Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

(В) Анализируя вторые или третьи и т. д. цифры, обнаружим, что влияние «эффекта Бенфорда» практически отсутствует, если вообще существует, т. е. вторые, третьи и другие цифры распределены почти равномерно. д) Литература Веп1ог6 Ц "тье !ааг о1 апогпа!ооь ппгпЬегь", Ргос. Алгег. РМ!.

Бес, 78, 55! — 572, (!938). ХегесопгЬ 5. тыо1е оп аье 1геяпепсу о1 оье о1 Ше 6!Негеп1 6!81!ь !и па1пга! пшпЬегь", Агпег. У. Мой., 4, 39 — 40, (!88! ). Йа)гп) й. А. "ТЬе Пгь! 6!8И ргоыегп", Тне Аглег!сел МоИ. МолИ1у, 83, 52! †5, (!978). 8. Парадокс нулевой вероятности (можно ли из ничего получить что-тот] а) История парадокса Вероятность невозможного события есть нуль, обратное же неверно: вероятность попадания в центр мишени равна нулю, но это событие не является невозможным. Вероятность попадания в любую из тысячи фиксированных точек также нулевая, но кажется, что это событие более правдоподобно, чем попадание в центр.

Следовательно, возникает вопрос: можно ли сравнить «шансы» событий, имеющих нулевую вероятность, или нет? Другая проблема состоит в том, что вероятность попадания в какую-то конкретную точку мишени равна нулю, но хороший стрелок в мишень наверняка попадет, поэтому объединение событий, имеющих нулевую вероятность, может дать событие, имеющее вероятность 1, т. е. из ничего, когда его много, действительно, что-то получается.

Возможно ли это на самом деле? Этот парадокс подобен известному уже две с половиной тысячи лет парадоксу Зенона о невозможности движения. Зенон утверждал, что летящая стрела в каждое мгновение неподвижна (или, иными словами, перемещение стрелы за нулевой интервал времени также должно быть равно нулю), поэтому невероятно, что стрела вообще движется. Вопрос здесь тот же самый: как может случиться, что сложение многих «ничто» дает в результате «нечто»? Таким образом, нашему парадоксу по существу несколько тысяч лет, однако его удовлетворительное объяснение появилось лишь в последние десятилетия, благодаря исследованиям Абрахама Робинсона (1918 — 1974 гг.).

б) Парадокс Возьмем наугад точку из интервала (О, 1). Тогда вероятность того, что мы взяли именно точку 1/2, равна нулю так же, как и вероятность выбора любой из точек 1/100, 2/100, 3/100, ..., хотя последнее событие кажется более правдоподобным. Действительно ли невозможно различить вероятности этих двух событий? в) Объяснение парадокса В ходе развития арифметики вводились все более сложные типы чисел: после натуральных чисел и дробей появились нуль, отрицательные, действительные (= рациональные+ иррациональные) и комплексные числа. В 1960-х годах множество чисел пополнилось в результате введения бесконечно малых чисел, или просто бесконечно малых.

Со времен Ньютона и Лейбница в дифференциальном и интегральном исчислениях использовалось словосочетание «бесконечно малые», однако оно применялось чисто символически без четкого определения или обоснования. Именно из-за отсутствия обоснования бесконечно малые были изгнаны в прошлом веке из строгой математики, однако не исчезли совсем (так как физики использовали их постоянно). Математики перешли к «эпсилон-дельта» анализу, который до сих пор соответствует духу университетского образования. Теория Робинсона закладывает прочный логический фундамент «под» применение бесконечно малых, и в будущем веке, видимо, возобновят обучение студентов оригинальным эвристическим идеям Ньютона и Лейбница.

(В университетах штата Висконсин и в Массачусетском технологическом институте студенты уже сейчас могут, если захотят, выбрать вместо эпсилон-дельта теории Вейерштрасса теорию Робинсона.) Бесконечно малые можно обычно использовать в вычислениях подобно другим числам. Хотя деление на нуль запрещено, деление на бесконечно малое строго определено: величиной, обратной к бесконечно малой, является бесконечно большое число, и наоборот, величина, обратная к бесконечно большому числу, всегда есть бесконечно малая.

До появления теории Робинсона считали, что рациональные и иррациональные (т. е. действительные) числа заполняют всю числовую прямую. Исследуя отдельную точку на числовой прямой под «математическим микроскопом» Робинсона, мы видим не только эту точку, но и множество бесконечно малых, которые бесконечно близки к ней. Из уважения к Лейбницу этот образ называется «монадой». С помощью бесконечно малых можно разрешить многие парадоксы, в частности парадокс Зенона и парадокс нулевой вероятности.

Суть в том, что нужно делать различие между нулем и бесконечно малыми числами. Например, каждому подмножеству некоторого интервала можно приписать вероятность так, что эта вероятность равна нулю только для пустого подмножества, соответствующего невозможному со- бытию, а для любого другого события вероятность положительна, хотя, возможно, и бесконечно мала.

Далее, для множества А, имеющего вероятность Р(А) в традиционном смысле, получим вероятность, отличающуюся от Р(А) самое большее на бесконечно малое. (Эта новая вероятность не снгма-аддитивна, а лишь аддитивна.) Теперь мы действительно можем сказать, что вероятность выбора одной точки, например центра интервала, меньше вероятности выбора одной из двух точек: разница есть бесконечно малое число. г) Замечание Ньютон попытался сформулировать законы природы в математической форме, таким образом, он приблизился к границе между конечными и бесконечными величинами. А Робинсон воспринял саму бесконечность (следуя примеру Г. Кантора и других) и сделал ее привычной для всех математиков. д) Литература Еохеозьогб тгг. Л.

Я. (еб.) Арригоиоов о) Лгоое! Таеогу 1о А)уеаге, Аое!увм опг! РгобоЫ!11у, Ной, й!оеЬан аоб %1ов!оо, Хев Уогк, 19б9. йоЬ|пвоп Л. "Хоо-в1апбагб апа!уив", Ргое, ггеоег!. Ааеж Ууеееовса, 94, 499--440, (19б1). йошйвоп Л, иоо-Иоодоги Аоо!уги, Ноге-Нонапе, Лгов!егбат, !9бб. 9. Парадокс безгранично делимых распределений а) История парадокса Понятие безгранично делимого распределения ввел в 1929 г. Б. де Финегти.

Распределение г называется безгранично делимым, если для любого положительного целого числа л найдутся л независимых одинаково распределенных случайных величин таких, что функция распределения их суммы совпадает с г". Пусть г"! и гв — функции распределения двух независимых случайных величин. Обозначим функцию распределения их суммы через г!еуа.

Операция е называется сверткой. Очевидно, (Р! * Рв) е ив = Г! * (Р в * иа) (это означает, что алгебраически функции распределения с операцией свертки образуют коммутативную полугруппу). Функция распределения г" является =-безгранично делимой (по указанному выше определению), если для всех натуральных чисел л существует функция распределения г"„, для которой рл е ~л * о его Например, нормальное, пуассоновское и показательное распределения безгранично делимы. Основное значение безгранично делимых распределений состоит в том, что они выступают как предельные распределения для сумм независимых случайных величин. В 1936 г. Крамер доказал, что если свертка двух распределений нормальна, то оба распределения обязаны быть нормальными и, следовательно, безгранично делимыми.

Лва года спустя Райков получил аналогичный результат для пуассоновских распределений. Эти результаты удивительны тем, что из них следует, что нормальные распределения можно разложить только на нормальные, и аналогичный факт верен для пуассоновских распределений. Но еще более удивительно то, что безгранично делимые распределения можно разложить на компоненты, не являющиеся безгранично делимыми. б) Парадокс Существуют функции распределения, которые не безгранично делимы, но их свертка безгранично делима. в) Объяснение парадокса Покажем, что показательное распределение можно представить в виде свертки распределений, которые не являются безгранично делимыми.

Рассмотрим показательное распределение с параметром Х = 1, его плотность вероятности равна е-", если х ) О, и 0 для х ( О. Это распределение, действительно, безгранично делимо, так как п-кратная свертка гамма-распределения порядка 1/и (с плотностью вероятности хн" 'е /Г(1/и), если х ) О, и 0 для х ( 0) совпадает с нашим показательным распределением. Однако его можно разложить не только на гамма-распределения (которые сами безгранично делимы), но и представить в виде свертки двух распределений, одно из которых имеет значения й= О, 1, 2, ...

с вероятностями 2-<"+и, а другое сосредоточено на интервале (О, 1), т. е. все его значения принадлежат интервалу (О, 1). Последнее распределение не является безгранично делимым. Согласно замечанию (1) распределение любой ограниченной случайной величины не может быть безгранично делимым. Итак, мы уже знаем, что безгранично делимое распределение может не иметь безгранично делимых компокент в смысле свертки. Далее, обе компоненты показательного распределения, полученные выше, можно разложить дальше так, что каждая компонента сосредоточена в двух точках, точнее, в 0 и в целой степени двойки. Эти распределения (как и любое распределение, сосредоточенное в двух точках) ие только ие безгранично делимы, ио и далее неразложимы (т. е.

Характеристики

Список файлов книги