Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 44
Текст из файла (страница 44)
их нельзя представить в виде свертки иевырождеииых распределеиий, т. е распределений, ие сосредоточенных в одном числе). г) Замечания (!) Покажем, что функция распределения любой ограниченной случайной величины ие может быть безгранично делимой, если только случайная величина иевырождеиа (случайиая величина вырождеиа, если оиа принимает только одно значение с вероятностью 1; в этом случае ее дисперсия равна 0).
Для ограниченной случайной величины Х найдется число К такое, что 1Х! ( К. Если функция распределения случайной величины Х безгранично делима, то существуют независимые случайные величины Хь Хь ..., Х„одииаково распределенные и такие, что функции распределения суммы Х~ + Хз+... + Х, и Х совпадают. Поскольку супремум и дисперсия суммы независимых случайных величин есть сумма супремумов и дисперсий слагаемых, имеем 1Х,1(К/и и 0(Х~)=0(Х)/~/и. Следовательно, если В(Х) чь 0 и и — достаточно велико, то дисперсия случайной величины Х; станет больше, чем супремум величины ~1Х;~, что невозможно.
Таким образом, если Х ограничена и безгранично делима, то 0(Х) =О, т. е. случайная величина Х вырождеиа. (й) Кроме нормального, пуассоиовского и гамма-распределений, безгранично делимо и логиормальиое распределение. (Логнормальным называется распределение положительной случайиой величины, логарифм которой нормально распределен, см. статью Торииа). Безгранично делимы также 1-распределение Стьюдеита и распределение Коши (распределеиие отношения двух независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение), см.
книгу Лукача и статьи Гроссвальда, Эпштейна и Боидессоиа. (й) Показательное распределение служит примером безгра. яично делимого распределения, представимого в виде бесконечной (счетиой) свертки неразложимых распределений. Еще более удивительно то, что существуют безгранично делимые распределения, представимые в виде свертки лишь двух иеразложимых распределений (см. статью Леви). (1ч) Характеризация безгранично делимых распределений была найдена в 1930-е годы Колмогоровым, Леви и Хинчиным.
Легко показать, что функция распределения суммы Х~+ + Хр+... + Хн всегда безгранично делима, если Хь Хь ...— произвольные независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целочисленные значения, и Ф вЂ” случайная величина с пуассоновскнм распределением, не зависящая от всех Хь В то же время из теоремы Леви — Хннчина следует, что всякое безгранично делимое распределение, сосредоточенное на неотрицательных целых числах, представимо именно таким образом. Несмотря на то, что характеризационные теоремы для безгранично делимых распределений известны уже 50 лет, до сих пор не решена проблема характеризации безгранично делимого распределения, имеющего в представлении в виде свертки распределений только безгранично делимые компоненты (иормальное и пуассоновское распределения принадлежат этому классу распределений, а показательное распределение, как мы видели, не принадлежит).
(ч) В теории вероятностей понятие безграничной делимости появляется не только в связи со свертками. На множестве функций распределения можно определить и другие важные операции. Например, функция распределения максимума из двух независимых случайных величин, имеющих функции распределения Р~(х) и Рз(х), равна произведению Р~(х) Рз(х). Произведение функций распределения часто появляется во многих вероятностных задачах, например, в теории надежности, когда мы хотим получить вероятностное распределение времени безотказной работы параллельных соединений. Для любого натурального числа и и произвольной функции распределения Р(х) величина и ~/Р(х) также, очевидно, является функцией распределения, таким образом, каждая (одномерная) функция распределения безгранично делима.
В случае большей размерности характеризация безгранично делимых распределений менее тривиальна (см, статью Балкема н Ресника). Третья операция состоит в следующем. Пусть Р~ ~Рз обозначает мультипликативную свертку, т. е. функцию распределения произведения независимых случайных величин с функциями распределения Р~ и Рв Пуассоновское распределение безгранично делимо относительно операции свертки «, но не является таковым для операции ~. Более того, если Х и У обозначают независимые случайные величины, и произведение ХУ имеет пуассоновское распределение, то либо величина Х, либо У с вероятностью 1 сосредоточена на множестве из двух элементов (О, 1).
Это означает, что пуассоновское распределение ° -неразложимо (см, статью Секея и Земплени). В то же время стандартное нормальное распределение ~-безгранично делимо. (Однако пока неизвестно, является ли ~ -безгранично делимым нормальное распределение с положительным математическим ожиданием; если математическое ожидание отрицательно, то нормальное распределение, очевидно, не -безгранично делимо.) д) Литература Вайаша А, А., йезпм1! 5 1. "Мах-!пйпне д!ч!з)Ы!Иу", А Арр!.
РгоЬ., 14, 309 †3, (1977). Вопдезвоп 1.. "А иепега) гезий о( шйпйе д)ч!в!ЫШу", Аллеи о( РгоЬаЫй!у, 7, 965 — 979, (!979). Ерв)е)п В. "!пйпИе йч!ЫЬИИу о1 Бшдеп1'в 1-д)в(пьн1!оп", Яалуауа, Вег. В., 39, 103 — !20, (!977). Р!зг М. "!пйпне1у йч!в!Ые д!з(пьн(опв: гесеп1 гезпйз апд аррйса1!опв", Аллам о) Ма!и. В!апв!., 33, 68 — 84, (1962). Оопдбсв Р., М!сьа!е)гку О., Мбг! Т„бге1ге1у О. Х "А сьагас1епгайоп о1 (пйпИе!у йчинЫе Магхоч сьа)пв мИЬ йпИе вга1е врасе", Алл. йлпх Ясь Вш!арез! Бес!.
Ма!А., 27, 137 †1, (1985). Огошма1д Е. "ТЬе 5(пдеп! 1-д!в1г!Ьп((оп о1 апу деигее о1 1геедош )з шйпйе д!ч)в!Ые", Хе!Твоа ')Раагзса' Меог!е чепн Веу., 38, !03 — 109, (!976). Ичу Р. "Знг 1ев ехропепйейев де ройпбшев", Алл. Бсг) Есо!е )чоггла!е Вирд!!саге, 54, 231 †2, (1937). Ениасв Е. СЬагас1егыйс Рнпсйопв, Опй(п, Еопдоп, 1960. (Имеется перевод: Лукач Е. Характеристические функции.
— Мл Науха, 1979.1 5(ен(е! Р. й!. "1пйпие йч!з)Ь|Шу ш И!сагу апд ргасйсе", Ясалй А В(а- 1!з!., 6, 57 — 64, (!979). бгйге!у О. Д "Мн!Ирйсайче шйпИе йчЬИЫ!пу о1 Ше полна! йв1пЬнйоп", Ргос. 7!А Вгазоч Солй ол РгоЬаЬ. Тяеогу, Асад. РпЫ. Внснге411, 579— 582, !984. бгехе!у О. 3., Еешр!епи А. "Адчапсед ргоЫеш 6431", ТАе Аглепсал Ма!А. Мол!Ыу, 90, 402, (1983). бгеейе)у О.
Л. "РгоЫеш 180" Б(айзйса Ь)еег!алд!са, 39, 324, (1985). ТЬопп О. "Оп Ше )пйпйе йч!в!Ы!йу о( Ше 1оапоггпа! йв1г)Ьп1юп", Ясалй Ас!ада! 7., 121 — !48, (!977). Золотарев В. М. "Общая теория перемножения независимых случайных величин". — ДАН СССР, т. 142, № 4, 788 — 791, 1962. 10. Парадоксы характеризации а) История парадоксов Следующую проблему впервые поставил Джордж Пойа.
Рассмотрим две независимые одинаково распределенные случайные величины Х и У. Может ли сумма аХ+ ЬУ иметь то жераспределение, что Х и У, если а и Ь вЂ” положительные числа? Пойа исследовал этот вопрос в статье, опубликованной в 1923 г. Следующий замечательный результат появился спустя много лет, лишь в 1936 г., когда Е. Гири начал описание распределения Е, удовлетворяющего свойству: если величины Х!, Х,, ..., Х„независимы и имеют распределение р, то Х х!+хе+ ° "+хл также независимы.
В 1939 г. М. Кац и в 1941 г. С. Н. Бернштейн ответили на такой вопрос: если Х и У вЂ” независимые одинаково распределенные случайные величины, то при каких условиях величины Х+ У и Х вЂ” У независимы? С сороковых годов после работ таких выдаюшихся математиков как Ю. В.Линник, Е. Лукач, А. А. Зингер, С. Р. Рао и А. М. Каган направление, связанное с характеризацнонными задачами, развилось в очень важную как теоретически, так и практически, часть теории вероятностей. б) Парадоксы Пусть Х!, Хм ..., Մ— независимые одинаково распределенные случайные величины.
Могут ли величины У=)(Х!, Хь ... ..., Х,) и У=у(Х!, Хь ..., Х„) быть одинаково распределенными или независимыми, если ( и д — различные, например, линейные функции? В некоторых случаях, например, когда ( (и, следовательно, У) тождественно равка постоянной, У и Х, очевидно, независимы для любой функции у, однако в общем случае ожидается, что У и Я не будут ни независимыми, ни одинаково распределенными. Удивительно, но исключения возникают как раз в наиболее важных случаях, когда величины Х, нормально распределены. Если, например, Х! н Хг представляютсобой координаты вектора скорости точки, случайно двигающейся на плоскости, и Х!, Х! — независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением, то сумма У = г = Х ! + Х! (пропорциональная кинетической энергии) и отношение Х =Х!/Х, (определяющее направление движения) независимы. Свойства такого типа часто характеризуют нормальные (или другие важные) распределения.
в) Объяснение парадоксов Пусть обе функции 1 и и линейны: У = ~ а,Х! и 2 = ~~'„Ь!Х!. Если найдутся числа а! и Ь, такие, что произведение а!Ь, не всегда равно нулю, и равенство а; = Ь; не выполняется для всех 1, но У и Я все же одинаково распределены, и все моменты величин Х! конечны, т. е. Е(1Х!'1!) конечно для каждого Ь (Ь = =О, 1, 2, ...), то величины Х, нормально распределены. Эта теорема Марцинкевича обобщает теорему Пойа, (Дальнейшие обобщения можно найти в книге Кагана, Линника и Рао.) Теорема Г.
Дармуа и В. Р. Скитоеича утверждает, что если У = Х ' а,Х, и Х = ~ (ггХг г-! ! ! независимы и а;Ьг не равно нулю для всех г, то величины Хг нормально распределены. Следующее обобщение теоремы Гири (включающее в себя также случай нелинейных функций) играет очень важную роль в математической статистике. Утверждается, что если Х и 3 независимы и а) 2, то величины Хг нормально распределены. г) Замечания (1) Условие независимости величины Х и 3 является очень сильным, но коэффициент корреляции г(Х, 3) =О, например, для всех симметричных случайных величин Хь Хг, ..., Х„, для которых корреляция существует. Хотя г(Х, 3) всегда меньше 1, его супремум равен 1. Для одновершинных распределений точная верхняя грань равна ~гг15/16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
