Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Однако это равенство не всегда выполнено. Например, если математическое ожидание величины 1он — равно О, то по тео- 1» (х) 1 (х) реме Чжуна — Фукса (сравните с П1/7) Иш зпр Р" =оо и !пп !п( Р" =О, 1 — Р. »-»~ ! Р» следовательно, Иш —" в этом случае даже не существует, 1 Р» Парадокса не будет, если вместо (ре, 1 — ре) взять априорное распределение, имеющее плотность вероятности, положительную на всем интервале 0 < р < 1. Такая модель лучше, потому что в ней истинная плотность 1» учитывается с положительной плотностью. (Лпт» Весь к.
Н. "Ыпп!пя Ьеьат!ог о! 1Ье ров!ег(ог 6(в!г(ьп!!опв пьеп гье тоде! !в !псоггес1", Аппа!в о! Мв!Ь. 6!а!!в!., 37. 61 — 66 (1666).) о) Парадокс доверительных интервалов Пусть Хь Хь Хм... — нормально распределенные случайные величины с общим математическим ожиданием ог и единичной дисперсией, и через 3, обозначим следующую сумму з„=х!+х,+... +х„. Вероятность того, что для любого фиксированного и 8„— 2)/и 8~+ив(й (ш( »» приблизительно равна 95")ь, и в то же время вероятность тото, что эти неравенства выполнены для всех н, равна О. Последняя вероятность остается нулевой, если даже заменить 2 на как угодно большое число. (См.
КоЬЬ!пз Н. »В!а!!з!!са! ше(Ьос16 ге!а1ес( (о ЬЬе 1аж о1 Ьйе Нега!еб !ойагИЬш», Анна(в о) Маей. Яа((з(., 41, 1397 — 1409, (1970).) л) Парадокс лроверки независимости; являются ли эффективные лекарства эффективными? Ниже приведены три таблицы, в которых показано действие некоторого лекарства только на мужчин, только на женшин и, наконец, на больных обоего пола (объединенные результаты). мкж чины жкнщнны Овъеднненные Результлты Рас.
м. Из таблиц видно, что после приема лекарства доля выздоровевших больше как среди мужчин, так и среди женшин. (Существенность различий может быть обоснована статистически с помощью критериев независимости.) С другой стороны, как зто ни странно, из таблицы с объединенными результатами следует, что доля выздоровевших больше среди тех людей, которые лекарство не принимали.
Следовательно, лекарство, показавшее свою эффективность как среди мужчин, так и среди женщин, дало отрицательный результат для смешанной группы мужчин и женщин. Аналогично, новое лекарство может оказаться эффективным в каждом из десяти различных госпиталей, но объединение результатов укажет иа то, что это лекарство либо бесполезно, либо вредно. (Лптс Рйия О.
"Рагааоз!еп бег 9(аьгзсье!ппсЬЬепв(гесьпипа", )п: 5!осьазИЬ ип 5сьи)ип1егг!сЫ, 9(е!и, ТеиЬпег, 155 — !63, 198Ц р) Парадокс компьютерной статистики Начиная с 80-х годов, в связи с появлением компьютеров лицо статистики изменилось, Раньше отсутствие компьютеров вынуждало ученых использовать слишком упрощенные модели, даже если эти модели были нереалистичными. Однако за последние тридцать лет любое статистическое решение, которое можно просчитать на компьютере за сравнительно небольшой период времени, стало «доступным». Таким образом, «устойчивые» («робастные») и многомерные методы с огромным числом операций вошли в повседневную статистическую практику.
В это же время статистика, по крайней мере частично, стала эмпирической наукой: за несколько минут компьютеры могут порождать миллионы данных, и, используя их, можно «проверять» новейшие методы. Многие «эмпирические теоремы» вошли в практику без достаточных теоретических обоснований. С другой стороны теория робастных статистик (см., например, НИЬег Р.
). йобиз1 лайз((сз, 97Пеу, й)еьу Уогй, 1981. (Имеется перевод: Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.]) дает теоретическое обоснование для многих эмпирических «хитрых трюков», используемых в статистической практике. О противоречиях и парадоксах нового периода можно прочитать в приведенных ниже статьях. (Лптс Е!гоп В.
"Воо(в)гар пгейоав; апойег 1ооЬ а1 йе (асЬЬппе", Аллам о) Згопз!., 6, 1 — 26, (1979). Е!гоп В. "Сойгри(его апа йе йеогу о! в1апзнсз: Тмпыпа йе иппип)гаЫе", 3!АМ йемеэ, 1979 ОЩ. Напгре! Р. й. "йоЬиы езппгаИоп: А сопаепзеа рагпа! зигчеу", хецзс», атоагзсь, Яеог(е огге. сгез., 27, 87 — 104, (1973). МИ!ег й. О. "ТЬе )асЬЬп!!е — а геч!еег"', В(сиге)г)Ьа, 61, 1 — 15, (!974). Тийеу Д %. "Тье Миге о! аа1а апа!ув!в", Алла!в о) Мой. 8)а!М(., 33, 1 — 67, (1962). ГЛАВА 1и ПАРАДОКСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Как же случнлось то, что стеченье матерки дало Землю н своды небес, а также н моря глубины, Солнца пути н луны, — разьясню я теперь по порядку Первоначала вещей, разумеется, вовсе невольно Все остроумно в таком разместнлнся стройном порядне И о движеньях своих не условились раньше, конечно. Если ж начала вещей во множестве, многоразлично От бесконечных времен постоянным толчкам подвергаясь Тяжестью также своей гяетомые, носятся вечно, Всячески между собой сочетаясь н все нспытуя, Что только могут онн породнть нз своих столкновеннй,— То н случается тут, что онн в этом странствнн вечном, Всякие виды пройдя сочетаний н разных движений, Сходятся так, каменею что взаимная нх совокупность Часто великих вещей собой образует зачатки: Моря, землк н небес, н племени тварей жнвушдх.
Лукреций, О природе вещиц ки. К с. 41б-А31 Ч Первые значительные результаты в теории случайных процессов или стохастических процессов, если воспользоваться словом греческого происхождения, появились лишь в прошлом веке. Благодаря успехам, достигнутым в классической механике, в ХУ!1 н Х17111 веках главным образом изучались детерминистические процессы. В зто же время в науке развился «механистический детерминизм», согласно которому случайность считалась чем-то несущественным и из основных наук ее следовало по возможности исключить. Однако со второй половины прошлого века математические исследования по случайным процессам получают все большее распространение в фундаментальных областях науки, в частности, в различных разделах физики: статистической физике, квантовой физике ХХ века, где случайные процессы играют главную роль.
С углублением научного знания все очевиднее становилась необходимость в изучении стохастическнх процессов. 1. Парадокс ветвящихся процессов а) Историк парадокса В первой половине прошлого века было замечено следующее интересное явление: некоторые знаменитые аристократические и простые фамилии постепенно исчезали. Эту проблему с математической точки зрения изучали И. Ж. Бьенеме в 1845 г. и де Комдолье в 1873 г.
В 1874 г, Гальтон н Ватсон опублико- Ч Лукрецнй Кар. О природе вещей. Перевод с лат. Ф. А. Петровского.— Мс Гос. нзд. «Художественная лнтература», 1937 вали важнейшую статью, посвященную этому вопросу. Ветвящиеся цепочки фамилий стали первым примером случайного ветвящегося процесса. Процессы такого типа появляются в химии, физике и некоторых других областях. Например, процесс деления ядер, или цепная реакция, в ядерной физике хорошо моделируется случайными процессами. Поколения нейтронов сменяют друг друга чаще, чем поколения людей, однако в обоих случаях главный вопрос остается одним и тем же: при каких условиях процесс затухнет (фамилия исчезнет) или разовьется до бесконечности (бомба взорвется). Понятие ветвящегося процесса введено в 1947 г.
А. Н. Колмогоровым и Н. А. Дмитриевьсм. 6) Парадокс Пусть с вероятностями ры рь р„... взрослый мужчина имеет О, 1, 2,... сыновей. Вычислим вероятность а того, что спустя несколько поколений потомков мужского пола не останется (фамилия исчезнет). Производящая функция вероятностного распределения р,, р,, рь .., определяется формулой Ю а(г) =~'. ра', где !г( (1. Обозначим аналогичную производящую функцию л-го поколения через и„(г) (п1(г) =д(г).) Легко видеть, что Деы(г) = д(д„(г)), т. е. эта производящая функция может быть получена путем последовательных итераций функциии(х).
Вероятность исчезновения всех потомков мужского пола в и-м поколении равна а„ = д„(0). Поскольку последовательность о„ монотонно возрастает, предел !пп о„ = о существует, поэтому из равенства о и~ = п(е ) следует, что а = л(а). Таким образом, вероятность а находится из этого уравнения. Поскольку о = 1 является решением этого уравнения, Ватсон (ошибочно) предположил, что вероятность вырождения всегда равна 1 и, следовательно, неизбежна.
Хотя результат Ватсона совершенно невероятен, лишь в 20-е годы нашего века Р. Фишер, Дж. Халдейн, Дж, Стеффенсен и другие показали, что уравнение имеет и другой корень, который меньше 1, при условии, что среднее число сыновей lн= ~' йре больше !. В этом случае истинную вероятность вырождения дает меньший корень. С другой стороны, неудивительно, что, когда щ меньше 1, вероятность вырождения равна 1. Парадокс может возникнуть лишь в случае т = 1. Если предположить, что у каждого мужчины в среднем по одному сыну (лс = 1), то вероятность вырождения все же останется равной 1 (за исключением частного случая р! =1).
Следовательно, несмотря на то, что среднее число потомков мужского пола во всех поколениях одинаково (всегда равно 1), вырождение неизбежно (точнее, оно происходит с вероятностью 1), хотя можно показать, что среднее время до момента вырождения бесконечно. в) Объяснение парадокса Равенства !7= Вш а„=! и ла=! друг другу не противоречат. Первое соотношение означает, что вероятность рождения мальчиков в л-м поколении близка к О, но если они все-таки есть, то их число может быть большйм, поэтому среднее значение может равняться 1. г) Замечания Модель Гальтона — Ватсона обычно используется в случае, когда ре=аЬа — ' (й= 1, 2, ...) и ро= 1 — р! — ра —..., где а и Ь вЂ” положительные числа и а меньше, чем 1 — Ь. Тогда я (з) есть просто отношение линейных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
