Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 46
Текст из файла (страница 46)
поп Гке а!КеЬга о! Й!а!г!Ьц!(опа", Ркас )яоы„), !Зз — !49, (!950). 12. Парадокс неразложимых и простых распределений а) История парадокса Неразложимые числа, т. е. числа (больше 1), имеющие в качестве делителей только единицу н самих себя, играют в арифметнке фундаментальную роль. Этн числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... являются также просто!ми числами, т.
е. числами, которые, будучи делителями произведения двух натуральных чисел, являются делителями по крайней мере одного нз этих сомножнтелей. Среди натуральных чисел множества неразложимых н простых чисел совпадают, н числа 2, 3, 5, 7, ... всегда называются простыми числами. Фундаментальная теорема арифметики утверждает, что для каждого целого числа, которое больше еднннцы, существует единственное разложенне на простые сомножители (порядок сомножителей не учитывается). Таким образом, простые числа в арифметике подобны детским кубикам нлн атомам в физическом мире.
Наиболее естественный способ получення информации о какой-либо сложной структуре состоит в разбиении ее на атомы, поэтому вполне объяснимо, что (начнная с прошлого века) понятия неразложнмостн н простоты были распространены на общне алгебраические структуры. Этн понятня можно интерпретировать н для вероятностных распределеннй: здесь роль натуральных чисел играют вероятностные распределення н роль умножения — свертка (определенне свертки см. в «Парадоксе безгранично делнмых распределеннйа). Распределение Р неразложимо, если нз равенства г" = 6- Н следует, что одно нз распределений 6 нлн Н вырождено (т, е.
сосредоточено в одной точке с вероятностью 1; этн распределення играют роль единиц). Распределение г называется простым распределением, если оно является делителем свертки 6 е Н только тогда, когда оно также является делителем 6 или Н. В 1937 г. Хинчин доказал, что каждое распределение представляет собой свертку безгранично делимого распределения с конечной или счетной сверткой неразложимых распределений, т. е. каждую характеристическую функцию ~р(!) можно представить в следуюшем виде ~р(г) =ф(!)Пщ(г), где ф(1) и ~р;(!) — харак! теристические функции соответственно безгранично делимого и неразложимых распределений. Это похоже на фундаментальную теорему арифметики, но есть одно важное отличие: факторизация распределений не единственна.
Например, если распределение Е имеет значения О, 1, 2, 3, 4, 5 с одинаковыми вероятностями 1/6, то Р представимо в виде свертки неразложимых распределений двумя различными способами: при первом разложении первый делитель принимает значения О и 1, второй делитель принимает значения О, 2 и 4 с одинаковыми вероятностями; при втором разложении первый делитель принимает значения О и 3, второй делитель принимает значения О, 1 и 2 с равными вероятностями. Эта неопределенность показывает, что сходство между «арифметиками» чисел и вероятностных распределений неполное.
Следующий парадокс демонстрирует более существенные различия. б) Парадокс Вероятностные распределения с операцией свертки образуют алгебраическую структуру, содержащую множество неразложимых распределений (например, каждое распределение, сосредоточенное в двух точках, неразложимо), но в ней нет ни одного простого распределения. Следовательно, если мы действительно считаем простые распределения «атомами», то здесь вообще нет атомов. Этот факт впервые отметили в 1979 г. И. Ружа и Г. Секей. в) Объяснение парадокса Совсем неудивительно, что простота и неразложимость — это обычно не одно и то же.
Этот факт представляется неожиданным только потому, что в самой знакомой и важной структуре— множестве натуральных чисел — эти оба понятия эквивалентны. Однако в общем случае можно лишь утверждать, что простой элемент всегда является неразложимым, а обратное не обязательно верно.
Совпадение обоих понятий (грубо говоря) означает, что факторизация на неразложимые элементы единственна. Уже в 1937 г. Хинчин заметил, что представление вероятностных распределений в виде свертки неразложимых распределений не единственно, т. е. получается, что не каждое неразложи- мое распределение простое. В своей статье Ружа и Секей показывают, что в этой структуре вообще нет простых элементов, и поэтому, что касается связи между понятиями неразложимости и простоты, структура натуральных чисел с умножением и структура вероятностных распределений со сверткой полярно противоположны.
г) Замечание Два распределения г' и 6 называются взаимно простыми, если г" и б могут быть делителями распределения Н только тогда, когда г"» 6 также является делителем Н. В статье, о которой говорилось выше, доказано, что ограниченные (и невы- рожденные) распределения не могут быть взаимно простыми, и мы думаем, что вообще нет взаимно простых распределений; но эта проблема еще не решена.
д) Литература Кепаап О. С., Нагжпк Е. Р. (евз.) Згосйлзас Апл1улз, тнеу, Нетч Тогк, 1973. Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайинг величин и векторов. — Мс Наука, 1972. йпгза 1. 2., 5ге1ге(у С. Л. уыо гдкг!Ьппоп М ргнпе", хз!Ыса' йулагзса' !азот!е оегге, СеЬ., 70, 263 — 270, (1985). йогза 1. 2., 5гййе1у С. Л. А16еьга!с РгоЬаЬ!1Иу ТЬеогу, %пеу, Ые» Тогй, 1988. йпгза 1.
2., Вгене1у С. Л. "ТЬеогу о( Оесогпрозгпоп !п Веги!Кгопрз", Апоппсез сч Мо!Ь., 56, 9 — 27, (1985). йпгза 1. 2., агаве!у С. Л. "Ноч 1о епгп!па1е ргоЬаы!щез (гоги ргоЬаЬг!Иу 1!геогу?", (е печати). йпгза 1. 2., Вгййе1у С. Л. "А по1е оп опт рарег 'ТЬеогу о1 Весогпрозп(оп пп 5епт!Кгорез'" Апоалсез гп МеП., 60, 235 — 236 (1986). Вайде!у С. Л., хегпр!еп( А, "Мпп!рнса1гее агИЬгпе1(с о( 0!з(г!Ьппоп (ппсИопз", (н печати). 13. Еще несколько парадоксов а) Парадокс деления распределений пополам Пусть Х и У вЂ” независимые одинаково распределенные случайные величины. Распределение суммы Х+ У обычно однозначно определяет общее распределение величин Х и У, однако, как это не парадоксально, так бывает не всегда. Это удивительно потому, что на практике распределения, как правило, делятся однозначно, т. е.
их п-я часть (если она существует) определяется единственным образом, как, например, в случае ограниченных или безгранично делимых распределений. Рассмотрим теперь парадоксальный пример. Если случайная величина принимает значения 2й+ 1 (я= =О, ~1, ~2, ... ) с соответствующими вероятностями 4 п»(2ь+!)« ' то ее характеристическая функция <р(г) является периодической с периодом 2п и на интервале — и < ( < и 4~(г) = 1 — 2~1'у'и. Определим сейчас другую случайную величину, которая равна нулю с вероятностью 1/2 и принимает значения йй + 2 с вероятностями 2 п»(за+ И' ' Характеристическая функция ф(1) этой случайной величины также периодическая. Ее период равен и и на интервале — и/2 < 1 < и/2 ф(1) =1 — 2((~/и.
Очевидно, ф(1) = (<р(() (, следовательно, ф(1) з=~р(() з. Таким образом, если характеристическая функция суммы Х+ У есть ф(О»= р(()', то общей характеристической функцией величин Х и У может быть либо у(1), либо ф(~), поэтому однозначной определенности нет. Заметим, что (ф(1) + у(())/2 также является характеристической функцией, следовательно, ~р (() = ф (е) з 2 что дает другой пример первого парадокса факторизации, так как приведенное выше равенство нельзя сокращать на (<р(() + + ф(())/2.
Можно также указать такие характеристические функции, что их значения не всегда действительны, ио квадраты функций действительны всегда. Следовательно, существуют вероятностные распределения, симметричные относительно нуля, но «их половины» несимметричны в том смысле, что существуют независимые одинаково распределенные случайные величины Х и У, сумма которых Х+ У распределена симметрично, но Х и У несимметричны.
(Если случайные величины ограничены, то такая ситуация невозможна.) Удивительным также представляется тот факт, что если плотность вероятности )(х) случайной величины Х симметрична (1( — х) =1(х)), при этом 0 < а <1(Г) < < Ь < оо для ((( < с < оо и 1(г) = О цри ((( > с, то у Х нет половины, т.
е. не существует характеристической функции ф, для которой фх =~ро. (Литл Проблема 10, Ма( 1.аро!г, ЗО, 1982, с. 272. (На венгерском языке.) Предложили Т. Мори и Г. Секей.) б) Патологические вероятностные распределения (1) Пусть функция распределения Р некоторой случайной величины обладает следующими свойствами: Р(0) =О, Р(!) =! и для х= 2 2 " (ао < а, < ао <... — положительные числа) г о имеем г (х) = ~ а' (1 + а) т где а — произвольное положительное число.
Л. Такач показал (Т)ге Атег!сап Магд, Моп(!т1у, 85, 35 — 37, !978), что Р(х)— строго возрастающая и непрерывная функция на интервале (О, !). При а= 1 получим Р(х) =х на интервале (О, 1), т. е. случайная величина равномерно распределена, ее плотность вероятности равна нулю вне интервала (О, 1) и равна ! на самом интервале.
Удивительно, но если а ~ 1, то Р (и соответствующая случайная величина) вообще не имеют плотности, т. е. не существует функции 1, для которой Р (х) = ~ 7 (и) ди. Хотя наиболее часто встречающиеся непрерывные распределения всегда имеют плотности вероятности, нельзя забывать о патологических случайных величинах, которые мы только что рассмотрели. Например, интересно отметить, что если равномерно распределенная случайная величина представляется в виде суммы двух независимых случайных величин с непрерывными функциями распределения, то по крайней мере одно из распределений патологическое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
