским ученым Смолухоеским независимо друг от друга. По теореме Эйнштейна средняя длина пути частиц пропорциональна корню квадратному из времени движения 5 Следовательно, их средняя скорость пропорциональна 1/1/Г. Отсюда вытекает, что мгновенная скорость частиц в любой момент времени должна равняться бесконечности, следовательно, при определении мгновенной скорости для броуновского движения возникают проблемы. Для их решения требовался более глубокий математический анализ.
Однако прошло более десяти лет прежде, чем он был проведен Н, Винером. В знак признания его заслуг в этой области математическая модель броуновского движения была названа его именем — винеровский процесс. Винеровский процесс в это движение с непрерывной траекторией (его реализации непрерывны), нигде недифференцируемой с вероятностью 1. Это означает, что мгновенную скорость нельзя определить ни и одной точке.
Непрерывные, но нигде недифференцируемые функции были известны задолго до Винера. Однако такие патологические функции рассматривались лишь как курьез. В 1806 г. знаменитый физик А. М. Ампер даже собирался доказать, что любая непрерывная функция дифференцируема, за исключением быть может нескольких изолированных точек. Понятие функции стало в значительной степени более общим в результате исследований по рядам Фурье, проведенных Б. Больиаио (1834 г.), Б. Риманом (1854 г.) и К Вейерштрассом (1872 г.).
В 1875 г. П. Дюбуа-Реймон впервые опубликовал пример непрерывной, но нигде недифференцируемой функции Вейерштрасса. Многие выдающиеся математики встретили эти нововведения без боль- шаго энтузиазма. Как считал Пуанкаре (Бс(епсе е! Ме!Ьобе, !909. [Имеется перевод: см. «Наука и метод» в книге Пуанкаре Анри. О науке.— Мл Наука, 1983.] ): «Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специально для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждений наших отцов, никакого иного вывода, кроме этого, из иих нельзя извлечь». Ш. Эрмит в письме к Т. Стилтьесу высказывался аналогичным образом: «Я в ужасе отворачиваюсь от этой страшной чумы: функций, не имеющих производных». Винеровский процесс, очевидно, опровергал приведенные выше обвинения, так как никто не мог утверждать, что броуновское движение введено лишь для придумывания патологических контрпримеров.
Исследования, проведенные в ХХ веке, со всей очевидностью показали, что среди непрерывных функций именно недифференцируемые типичны в том смысле, что они образуют подавляющее большинство. (Ох1оЬу 1.. ). С. Меаеиге апд Са!ейогу, ЗрНпйег, Нем Уог(г, 1971. (Имеется перевод: Окстоби Дж. Мера и категория.— Мл Мир, 1974.! ) Однако почти все непрерывные функции, применяемые в практических приложениях, дифференцируемы. Это напоминает ситуацию с иррациональными числами.
Несмотря на их большинство среди действительных чисел (случайное число иррационально с вероятностью 1), на практике обычно используются рациональные числа. б) Парадокс Траектории (реализации) броуновского движения достаточно нерегулярны (т. е. они нигде не дифференцируемы). Обычно любую нерегулярную кривую такую, как траекторию броуновского движения на плоскости, рассматривают как одномерную. В то же время можно показать, что траектория броуновского движения на плоскости в действительности заполняет всю плоскость (в любую заданную окрестность произвольной точки траектория попадает с вероятностью 1).
Следовательно, траектории можно рассматривать и как двумерные кривые. Какой из подходов предпочестьу е) Объяснение парадокса Понятие размерности в обычном повседневном смысле использовалось уже в начале века. Кривые, поверхности и тела рассматривались соответственно как одномерные, двумерные и трехмерные объекты. Обычно говорят, что фигура имеет размерность й, если для «характеризации» точек фигуры необходимо й параметров (координат). Используя интуитивные идеи Пуанкаре, Л. Э, Я. Брауэр в 1913 г. определил топологическую размерность. Позднее, в 1922 г., К.
Менгер и П. С. Урисон, работая независимо, также пришли к этому понятию. (Дальнейшие детали см. в книге Гуревича и Волмэна.) В силу определения топологической размерности броуновское движение одномерно. С другой стороны, в 1919 г. Ф. Хаусдорф ввел следующее понятие размерности, в соответствии с которым броуновское движение двумерно. В Ы-мерном евклидовом пространстве объем единичного шара равен о(Ы) =Г(1/2)е/Г(1+д/2), где Г обозначает обычную гамма-функцию (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
