Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Для доказательства этого результата можно применить точное неравенство тэг~((тг — т,')т,, где тг = Е(Х вЂ” Е(Х) ) ', я = 2, 3, 4. (й) Для характеризации семейства распределений существует несколько интересных н естественных способов. Например, показательные распределения можно характеризовать следующим свойством: среди всех распределений, сосредоточенных на интервале (О, оо) и имеющих заданное математическое ожидание, энтропия — ~ ! (х) 1опг [ (х) г(х [1(х) обозначает плотность вероятности) максимальна для показательных распределений. Среди распределений на интервале ( †, оо) с заданными математическим ожиданием и дисперсией нормальные распределения имеют максимальную энтропию На конечном интервале энтропия максимизируется равномерными распределениями (без каких-либо других предложений).
д) Литература Оа1агпЬоз 3., Ко1г 5, Сзогосгег!гонон о( РгоЬоэ!Шу 771згггьптгопз, 5рг1пКег, Вег1!п — НеЫе1Ьега — Нем Уогв, 1978. Каган А. М., Линник Ю. В., Рао С. Р. Характериэанионные эаяачи мате. матическоа статйстики. — М.: Наука, 1972. Майа! А. М., Реаегго1[ О.
Саагос!егтготгьпз о( Яе Ногте! РгоьоЫ1гтд 7.ом, ЦГ1!еу Е. Ь., Нетт Ве1М вЂ” Вапаа1оге — ВотЬау, 1977. Ро1уа О. "Нег!с!йпа лез Оанзз'зсьеп Геыегаезеггез аиз с!пег Гппы1опа1- 81е1сЬппа", Могй. Хе!Г., 18, 98 — 108, (1923). 11. Парадоксы факторизации а) История парадоксов Основные теоремы в классической теории вероятностей (такие, как законы больших чисел, теоремы о предельном распределении) связаны с распределением суммы независимых случайных величин и опираются на свойства слагаемых этих сумм. «Обратными» к этим теоремам о «композиции» являются теоремы о «декомпозиции», или «факторизационные» теоремы, в которых распределение суммы известно, и мы хотим получить какую-либо информацию о возможных слагаемых или «факторах» (делителях).
Теорема Крамера, которая уже упоминалась, представляет собой именно такой результат о декомпозиции. Она утверждает, что все делители нормального распределения также нормальны. Как в теоремах о композиции, так и в теоремах о декомпозиции, важную «техническую роль» играют характеристические функции случайных величин. Характеристическая функция случайной величины Х определяется какматематическое ожидание комплексной случайной величины еих (1 = .~l — 1 и 1 — действительное число), т.
е, фх(1) = Е(еи"). Каждая случайная величина имеет характеристическую функцию, которая однозначно определяет функцию распределения этой величины. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Из этих свойств ясно, почему характеристические функции столь важны при решении проблем, связанных с композипией и факторизацией. Характеристические функции использовали еще в 1853 г. А. Коши и на рубеже ХХ века А. М. Ляпунов, С 1920-х годов под сильным влиянием работ Дж. Пойа и П. Леви характеристические функции очень часто применяются для решения проблем о композициях. С 1930-х годов благодаря теоремам Крамера, Хинчина и Райкова возникает теория декомпозиции.
В этой области нет недостатка в удивительных результатах и парадоксах (некоторые из них см. ниже). б) Парадоксы (!) Существуют случайные величины Х, У и Х такие, что вероятностные распределения сумм Х+ У и Х+ Е совпадают, но распределения величин У и Х различны. Этот факт, впервые отмеченный Хинчиным в 1937 г,, достаточно удивителен, так как если Х вЂ” ограниченная случайная величина, или если ее характеристическая функция нигде не обращается в нуль (например, когда она безгранично делима), то распределения величин У и Л должны совпадать. В силу парадокса Хинчина в общем случае бессмысленно говорить об «остатке» вероятностного распределения после его сокращения на один из делителей, так как оставшаяся часть не определяется однозначно. По этой причине в алгебре вероятностных распределений возникает очень много трудностей.
В то же время, так как характеристическая функция нормального распределения нигде не равна 0 (характеристическая функция стандартного нормального распределения есть е-"') естественно поставить вопрос о том, что останется, если удалить у вероятностного распределения нормальную составляющую. Однако определенная осторожность необходима и в этом случае. А именно, существуют независимые одинаково распределенные случайные величины Х и У, у которых нет нормально распределенных делителей (с положительной дисперсией), но она есть у их суммы Х+ У.
Впервые этот результат опубликовали в 1948 г. Д. Дюге и Р. Фишер (см. ниже их статью) . (В) Пусть Хь Хь ..., Մ— независимые случайные величины с неизвестными (и, вообще говоря, различными) распределениями. Но предположим, что известны распределения линейных комбинаций У! — — ~ сг»Х», 1=1, 2, ..., и; » ! (с㻠— произвольное число). Если существуют величины Хь Хь ..., Х„, удовлетворяющие этой системе уравнений, и детерминант матрицы (с!») отличен от О, то (поскольку в этом случае Уь Уь ..., У„определяют Хь Хь ..., Х„однозначно) можно ожидать, что распределения величин Хь Хь ..., Х также определяются однозначно.
Однако, как показал в 1950 г. А. Репьи, это не так. в) Объяснение парадоксов (1) Можно показать, что если значение функции ф(1) неотрицательно при любом действительном 1, ф(0) = 1, ф( — 1) = = ф(1), и для всех положительных значений 1 функция ф(1) выпукла и !ппф(1) = 0 при 1-»со, то найдется случайная величина, для которой ф(1) — ее характеристическая функция. Следовательно, существует случайная величина Х с характеристической функцией, равной 1 — !г(, если !г(( 1, и 0 в противном случае. Существуют также случайные величины У и Х, характеристические функции которых одинаковы на интервале ~1~ ( 1, но различны вне этого интервала.
Таким образом, для независимых Х, У и Х имеем фх+г (г) = фх+г (г) т, е, суммы Х+ У и Х+ Я распределены одинаково, но распределения величин У и Я различны. (Другой пример см. в п. 13а). Можно доказать нечто большее, чем то, что утверждается в парадоксе. Можно показать, что если ф(1) — периодическая функция с периодом 2 и ф(1) = 1 — (1) при )1) ( 1, то найдется случайная величина У, характеристическая функция которой как раз равна ф(8). Отсюда следует, что ~р(1)ф(1) = <р(1)', т.
е. существуют независимые случайные величины Х, У и Х такие, что распределения сумм Х+ У и Х+ Х совпадают, одинаковы также распределения величин Х и Л, но распределения величин У и Х различны. (й) Если случайные величины У~ заданы и определитель 1!сгхз Ф О, то случайные величины Х; определяются однозначно. Однако случайные величины У; можно задать разными способами так, что их распределения остаются неизменными. Следовательно, если предполагать только, что зс;Д Ф О, то совсем не очевидно, что распределения величин У~ однозначно определят распределения Хь г) Замечания Репьи доказал, что, вообще говоря, необходимо также предполагать отличие от нуля определителя (с' 1. Если известно, что ( сы ~ ть О и (( с~а 1чь О, то при достаточно общих условиях гарантирована однозначность распределений Х; (например, если характеристическая функция величины У; — целая функция порядка (2, и если вообще есть решение).
Этот факт имеет очень важные практические последствия. В П/1Зв мы видели, что с помощью двух измерений можно найти более точные оценки (их дисперсии меньше) двух неизвестных значений, если измерять эти значения не отдельно друг от друга, а сначала измерить их сумму и затем — их разность. Аналогичная ситуация возникает, когда мы хотим найти и различных неизвестных величин Хь Хь ..., Х„. При измерении определенных линейных комбинаций Уь У,, ..., У„ можно получить более точные результаты.
В общем случае целесообразно использовать матрицу (сга), злементами которой являются только + 1 и — 1. Тогда, очевидно,)с~ ) = — О и, следовательно, распределения величин Уь Ум , У„ не определяют однозначно распределения Хь Хь ., Х„. Пусть, например, каждая из величин У~ = Х~ + Хз и Уз — — Х~ — Хз имеет стандартное нормальное распределение. Тогда теорема Крамера утверждает, что Х, и Хз также распределены нормально с нулевым матема- тнческнм ожиданием. Однако нх днсперснн не определяются однозначно.
Онн лишь удовлетворяют соотношению 6а(Х!) + + 6г(Хг) = 1. д) Литература Вояке О., Ьпасьег й. А. "Оп геен!(а! аиег !паиепао 6'агньгпеняпе аеа !о!а аеа ргоЬаЬ!П(еа", С. г. Аоод зс!., 227, (206 — !207, (!946), ре!!ег Ну. Ап !п(гоаиспоп (о РгоЬоЬгщу Тэеогу опа иа Аррагоиопа, Но), Н, )Н!!еу, Нем Ног)г, !966 (СЬар(ег ХН). [Имеетсн перевод: Фолдер В. Введение а теорию вероятностей н ее приложения. В 2-х томах. Т. 2. Гл. ХН. — Мп Мнр, 1984.[ Ьл каса Е. Сэогос(епгис Ропсиолг, ОНИ!и, Еоппоп, !960. [Имеетен перепад: Лукач Е. Характернсгнчеекне функции. — Мл Наука, 1979.1 Йепу! д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
