Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(Рэ всегда равно 1(2, как мы уже отмечали). (В) В том случае, когда число автобусов на линии велико, автобусное обслуживание можно сделать более устойчивым, если разрешить автобусам дольше стоять на остановках. В результате время ожидания будет сокращено. (В действительности я никогда не видел автобусов, ожидающих кого-то на остановках, чтобы сделать движение более устойчивым.
С другой стороны, иногда задерживают лифты с тем, чтобы подождать людей, которые скоро подойдут. В результате движение лифтов замедляется, но вместе с тем уменьшается среднее время ожидания!) Пусть (ь (ь йь ... обозначают моменты времени, когда автобусы прибывают на некоторую остановку. Положим Х! =(ь Х; = 0 в 0 ь (( = 2, 3, ...).
Если Р— функция распределения каждой нз случайных величин Хь Х„..., то, как уже отмечалось, плотность вероятности величины Х! равна [1 — Р(()) /т н математическое ожидание Т= (т'+з')/2т. Замедление движения означает, что величины Х, возрастают н становятся равными Х;+й(Х) ((=2, 3, ...), где а — неотрицательная функция. Можно показать, что время ожидания уменьшится в наибольшей степени, если, выбирая среди интегрируемых функций, взять функцию к(х) =шах(0,(с — к)), где с — единственное решение уравнения с Е (Х) + ~ (с — х) Р (х) с(х = Е (Х~1/2 о (здесь Х вЂ” случайная величина, имеющая то же распределение, что и Хь Хм ...
). Например, если Х имеет показательное распределение, точнее, если Р(к) = 1 — е-' (х ) О), то и математи. ческое ожидание, и дисперсия времени ожидания равны 1. При выборе оптимальной функции д(х) = шах(0,(0.901 — х) ) (с точностью до трех знаков после запятой) математическое ожидание времени ожидания станет равным 0.901 (и дисперсия— 0.691) . (ш) Следующий парадокс также связан с движением транспорта.
(Г. Шзй привлек мое внимание к этой проблеме после моего выступления в Массачусетском технологическом институте в 1983 г.) Суть парадокса в следующем: неверно представление о том, что чем выше скорость машин, тем большее их число проезжает на зеленый свет, так как нри более высокой скорости водители должны сохранять и большее расстояние между машинами. Для нахождения оптимальной скорости начнем со следующей модели. Предположим, что машины движутся с одинаковыми скоростями о; пусть Х; обозначает (случайное) время между началом движения 1-9 и (!+1)-й машины.
Величины Х; независимы и одинаково распределены (для простоты предположим, что их распределение показательно с параметром Х ) О). Машины проезжают светофор с интервалами времени Уь Уь ..., которые, вообще говоря, не равны Хь Хь ..., так как машины должны двигаться друг за другом на некотором расстоянии. Пусть 1; обозначает длину Рго автомобиля и а;— уменьшение скорости при торможении; величины 1; и аь как правило, зависимы, но мы предположим, что вектора (!ь а~), 1=1, 2, ..., независимы и одинаково распределены. Тормозное расстояние равно о'/2аь следовательно, машины должны следовать друг за другом на расстоянии 1;+о'/2аь Время между проездом первой и (и + 1)-й машинами равно л г л л-! кг,— щ(кх„п г,+г.,), с-~ ю-в г-з где г, = (1, + —,"* )/ .
Если то число машин, которые могут проскочить на зеленый свет за время от ! до (1+ Ь) равно М(1+ й) — М(1). Известно (из тео- рии очередей), что Е(Х!), если Е(Х!)(Е(Х!) (это соответствует движению в часы пнк), Е(Х,) ', если Е(Х,) ) Е(Х!). !!ш — = м«1 Пусть 1 — случайное время внутри интервала [О, Т]. Тогда среднее число машин, проезжающих на зеленый свет, вычисляется по формуле г Гг+а а +]!меч-г! — м!4|ю=ф[1 ар!а — ]иди~- е г е =Ьш!п(Е(Х!) ', Е(Х!) '1+о(1), еслк Т-мое; (о(1) обозначает величину, стремящуюся к 0 при Т вЂ” оо.) Следовательно, ищем максимум величины пни(11, [Е(1!)/о+ Е(а-,') о/2) как функции от о.
Второй член максимален при о = = л/2Е (1!)/Е (а, ') . д) Литература Гаджиев А. Г. Минимизация среднего времени ожидания в системах с рекуррентным обслуживанием.— Вестннк МГУ, сер. 1, № 3, 1980 с. 19 — 24. К!е!пгоса 1.. Оиеи!пу лузгали, %1!ау, Нем Уогк, 1970. !Имеется перевод; Клеанрок Л. Вычнслнтельные системы с очередями.— Мл Мнр, 1979.] такаса с. !лггоеисноп го гаа тавоту о1 Циеиеж Ох!огб !гага. Ргезз, нем Уогк, 19б2. 5.
Парадокс случайных блужданий а) История парадокса Приблизительно 60 лет назад американский математик венгерского происхождения Джордж Пойа, прогуливаясь в парке, обычно встречался с одной и той же парой. В то время он не осознавал, насколько случайны были эти встречи, т. е. насколько мала была их вероятность. Вскоре после этого он вычислил вероятность встреч в модели, когда 2 человека случайно блуждают по квадратной решетке независимо друг от друга (в каждом узле решетки вероятность выбора любого из четырех возможных направлений одна и та же). Пойа установил, что вероятность встречи равна 1. (Следовательно, если время блуждания не ограничено, то люди могут встретиться бесконечное число раз с вероятностью 1.) Однако в случае кубической решетки веро- ятность встречи строго меньше ! (поэтому вероятность бесконечного числа встреч теперь равна 0).
Из этого интересного открытия за последние 60 лет в теории вероятностей развилось совершенно новое направление. Его изложению посвящена хорошая книга Ф. Сяицера, вышедшая в 1964 г. б) Парадокс Из теоремы Пойа вытекает, что, рассматривая случайное блуждание по целым точкам на прямой с началом в 0 и движением за один шаг впРаво или влево на ! с равными вероятностями !/2 (независимо от предыдущих шагов), мы будем возвращаться в 0 с вероятностью 1.
Возникает вопрос: сколько раз до (первого) возвращения в 0 мы будем проходить через фиксированное целое число йу Естественно предположить, что, чем больше !й(, т. е. чем дальше случайное блуждание уходит от О, тем реже в среднем это будет происходить. Удивительно, но случайное блуждание до первого возвращения в 0 будет всегда проходить через й в среднем одно и то же количество раз, а именно один, как бы ни было велико !я!. в) Объяснение парадокса Парадокс можно разъяснить очень просто.
Среднее число шагов, необходимых для возвращения в 0 (т. е. математическое ожидание времени возвращения) бесконечно, следовательно, имеется достаточно времени для того, чтобы в среднем один раз достичь любой точки на прямой. г) Замечания (!) Пусть выполнены указанные выше условия, но теперь перемещение вправо происходит на 2 единицы, а влево на одну. Тогда случайное блуждание несимметрично, и легко видеть, что, начав движение из О, мы с меньшей вероятностью попадем в — 1, чем в 1.
Удивительно, но эта вероятность в точности равна (З/б — 1)/2, т. е. отношению золотого сечения. (В) Для практики очень важны случайные блуждания диффузионного типа, когда вероятность перемещения влево или вправо зависит от настоящего местонахождения (й). Пусть рч обозначает вероятность движения вправо и (! — рг) — вероятность движения влево. Предположим. что р.=-,'(1+-',). (по крайней мере для больших значений !й!), где с — произвольная постоянная. При таком случайном блуждании возвращение в 0 происходит с вероятностью ! (т.
е. блуждание возвратно), если с ( 1/2. Для с < — 1/2 математическое ожидание времени возвращения конечно, следовательно, парадоксальная ситуация, как в случае с = 0„ не возникает. (В!) Исследования по случайным блужданиям можно распространить с квадратных решеток на более общие структуры, называемые графами.
Такие обобщения имеют интересные приложения в теории электрических сетей. См. глубокую статью К. Неш-Вильямса, написанную в 1959 г. Множество других применений (в физике, химии и биологии) обсуждаются в работе Вейса. д) Литература Вава И. и., Оцпйп Р. 5. "ТЬе тои тцвкев вце о1 Вготип)ап гпоцоп апв зйпр!е гапвов ага!8", Хе!!зсь 'Кгоьгсь' Меоме иегв. Оеь., 70, 417 — 436, (1985 .
азЬ-%58атв С. 88 Д А. "йапвот «га!Ь апв е1ес(гопы сшгеп1з !и пе(- згогхв", Ргос. СотЬ. Рьг!. Бос., 55, 181 — 194, (1959). Ро!ув 6. "Оьег е)пе Ап18аье вег %аьгзсье)п!!сЬЬе!!вгесьпппк опВ вав Метео(ргоыет*', Маак Аппо(еп, 84, !49 — 160, (1921). Врпзег и. Ргшсгр!ез о[ )(аплот 9та!Д Чап Ыов(гапв, Ыен Уогх — Тогоп1о — Ьопвоп, 1964. [Имеется перевод: Спнцер Ф. Прннцнпм случавного влуждання. — Мс Мнр, 1969.) %в!за О. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
