Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Предположим теперь, что распределение не равномерное, но обладает тем свойством, что для произвольного заданного положительного числа е найдется конечное множество А, имеющее вероятность Р(А) ) 1 — а. Тогда различие между аддитивностью и сигма-аддитивностью исчезает. Точнее, если вероятность Р аддитивна на конечных подмножествах натуральных чисел (или на произвольном счетном множестве Й), то эту вероятность можно продолжить на любое подмножество таким образом, что продолжение будет сигма-аддитивным на сигма- алгебре всех подмножеств натуральных чисел.
Если множество ь) — несчетное (например, Ы вЂ” весь интервал (О, 1)), то могут возникать довольно странные адднтивные вероятности. Они могут принимать только значения 0 и 1 и определяться на всех подмножествах интервала (О, 1) (в этом случае требуется аксиома выбора). Эти вероятности являются странными, так как счетное число событий, имеющих вероятность 1, вряд ли произойдет одновременно, т. е. вероятность этого события может равняться О. Аналогично, по крайней мере одно из счетного числа событий, имеющих нулевую вероятность, может происходить с вероятностью 1. д) Литература Е!Но( Р, РговоЫ!апс Нитвег Тлеогу, 5рппнег, Ыечг Уогй 1980.
Кас М. "5(а(!зиса! !пберепбепсе !п ргоЬаЫ!!!у, апа!уз!з апб пшпЬег !Ьеогу", Сагиз, Моы. Мопоагорнз, !2, %!1еу, Ыет МогИ, !959 (Имеется пе. ревод: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. — Мп ИЛ. !9634 йепу! А. еоп а пете ахютаис !Ьеогу о( ргаЬаЫ!Пу", Лего Миы. Лсак 5сг. Нилу., 6, 285 — 335, (!959). В следующей статье содержится парадоксальный подход к одной знаменитой нерешенной проблеме.
В статье утверждается, что гипотеза Римини (в которой случайности нет!) справедлива с вероятностью единица: Особ 1. Л, Сьигсььоизе й. Р. 3ТЬе й!етапп Ьурощезы апб рзеибогапбот 1еа1игез о1 Гйе Моыиз зеяиепсе", Ми!Ьетопсз о) Сотри(оиоп, 22, 857 — 864, (1968). Вероятностный аналог известной теоремы )(ирихле о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всяной арифметической про. грессии из целых чисел обсуждается в статье йигза !. 2„5хейе!у О.
1. "1п1егзеснопз о1 (гасез о( гапбот мажа т!(Ь Пхеб зе!з", Липе!з о( Рговоы!Пу, 16, !32 — !36, (1982). 2. Парадокс Банаха †Тарско а) История парадокса Равномерное распределение, которое соответствует длине, площади и объему в одно-, дву- и трехмерных пространствах, нельзя определить на всех множествах, если требуется сигма-аддигивность меры, Однако польский математик С, Банах показал, что если предполагать только аддигивносгь (т. е.
мера объединения двух несовместных событий равна сумме мер этих событий), то в одно- и двумерном пространствах ограниченное множество становится измеримым (имеет длину или площадь). Таким образом, в одно- и двумерном случаях равномерное распределение можно определить на любом (ограниченном) множестве, если от вероятностей требовать только аддитивность. Вместе с тем в 1914 г. Хаусдорф доказал, что такое продолжение мер в трехмерном пространстве невозможно.
В 1924 г. С. Банак и А. Тарский доказали парадоксальную теорему, в которой красочно показано, что ни аддитивная мера (объем), ни соответствующее равномерное распределение не могут быть определены на всех ограниченных множествах трехмерного пространства. б) Парадокс Рассмотрим шар радиуса г = 1 см. Его можно разделить на некоторое конечное число частей и затем, перегруппировав эти части и собрав вновь, образовать шар радиуса )г=,! км, В общем случае, если А и  — ограниченные подмножества в )г', имеющие иепустую внутренность, то существуют натуральное число л и разбиения (Аб 1( ! < л) и (Вб 1 </( и) иа л частей соответственно множеств А и В такие, что А~ коигруэитио В~ для всех /. (Подмиожество Х в Я' ограничено, если оио содержится в некотором шаре, и Х имеет иепустую внутренность, если оио содержит некоторый шар.
Разбиение множества Х озиачает совокупность попарно ие пересекающихся подмножеств Х, объединение которых совпадает с Х.) в) Объяснение парадокса Разделив шар радиуса г = ! см иа конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можио получить только сплошные фигуры, объем которых равен объему исходного шара радиуса в 1 см. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится иа части, имеющие объем. Суть парадокса заключается в том, что в трехмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые ие имеют объема, если под объемом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности, и предполагаем, что объемы двух коигруэитиых множеств совпадают.
(В доказательстве теоремы Баиаха — Тарского используется аксиома выбора Цермело.) г) Замечания Некоторые выдающиеся математики (иапример, итальянский ученый де Фииетти) считают, что сигма-аддитивиость вероятности — это слишком сильное ограничение, ио признают аддитивность. Парадокс Баиаха — Тарского показывает, что при замене сигма-аддитивности иа аддитивиость ие только ие решаются все проблемы, ио возникают новые. В теории автоматов дилемма— принимать или ие принимать сигма-аддитивиость — стала иастолько критической, что даже Британская энциклопедия приняла участие в ее обсуждении.
Электронные вычислительные машины часто используются для получения (теоретически) бесконечных последовательностей случайных чисел (см. следующий парадокс). Вероятность каждой последовательности нулевая, ио ве. роятиость их объединения равна 1. Таким образом, принятие сигма-аддитивности основано иа молчаливом предположении,что автомат ие может породить случайное явление, т. е. случайные и неслучайные последовательности разделяются так же, как и в греческой мифологии: там есть различные богини — Тюхэ (богиня случая, удачи) и Мойры (богиии судьбы), д) Литература Вапась 5., Тагьь! А. "5пг )а йссотроьпюп йсь спьсгпысь йс рот!ь сп рагись гсьрсс1!астап! сопягпсп1сь", Раас!.
МаИ., 6, 244 — 277, (1924) 5!готьсгя К. "ТЬс Вапась — Тагьь! рагалоь", Тьс Апгег!сага МаИ. МопИ!у, аа, 151 — 190, (1979). 3. Парадокс метода Монте-Карло а) История парадокса Метод Монте-Карло — численный метод, основанный на случайной выборке. При решении вычислительных задач часто можно найти подходящую вероятностную модель, в которую входит искомое неизвестное число. Затем для решения задачи много раз наблюдаются исходы случайных экспериментов,включенных в вероятностную модель, с тем чтобы с заданной точностью (на основе наблюденных значений) можно было оценить искомое число.
Хотя идея этого метода довольно стара, его настоящее применение началось лишь с появлением компьютеров, когда Е. Нейман, С, Улам и Э. Ферми использовали метод Мон. те-Карло для приближенного решения трудных вычислительных задач, связанных с ядерными реакциями. Название метода объясняется тем, что в нем применяются последовательности случайных чисел, в качестве которых могли бы выступать регулярно объявляемые результаты игр, проводимых в казино, например, в Монте-Карло. Однако на практике случайные числа, необходимые для метода, выдает сам компьютер. Следовательно, симпатичное название (его впервые использовали в 1949 г. Н.
Метрополис и С. Улам) вводит в заблуждение (метод вряд ли поможет выиграть в Монте-Карло). Идея метода МонтеКарло впервые появилась в 1777 г. в работе Бюффона (см. 1. 11), где излагался метод оценки числа я путем бросания иголки наугад. Предположим, что на столе проведены параллельные прямые на единичном расстоянии друг от друга, и на стол наугад бросается иголка длиной Е ( 1, при этом угол между прямыми и иглой и расстояние от середины иглы цо ближайшей прямой являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными соответственно на (0,2п) и ( — 1/2, 1/2). Тогда игла пересечет какую-нибудь прямую с вероятностью 2Е/и.
Если проводить эксперимент много раз, то относительная частота пересечений будет очень близка к теоретической вероятности 2Е/п, и таким путем можно вычислить значение я. Этот метод нахождения приближенного значения к имеет чисто теоретическое значение, так как для получения двух точныт знаков после запятой нужно совершить несколько тысяч бросаний. (С помощью другого метода можно определить мил- лион знаков числа и, см.
статью Г. Мила.) Задача Бюффона об игле показывает, что метод Монте-Карло не подходит для очень точных вычислений. Даже для получения результатов с точностью до двух или трех знаков требуется проведение тысяч или миллионов экспериментов. Следовательно, метод Монте-Карло применим только тогда, когда проведение экспериментов моделируется компьютером. Вместо бросания иглы выдаются два независимых случайных числа, которые определяют положение (предполагаемой) иглы и произошло ли ее пересечение с (предполагаемыми) прямыми. Поскольку компьютер способен выдавать несколько миллионов чисел в минуту, моделирование миллионов экспериментов не займет слишком много времени; без компьютера для этого потребовалась бы вся жизнь. Теория построения случайных чисел на компьютерах превратилась в важное направление в математике. Вместо настоящих случайных чисел (которые возникают в ходе случайных физических процессов, например, в ходе радиоактивного распада) популярными становятся псевдослучайные числа, конструируемые с помощью детерминированных вычислительных алгоритмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
