Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. не имеет плотности вероятности. (История патологических и очень патологических, т. е. «сингулярных», функций началась в !904 г., когда А. Лебег опубликовал свою книгу по интегрированию функций. Один из последних результатов по сингулярным функциям принадлежит также Са1ег г.
5. "Моз( гпопо1опе 1ппс1!опз аге по1 з!пцп!аг", Т. Замрифеску, см. Еагпг!(езсп Т. "Моз( гпопо1опе (ппс11опз аге з!пдп!аг", Т!ге Атее!сап Ма!!г, Моп1Ыу, 88, 47 — 49, (1981). См. Т)ге Агнес(сап Май. МопЯ)у, 89, 466 — 469, (1982).) (й) Пусть совместная плотность вероятности случайных ве- личин Х и У задана равенством Й(х, у)==е """"в*"'. 1.«1 3 ~/ял Тогда плотность вероятности величины Х есть + то, х=О, 1(х)= ~ гг(х, у)г(у=~ ! 2 1 ' а Ясно, что функция (г непрерывна, а функция 1 в нуле разрывна.
Л, Кларк построил пример (7)ге Атее(саи Ма%. Мои!Ыу, 82, 845 †8, (!975), когда гг непрерывна везде, а 7 не является непрерывной нигде1 Легко показать, что 1 всегда полунепрерывна снизу, т, е. )гш 1(х'))1(х). к'-ев Более того, если интеграл по всей прямой от неотрицательной полунепрерывной функции равен единице, то существует непрерывная плотность вероятности Й(х, у), для которой 1(х) = ~ (г(х, у)агу. (Лиги Реи!пя М.
Л., Уегьее1г А ьОп пгвгя!пв! аепв!!у 1опсиопв о! соп!)попов аепвщев !Г', Тле Агпепсап Маце Мопса(у, 84, 364 — 366, (1977).) в) Парадокс продав!(а газет Продавец газет заказывает ежедневно У газет. С каждой проданной газеты он получает прибыль в Ь долларов и теряет с долларов на каждой газете, оставшейся непроданной. Каким нужно выбрать Ж, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль? Число покупателей, очевидно, случайно.
Предположим, что оно подчиняется распределению Пуассона с некоторым параметром ?., т. е. вероятность того, что число покупателей в точности равно и, есть Аве-'/и). Положим Ь = 1, с=2 и А =10, т. е. среднее число покупателей равно 10. Тогда можно показать, что следует заказывать в среднем 9 газет. Однако, очевидно, если продавец заказывает лишь 9 газет ежедневно, то среднее число покупателей уменьшится с 1О до 9; но в этом случае оптимальное число газет будет равно 8 и т. д. Объяснение этой парадоксальной ситуации состоит в том, что необходимо принимать во внимание убытки, возникающие из-за потери «потенциального покупателяв, который уходит неудовлетворенным.
Пусть г( долларов составляют потери продавца, если он не мо- жет предложить какому-либо покупателю газету. (Значение д нельзя определить столь же просто, как значения Ь и с, по этой причине его, к сожалению, часто вообще не учитывают. Например, если д = 1$, то для )ь = 10 оптимальное значение У равно 1О.) В общем случае обозначим через Х (случайное) число покупателей (теперь мы не предполагаем, что Х имеет распределение Пуассона). Можно показать, что оптимальное значение А! есть решение уравнения Р(Х) ))7) = ь+ +а, т.
е. если проз+с+о ' давец газет запасается А) экземплярами газет, где Ф вЂ” решение этого уравнения, то его ожидаемая прибыль будет максимальна. (Литл Могье Р. М., К!шьь!1 О. Е. Ме!Ьог)ь о[ Орегоаопь )?еьеогсз, 'йг))еу, Ыегч Уог)г, 1951. ОеОгоо! М. Н.
Ор!!те! о!о!!ь!!со! Оесы)оль, Мсбгетт НШ, Неге Уог)г, 1970. [Имеется перевод: Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. — Мс Мир, 1974.)) г) Парадокс Кестена Согласно усиленному закону больших чисел Колмогорова для независимых одинаково распределенных случайных величин Хь Хь Хь, ... последовательность Х„=(Х, + Х, +...
+ Х„?п сходится к некоторой постоянной М с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда у величин Х; существуют математические ожидания; эти математические ожидания равны как раз М. Итак, если М существует, то с вероятностью 1 последовательность Х„очень «регулярна»: ее единственной предельной точкой является М. До какой степени последовательность Х„«иррегулярна», когда М не существует? В 1970 г. Гарри Кестен доказал, что множество предельных точек последовательности Х„ может быть произвольным (неслучайным) замкнутым множеством, содержащим — оо и со с вероятностью 1.
Поэтому множество предельных точек может совпадать со всей числовой прямой, хотя пока неизвестно, какими свойствами в этом случае должна обладать функция распределения величин Хь !Литл Кеь1еп Н. "Тье 1ппц ро)п1ь. о! е погше!1гег гепгош гееПг", Аппо!ь о) Мою. 5!а!!ь!., 41, ! 173 — !205, (1970).) д) Парадокс сгокасгичгского гейзера В 1962 г. Альфред Репьи поставил следующий вопрос. Рассмотрим гейзер, выбрасывающий фонтан с интервалами Хь Хе, .... Предположим, что эти интервалы являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Найдем моменты времени, когда происходили выбросы, 5„= =Х1+Хг+...
+Х . Как велики могут быть ошибки при определении с вероятностью 1 неизвестных распределений случайных величин Х~ на основе полученных данных? Этот вопрос тесно связан со следующей проблемой. Пусть 3„= Х, + Хг +... ... + Х„и Т„= У~ + У, +... + ӄ— частичные суммы независимых одинаково распределенных случайных величин (величины Хь не обязательно не зависят от величин У~).
Насколько близко Я„может быть к Т„, если распределения Х~ и У~ различны? Если (3 — Т„))н стремится к нулю, то по усиленному закону больших чисел математические ожидания величин Х~ и У~ (при условии, что они существуют) не могут различаться (с вероятностью 1). Известный закон повторного логарифма устанавливает, что если у Х существует стандартное отклонение 0(Х), то 1пп зпр " " =0(Х). и.Фью 1/2п 1и 1и и Следовательно, если даже (3„— Т„)(п)и стремится к нулю, то стандартные отклонения у Х и У должны совпадать.
Исследования, проведенные Скороходом и Штрассеном на основе теории броуновского движения, привели к предположению, что если, например, величина Х ограничена, а У нормально распределена, то )3„— Т„'! не меньше Ч'и (при достаточно больших п). Таким:образом, (߄— Т))ь/и ие может сходиться к нулю (с вероятностью 1). В силу этих результатов считали, что моменты выброса у гейзера достаточно измерять с ошибкой, не превосхо- 4 дящей 1/н.
Большой неожиданностью явилось то, что после первых результатов П. Ревеса и М. Черее в 1974 г. Я. Комлош, П. Майор и Г. Тушнади показали, что Я„можно приблизить Т„ настолько хорошо, что даже величина (8„— Т„)/1пп остается ограниченной. Итак, при записи моментов выброса ошибки измерений должны быть в пределах!пи. П. Бартфай доказал, что если ошибки измерения, деленные на !па, сходятся к нулю, то распределения интервалов между последовательными выбросами могут быть определены с вероятностью 1.
(Лето Сгбгпб М, йбтбгг Р, онопко Ар)кохипоиопх 1п Ргоэоз))ау епв Яо1ииох, Апвйогп)а) К1ейб, Войаргг), 1981.) е) Парадокс вероятности в квантовой физике Методы теории вероятностей широко использовались в физике уже в прошлом веке. Классическая статистическая физика начиналась с идеи о том, что равновесие системы (состоящей из большого числа частиц) есть наиболее вероятное состояние системы. Считалось, что методы статистической физики лишь приближенно описывают макроскопическое поведение системы.
Однако в результате вероятностной интерпретации квантовой физики случайность и вероятность стали неотъемлемой частью всей физики. Вероятность стала столь же фундаментальным понятием как, например, энергия, а не чем-то используемым лишь в качестве приближения и без чего в принципе можно обойтись. Даже Эйнштейну, хотя он вовсе не был консервативен, не нравились эти радикальные изменения в основаниях физики. В письме к Максу Барку (получившему Нобелевскую премию за вероятностную интерпретацию волновой функции в квантовой механике) он написал, что верит в существование совершенных законов Природы: «Бог не играет в кости».
В своем ответе Борн объяснил, что вместо решения большого числа дифференциальных уравнений в некоторых случаях можно получить приемлемые результаты, бросая игральную кость. С тех пор идеи Бориа стали доминирующими. Случайность и вероятность — уже признанные понятия в физике. Эти изменения повлияли и на философию: механистический детерминизм потерял свою главенствующую роль. Современное состояние мира ие полностью определяет его будущее состояние.
На основе настоящих знаний можно определить лишь вероятность событий, которые произойдут в будущем. Однако это не означает признание агностицизма, так как законы проявления случайности познаваемы (именно этим и занимается теория вероятностей). Парадоксально, но физическая концепция вероятности не является простым применением математической вероятности в физике.
Мотивы и дух обеих концепций различны. Согласно Р. Фгйнмаку, которому в 1965 г. присуждена Нобелевская премия по физике, законы квантовой физики можно понять, опираясь на теорию вероятностей, возникающую из теории азартных игр, если применить законы теории вероятностей к большому числу частиц, однако эти законы не объясняют поведение отдельного электрона или протона.
Волновая теория дг Бройля и Шредингера и принцип неопределенности Гейзгнбгрга привели, во многом благодаря работам Барка, к созданию между 1926 и 1929 гг. новой квантовой теории вероятностей. Математическая теория вероятностей Колмогорова была построена также приблизительно в это время. Выяснение связи между двумя типами теории вероятностей началось значительно позже, почти двадцать лет спустя; большую роль здесь сыграла работа Г. Макки, основанная на более ранних исследованиях фон Неймана. В конце концов была разработана общая единая теория вероятностей, которая включала в себя и классическую, и квантовую теории вероятностей (см.
книгу Гад- дера). Это разрешает противоречие и позволяет описать теорию вероятностей, основанную на общей структуре случайных событий. (Лето Вогп М. !г'а1ига1 Рддозоуьу о1 С«иге аие Сьаасе, гготег Раь., !Чеег Уог!г, 1964. СгоИег 5. Р, Яосзги11с Мегзгптз иг 1)иал!нег Месхагдсз, Ног!ЬНо1- !епо, Ыеег 'г'огас, !979.) ж) Парадокс криптографии На протяжении нескольких тысячелетий истории криптографии специалисты по тайнописи придумывали все более и более изощренные шифры, а их противники соответственно находили способы их перехитрить с помощью все более и более эффективной техники разгадки шифров. Эдгар Аллан По, считавший себя мастером тайнописи, был убежден, что «...человеческая изобретательность не может придумать такой шифр, который бы человеческая находчивость не смогла разгадать».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
