Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Дж. Витали знал этот результат еще в !906 г. Пусть фазовым пространством будет интервал (О, 1), и попробуем определить вероятность на всех его подмножествах так, чтобы получить «равномерное распределение». Очевидно, вероятность Ь вЂ” а следует приписать подынтервалу (а, Ь). Таким образом, в силу сигма-аддитивности вероятность автоматически определена на наименьшей сигма-алгебре, содержащей интервалы.
Эту вероятность можно продолжить на некоторые другие множества, но существуют множества, на которые продолжение невозможно, т. е, на которых вероятность нельзя определить в соответствии с «равномерным распределением». Пример такого «патологического» множества был построен Э. Цермгло следующим образом. Он разбил точки интервала (О, 1) на непересекающиеся классы так, что точки, расстояние между которыми равно какому-то рациональному числу, принадлежат одному и тому же классу. Тогда, используя аксиому выбора, Цермело определил множество Н, которое содержит в точности по одной точке из каждого такого класса. Можно доказать, что на этом множестве Н нельзя определить вероятность, соответствующую «равномерному распределению». Можно также показать, что если мы откажемся от «равномерности», но потребуем, чтобы каждое подмножество й имело вероятность, и вероятность каждой точки из й равнялась О, то даже такое определение вероятности невозможно в случае, когда фазовое пространство Й счетно или имеет мощность континуума при условии, что справедлива континуум-гипотеза (см.
В!гЬЬо11 О, ЕаШсе Тйеогу, Агпег. Ма(Ь. Вос., Ргоч!бепсе, 1967, р. 266). До сих пор неизвестно, существует ли пространство 1« (достаточно большой мощности), для которого можно определить вероятность, удовлетворяющую указанным выше условиям. В этом состоит так называемая проблема измеримых мощностей. Ситуация сильно изменится, если отказаться от аксиомы выбора: см. ЗесЬ Т. Яе! Тйеогу, Асад. Ргезз, Ые» Уогй, 1978 и Во1очау В. М. А пюбе! о1 зе1 (Ьеогу '1п тчЬ!сЬ ечегу зе1 о1 геа1э !з (.еЬезиие гпеазигаЫе, Аииа!э о! Ма!!г., 1 — 56, (1970). Хотя в теории Колмогорова вероятность всегда неотрицательна, некоторые теоремы в теории вероятностей можно обобщить на случай, когда отрицательные числа выступают как вероятности. Например К. Хохберг (НосЬЬегп К.
л. Ргос. Агиег. Ма!А. Яос., 79, 298 — 302, 1980) доказал, что в теоремах, полученных в результате такого обобщения центральной предельной теоремы, возникают действительные (положительные и отрицательные) «плотности вероятности» и„(А х), которые можно вы. вести из фундаментальных решений следующего обобщения дифференциального уравнения теплопроводности ди»+~ д»»и д! ( ) дх»" ' и = 2, 3, ... (при и = ! имеем обычное дифференциальное уравнение теплопроводности). Однако в настоящей книге не рассматриваются отрицательные и комплексноэначные вероятностные меры и не обсуждаются другие обобщения вероятности.
1. Парадоксы случайных натуральных чисел а) История парадоксов В теории вероятностей Колмогорова невозможно выбрать отдельное натуральное (целое положительное) число из множе- ства натуральных чисел случайным образом в смысле равномерного распределения, так как если вероятность выбора, например, единицы равна О, то в силу равномерности вероятность выбора любого другого натурального числа также равна О. Таким образом, свойство сигма-аддитивности приводит к противо. речию, поскольку вероятность выбора натурального числа равна 1, а не О. С другой стороны, если вероятность выбора единицы положительна, то сигма-аддитивность снова приводит к противоречию (тогда вероятность достоверного события бесконечна). Несмотря на этот факт, естественно ожидать, что вероятность выбора нечетного или четного числа составляет 1/2.
Следующее определение (в котором нет требования сигма-аддитивности) приводит именно к этой вероятности. Пусть К в произвольное подмножество натуральных чисел, и й, обозначает число элементов в К, которые не больше л. Относительная частота и„/л дает вероятность выбора числа из К при условии, что выбор производится из первых л чисел случайно и равномерно. Если существует предел относительных частот к„/л прн л, стремящемся к бесконечности, то этот предел называется вероятностью множества К. По этому определению вероятности выбора целого числа, которое делится на 2, 3 и т. д., равны соответственно 1/2, 1/3, .... Можно также легко вычислить вероятность того, что два случайных целых числа (распределенных равномерно и вы.
бранных независимо друг от друга) взаимно просты. Сначала предположим, что оба этих числа не больше л. Тогда вычисляется соответствующая вероятность (зависящая от л) и затем находится ее предел при л-~- оа. Еще в прошлом веке Чебышев показал, что этот предел равен 6/лг(ж 2/3). Следовательно, если числитель и знаменатель дроби являются случайными натуральными числами, то дробь несократима с вероятностью 6/лг. Следующие парадоксы также связаны со случайными натураль. ными числами. По утверждению Дж.
Литлвуда первый парадокс принадлежит знаменитому физику Э. Шредингеру. В статье Ф. Кантелли, опубликованной в 1935 г., второй парадокс приписывается П. Леви. (П. Леви был одним из самых выдающихся специалистов по теории вероятностей В Парижской академии наук он занял место Пуанкаре и Адамара.) б) Парадоксги (1) На лбу у каждого из игроков А и В пишутся по одному из двух последовательных случайных натуральных чисел. Игрок с меньшим числом проигрывает и должен заплатить другому сумму в долларах, равную числу, написанному на его собственном лбу. Оба игрока имеют право вето, т. е.
посчитав, что число на лбу соперника слишком велико, любой из них может потребовать проведения новой игры. (Игроку, естественно, неизвестно то число, которое написано на его собственном лбу.) Однако никто нз игроков не хочет пользоваться правом вето по следующей причине. Каждый нз ннх рассуждает: «На лбу соперника я вижу число и. Следовательно, у меня на лбу либо й — 1, либо й+ 1. Каждое нз чисел равновозможно, но при проигрыше я заплачу й — 1 долларов, а прн выигрыше получу и долларов, поэтому лучше правом вето не пользоваться».
Поскольку ожидаемое значение выигрыша положительно, игра представляется выгодной для обоих игроков, что, конечно, невозможно. (й) Выберем два независимых случайных равномерно распределенных натуральных числа Х и У. Для любого фиксированного (неслучайного) числа х вероятность того, что У ( х, равна О. Аналогично, для любого фиксированного у вероятность события Х ( у равна О. Следовательно, также с нулевой вероятностью одновременно выполняются неравенства У ( Х н Х ( У, что невозможно, так как одно из них всегда справедливо в) Объяснение парадоксов (!) Парадокс иллюстрирует тот факт, что на множестве натуральных чисел нельзя определить равномерное распределение.
Если числа, которые пишутся у игроков на лбу, меньше тысячи, то на таких числах уже можно задать равномерное распределение, но тогда рассуждения, которые были выше и привели к парадоксу, станут совершенно ложными. (й) Вероятность события У (х при любом фиксированном х, несомненно, равна О (в силу определения, о котором говорилось в истории парадоксов), но отсюда не следует, что нулевой является также вероятность того, что У(Х. Это было бы так только в том случае, когда вероятность снгма-адднтнвна, но вероятность, о которой сейчас идет речь (как мы уже отмечали), не сигма-адднтнвна.
г) Замечания (!) Теория чисел и теория вероятностей тесно взаимосвязаны. Для иллюстрации того, как вероятностные идеи можно использовать в теории чисел, сначала вспомним, что относительная частота простых чисел среди целых чисел, не превосходящих п, приблизительно составляет 1/!п л (прн достаточно больших и). Предположим, что простые числа распределены случайно н независимо друг от друга среди первых и чисел. Тогда вероятность выбора двух простых чисел близких к л приблизительно равна 1/(!ив)' (в силу их независимости). Рассмотрим интервал длины с, содержащий и (с мало по сравнению с и, но достаточно велико для получения статистических выводов).
Из предыдущего результата следует, что число близнецов (простых чисел, разность между которыми равна 2), принадлежащих этому интервалу, примерно равно с/()пл)'. Более тщательный анализ (принимающий во внимание, например, тот факт, что целое число, отличающееся от простого числа (~ 2) на 2, очевидно, нечетно и поэтому скорее всего само является простым) показывает, что ожидаемое число близнецов приблизительно на 32 $ больше, чем с/(!па)'. Исходя из этого, М.
Джонс, л4. Лал и У. Бландон в 1967 г. опубликовали в «Вычислительной математике» таблицу, которая показывает, например, что среди первых 150 тысяч чисел после 100 миллионов ожидаемое число близнецов равно 584. В действительности их 601. Разница сравнительно мала. Аналогично, при рассмотрении первых 150 тысяч чисел после 1О" ожидается встретить среди них 191 близнеца, на самом деле их 186. Такой «статистический» подход к изучению простых чисел дает относительно хорошие результаты и представляет особый интерес, так как до сих пор неизвестно конечно или бесконечно множество близнецов.
(Наибольшее простое число, известное к настоящему моменту, равно 2««»4' — 1.) Простые числа следуют друг за другом по очень сложному правилу, которое кажется случайным. Поэтому вероятностный подход здесь наиболее приемлем. Мы вернемся к связи между сложностью и случайностью в «парадоксе метода Монте-Карло». (й) Для конечно-аддитивного равномерного распределения вероятность любого конечного подмножества А (натуральных чисел) равна О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
