Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Р. йбчйаг), 791 — 806, (!982). Ч!!!е Л. В(яве сгщуяс Ее 1о попон Ве со11ес!г7, Оапж!ег-Ч!!!ага, Раг!и, 1939. 7. Еще несколько парадоксов а) Парадокс Иакова и Лавана Согласно библейской легенде о Ивакове и Лаване, в награду за свою службу Иаков получал от Лавана скот с пятнами. Хотя доля скота с пятнами во всем стаде была очень мала, Иаков постепенно разбогател и стал намного богаче Лавана. ') Теккерей У. Собрание сочинений.
В !2-ги томах. Т. 8. Ньюкомы. Кв !. Пер. с англ. Р. Померанцевой.— Мс «Худож. ляг.», 1978. Существует множество мистических объяснений этого парадокса (один содержится в самой библии, этой загадкой занимался и Томас Манн), однако, как однажды отметил Альфред Репьи, в этом парадоксе нет ничего мистического, его можно понять исходя из простых математических рассуждений, основанных на том факте, что Иаков никогда не возвращал скотину Лавану, а Лаван всегда отдавал Иакову часть своего скота. Обозначим среднюю численность стада Иакова и стада Лавана в и-м году соответственно через У, и Е„(в начале, в 0-и году ло = 0 и величина Е, положительна). Предположим, что ежегодно у каждой овцы рождается в среднем У ягнят.
Пусть д обозначает долю овец в стаде Лавана, которую он отдает Иакову (р = 1 — д — доля, остающаяся у Лавана). Тогда Е,+1 — Е, = Урй„и У..г| — У. = УУ, + УдЕ„, следовательно, Е = Ее(1+ Ур)" и („= Еэ(1+ У)" — Ез(1+ Ур)". Таким образом что стремиться к бесконечности с ростом л, поэтому действительно Иаков со временем станет богаче Лавана. Например, для д = 10 %, У = 2, п = 20 отношение для У„/Е„приблизительно равно 3.
б) Парадокс процессов с независимыми приращениями Процессы с независимыми приращениями и их дискретные варианты, частичные суммы независимых случайных величин, являются классическими объектами исследования в теории вероятностей. Пусть Хь Хь ...— независимые (не равные тождественно нулю) случайные величины с нулевым математическим ожиданием.
Тогда суммы Бл = Х, +Х,+ ... +Х., а = = 1, 2, ... колеблются около нуля, т. е. если величины Х; одинаково распределены, то (согласно теореме К. Чжуна и В. Фукса, доказанной в 1951 г.) Р(Ищ зпрЗ„+ оо)=Р(1пп 1п(3„= — оо)= 1. Однако это свойство колебаний может не выполняться, если случайные величины Х~ распределены неодинаково. Например, положим Х~ — — У,/~/1 — 1, где Р(У; = 1-') = 1 — 1-з и Р(У; = — 1+ 1-') = 1-з. Если случайные величины У; независимы, то величины Х~ также независимы и имеют нулевое математическое ожидание н единичную дисперсию.
По лемме Борелл — Кангелли, если Аь Ам Аь ...— произвольные события и сумма их вероятностей сходится, то с вероятностью 1 происходит только конечное число событий Аы Следовательно, событие У~ — ††! + 1-' также происходит лишь конечное число раз (так как 2, 1 ' ( со), поэтому для достаточно больших с-~ а с вероятностью 1 имеем У;= г', т. е. Х,=1/1/с' — ! . Та- ким образом, Р ( 1пп Я„= оо) = 1.
л.» в) Парадокс забитых голов Две команды А и В играют друг с другом в футбол. Предположим, что силы команд равны (т. е. в любой момент матча обе команды забивают следующий гол с вероятностью 1/2). Если продолжительность интервала времени между двумя по. следовательными голами постоянна, то кажется естественным считать, что в течение 50» игрового времени впереди была команда А и в течение других 50% — выигрывала команда В. Удивительно, но верно как раз противоположное: наименее вероятен тот случай, когда А (или В) ведет в игре в течение половины игрового времени (если общий счет равный, то считается, что вела в игре та команда, которая выигрывала перед последним голом). Если в игре было забито а = 20 мячей, то вероятность того, что после 10 голов впереди была команда А и после других 10 голов выигрывала команда В, равна всего лишь б '/,.
А вероятность того, что одна из команд выигрывала в течение всей игры, приблизительно составляет 35 %. Удивительно также, что вероятность того, что одна из команд впереди во время всей второй половины игры, равна 50 %, независимо от величины а. Ситуация сильно изменится, если «способность забивать голы» у команд зависит от счета в игре.
Пусть есть вероятность того, что команда А забивает следующий гол, если А впереди иа к мячей и л чь 0; р» = 1/2. При больших с и малых й неравенства 0 ~ р» ( 1 могут нарушаться, тогда положим рь = 1/2. (Если с = О, то р»=!/2 для всех л и мы приходим к простой модели, которую только что рассмотрели.) При положительных значениях с выигрывающая команда имеет больше шансов забить следующий гол.
Если с ) 1/2, то спустя некоторое время одна из команд «ломается», т. е. при большом числе забитых мячей только одна команда (какая именно в зависит от случая) впереди почти все 100 » игрового времени. С другой стороны, прн отрицательных значениях с проигрывающая команда забивает гол с большей вероятностью. При с ( — 1/2 ход матча переменчив н интересен: половина матча впереди одна команда, во второй половине — другая команда.
Можно показать, что прн с = О вероятность того, что доля игрового времени, в течение которого выигрывает команда А, не превышает х (О ( х ( 1), сходится к 9 г" (х)=-„агсз[п )/х при н-ооо. Соответствующая плотность вероятности для О(х(1 есть функция 1(х) = м Ч/л~~:'::л) ' которая принимает наименьшее значение при х = 1/2. Таким образом, плотность вероятности минимальна в точке, соответствующей тому, что А выигрывает в точности в течение 50 о/о игрового времени.
Это закон арксинуса Поля Леви (1939 г.). (Я предполагаю, что в общем случае плотность вероятности пропорциональна (2с+ 1)-й степени функции 1(х), если с ( ( 1/2.) Наконец, еще один удивительный факт: пусть в случае с = О игра закончилась вничью (п: н). Мы хотим узнать, в течение какого времени выигрывала команда А, и в качестве единицы времени берем интервал между двумя последовательными голами. Тогда вероятность того, что А выигрывала в течение 2й (гг = О, 1, 2, ..., н) единиц времени не зависит от )г! [Лнтс Ре!!ег %.
Ап lаиосасиоп го Ргоьаь!Шу Тйеогу апг! ив Аррдсаиоав, 1ойп ЧГПеу, Хеге 'г'огас, !969. [Имеется перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей я ее прнложеняя. В 2-х томах.— Мс Мнр, 1934.1 саюрег1! Д "Сг))ег!а 1ог геспггепсе ог 1гапв)епсе о1 в1осйавпс ргосевв 1", Л Маьц Апа!. АРР1., 1, 314 — 330, !1960).) г) Парадокс ожидаемого времени разорения Пусть А и В играют в орлянку. Если выпадает герб, то А платит В, если решка, то В платит А 1 доллар. Начальный капитал у А составляет 1 доллар, у  — 999 долларов; они играют до тех пор, пока один из них не разорится.
У А, конечно, больше шансов первому остаться без денег. Если при первом бросании монеты выпадает герб, то А уже разорен. Как зто ни удивительно, но ожидаемая продолжительность игры довольно велика: в среднем лишь после 999 подбрасываний монеты один из игроков разорится. (Не является ли такая продолжительность намного больше того, что мы ожидали7 В общем случае можно доказать, что если А имеет а долларов, и у его противника В есть Ь долларов, то средняя продолжительность игры составляет аЬ испытаний, в частности при а = Ь ожидаемая продолжительность игры равна а'.) Ф.
Штерн исследовал случай, когда монета может быть несимметричной, и в 1975 г, привлек внимание ученых к следующему удивительному явлению (см. МаГЬ. Мал. 48, 286 — 288). Предположим, что при каждом бросании монеты игрок А выигрывает с вероятностью р,  — с вероятностью 1 — р (О < р< 1), н оба игрока имеют по а долларов в начале игры. Кажется очевидным, что при р чь 1/2 условное математическое ожидание продолжительности игры при условии, что разорился игрок А, совершенно отличается от условного математического ожидания при условии, что к концу игры разорился игрок В.
Однако можно показать, что независимо от предположения, кто именно, А или В, разорился, средние продолжительности игр, а также их распределения совпадают. Доказательство простое: вероятность разорения В после (2й+ а)-го испытания запишется в виде ры+, —— = ск р"+'(1 — р)' (Ь = О, 1, 2, ...), и, аналогично, вероятность разорения А после (2Ь + а)-го испытания равна ды» = ск ~р" (1 — р) '», где ск ~ — общее число игр, в которых ровно Ь раз выпадал герб и й+ а раз — решка. Поскольку отношение ры» .
.д,~+, не зависит от й, условные распределения рм„/~~„р +, и д,„.„(~ 'ды~, совпадают, как мы уже отмечали. Объяснение этого явления заключается в следующем факте: при р = 0.99 продолжительная игра с большой вероятностью закончится разорением В, поэтому ожидаемая продолжительность игры при условии, что разорился А, будет столь же короткой, как и в случае, когда известно о разорении В. (Другое объяснение см. в статье Зепе!а Е. еАпо1)»ег 1оок а1 !пдерепдепсе о1 )»!1!!пп р!асе апд !ппе 1ог зппр!е гапбот чгог!»», посл.
Ргос. аЫ Яе!г Арр!., 1О, 101 — 104, (!980).) Мы уже отмечали, что если игроки А и В имеют по а долларов и монета симметричная, то ожидаемая продолжительность игры равна а'. Но что произойдет, если игра проводится с помощью двух различных монет: вероятность выигрыша для А, когда бросается первая монета, равна р» = 1/2+ з, и при бросании второй монеты — рз = 1/2 — е (О < а< 1/2). При каждом испытании выбор р» или рз игроками случайным образом зависит от капитала й (Ь = 1, 2, ..., 2а — !) игрока А, а именно, перед началом игры каждому значению, независимо одно от другого, мы приписываем р» или рз с равными вероятностями.
Интуи- тивно кажется, что эта игра с се усложненной формулировкой практически идентична, по крайней мере при больших а, игре, в которой р! = ра = 1/2 для всех й (т. е. классической игре, связанной с бросанием монеты), так как болыпос число членов ~в прн больших а уравновешивают друг друга. Но это не так. Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
