Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Г. Синай недавно доказал, что средняя продолжительность такой усложненной игры значительно возрастает. Даже логарифм среднего числа необходимых бросаний имеет порядок у/а (в отличие от упоминавшегося выше а'). Этот удивительный факт можно объяснить, используя замечание (1) в 1/9. В последовательности длины а, состоящей из независимых и равновероятных рг и рь с большой вероятностью найдется серия из р! или ра длины !ода, что приближает текущий капитал игроков к начальному капиталу, следовательно, момент разорения откладывается. Пробиться сквозь эти «толстые стены» очень трудно и поэтому средняя продолжительность игры возрастает. Проблемы подобного типа (т. е.
случайные блуждания при меняющихся случайным образом условиях) тесно связаны с теорией случайных полей, о которой идет речь в последнем парадоксе этого раздела. д) Парадокс оптимальных правил остановки Мы играем в орлянку с помощью симметричной монеты и прекращаем игру после и-го бросания. В этом случае мы либо выигрываем —" 2" долларов, либо не выигрываем ничего и+1 в зависимости от того, всегда ли выпадали решки или нет. Когда рекомендуется остановиться? Пусть 1„обозначает наш выигрыш (зависящий от случая) после и-й игры: 2" или 1 =О. и+1 а Предположив, что 1„Ф О, запишем ожидаемое значение выигрыша 1 ы Е(1 !1 ныл) = 2 9 которос больше, чем — 2", следовательно, всегда стоят прои+1 должать игру.
Однако вероятность того, что 1л = О при некотором (возможно, большом) значении п, ранна 1. Действительно лн стоит играть до тех пор, пока мы все не потеряем? (Литл Сьотт У. Б., йоЬЫпв Н, апб Бе!ягпипб О. Огео! Ехрес!оиопт Тде Тавоту о! Оригло! З!орр!пя, НопКЫоп М1!!!п, Вов1оп, 1971. [Имеетсв перевод: Роббинс Г., Снгмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. — Мл Наука, 1977.1 Ширвев А. Н.
Статистический последовательный анализ. — Мз Наука, 1976.) е) Парадокс выбора Нам часто нужно выбрать лучшее (с какой-то точки зрения) из некоторой совокупности людей или объектов (например, при покупке товаров или выборе будущего супруга). Для анализа этой проблемы предположим, что людей или объекты можно упорядочить по их достоинствам, т. е. сравнивая любыс два из них, можно всегда сказать, какой из иих лучше. Выбор лучшего ие представляет трудностей, когда мы видим все объекты.
Однако в большинстве случаев объекты или людей рассматривают последовательно и, раз что-то или кого-то отвергнув, мы к этому вернуться ие можем. В дальнейшем будем предполагать, что если «кандидат» ие выбран, когда подошла его очередь, то позднее мы ие можем изменить наше решение. Но и в этом случае проблема не описана однозначно. Мы можем даже не знать общего числа объектов, из которых должны выбирать. (Как правило, иет такой информации при выборе будущего мужа или жены.) Предположим, что всего имеется и возможностей, точнее и лиц или объектов, проходящих мимо нас в произвольиой последовательности (эти последовательности считаются равновероятиыми). Вопрос состоит в следующем.
Исходя из какого метода выбирать лучшего кандидата, если любого из иих можно сравнивать, естественно, только с предыдущими? Если всегда выбирать, например, третьего, то шансы выбрать лучшего равны 1/и. С ростом и величина ))п стремится к 0 и поэтому при большом числе предложений вероятность выбора лучшего близка к О. Удивительно, ио есть метод, позволяющий выбирать лучшего кандидата с вероятностью близкой к 30 ч)ч даже при больших значениях п. Метод состоит в следующем. После того, как пройдут первые 373»з (точиее 100/е%) кандидатов, выбираем первого, кто окажется лучше всех предыдущих (если такого иет, то выбираем последнего). В этом случае шансы выбрать лучшего приблизительно равны 1/е, т. е. ж 37 э)«, как бы ии было велико значение и.
Если можно выбрать два, три, ... или, в общем случае, а кандидатов, и задача заключается в том, чтобы лучший оказался среди этих й отобранных кандидатов, то оптимальная вероятность р, такого события вычисляется следующим образом. Пусть числа с, удовлетворяют тождеству Тогда например 1 ! згз что больше, чем !/2! Можно также показать, что ( ) 1 — — ) (! — р»(е»", ег следовательно, р» сходится к ! при стремлении 77 к бесконеч- ности.
Если число кандидатов А! случайно, то шансы выбрать луч- шего кандидата могут уменьшиться. Предположим, что распре- деление А! /т сходится к распределению случайной величины Х. Тогда оптимальная вероятность выбора лучшего кандидата (точнее, ее предел при т-». оо) запишется в виде рх = шахЕ(! (х/Х)), к где !(х) = гпах(О,х!пх).
Вероятность рх может оказаться очень маленькой, так как !п!рх=О. х (Литл Сьом У., йоЬЫпа Н., 5е!дгпппб О. Отел! ЕкресГеиолз: Тйе Гйеогу о! Оритло! 8!оррглу, НопнЫоп Мппп Со., Воз1оп, !97!. !Имеетск перевод; Роббинс Г., Снгмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил осгановкн. — Мл Наука, !977.! Ргееглап Р. й. "ТЬе весге!агу ргошегп апб Пз ех!епз!опм А гет!ем", 7лГеглоГ.
Я!оиз!. йеием, 81, 189 — 208, !!9881. Березовский Б. А., Гнедин А. В. Задача нанлучглего выбора проблем. — М: Наука, !984.1 ж) Парадокс Пинскера о стационарных процессах Последовательность случайных величин Х„(п=..., — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3, ...) называется стационарной (точнее, стационарной в широком смысле), если, во-первых, математическое ожидание случайной величины Х„не зависит от и (следовательно, не теряя общности, можно предполагать, что общее математическое ожидание равно 0) и, во-вторых, ковариации Е(Х„Хм) =г„„(предполагаем, что они существуют) зависят только от разности и — т (в частности, при п = т дисперсии не зависят от и).
Последовательность случайных векторов Х„ (и= =..., — 2, — 1, О, 1, 2, ...) стационарна, если Е(Х,) тождественно равно нулевому вектору, и математическое ожиданиепроизведения !'-й координаты вектора Х, и !хй координаты вектора Х зависит только от й / и и — т.
Двумя основными типами стационарных процессов являются сингулярные и регулярные процессы. Первые детерминированы (т. е для любого значения и величина Х»м не содержит какой-либо «информации», не связанной со случайными величинами, предшествующими Х,»1), у регулярных же процессов нет детерминированной составляющей (т. е. при отбрасывании величин Х, Х„ь Х, з и т. д. постепенно теряется вся информация). Таким образом, мир сингулярных процессов предсказуем, и с течением времени новой информации не возникает, регулярные же процессы создают новый мир из ничего, т.
е. далекое будущее почти не зависит от настоящего. В гильбертовом пространстве случайных величин, интегрируемых в квадрате, т. е. имеющих конечные дисперсии, приведенное выше утверждение можно сформулировать следующим образом. Если Н„обозначает надпространство, порожденное случайными величинами, предшествующими Х„, то в сингулярном случае Н,=Н„1 при всех н, а в регулярном случае П Н„=О. Важл ность сингулярных и регулярных процессов показана в теореме Вальда, которая утверждает, что любой стационарный процесс может быть представлен и, при том единственным образом, в виде суммы регулярного и сингулярного процессов.
Достаточно очевидно, что если процесс Х„сингулярен, то Х „также сингулярен, и если Х„регулярен, то и Х „регулярен. Иными словами, считая и переменной времени, можно сказать, что сингулярность и регулярность остаются неизменными, когда прошлое и будущее меняются местами. Удивительно, но это верно только тогда, когда процесс Х„скалярен, Пинскер построил двумерный регулярный стационарный процесс, обратный к которому (когда — н заменяется на и) уже сингулярен. Таким образом, сингулярность может превратиться в регулярность и наоборот, если прошлое и будущее поменяются местами.
з) Парадоксы голосования и выборов; случайные поля При голосовании или выборах исход, как правило, случаен, поэтому неудивительно, что и в этой области получены важные вероятностные результаты. В 1878 г. В. Уитворт доказал следующую знаменитую теорему о баллотировке. Предположим, что было два кандидата, скажем А и В, А получил и голосов,  — т голосов и и ) т (т. е. А победил). Пусть р обозначает вероятность того, что при последовательном подсчете голосов А все время был впереди (при условии, что любой порядок подсчета голосов равновозможен с любым другим). Тогда л — т в+ Таким образом, если л =2т, то р= 1/3, т. е. если А получил вдвое больше голосов, чем В, то вероятность того, что во время подсчета голосов были моменты, когда у В было столько же голосов, сколько у А, вдвое больше вероятности того, что А все время был впереди.
(См. Гейег %. РгобаЫИу Тйеогу апй Нв Аррйсайопз (2пд ег!.),%!11еу, Ь)ец Уота 1965, р. 66. [Имеется перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. — Мл Мир, 1984, с. 87.[) Этот факт может показаться странным, но он все-таки ие является парадоксом. Однако в этой области встречаются и парадоксы. Маркиз Кондорсе (один из друзей Вольтера) в 1758 г. привел следующий пример. (Еаза! апг Рарр!!саВоп де !'апа1узе а 1а ргоЬаЪ!!!!е дез бес!з!опз гепбнез а !а р!цга!Ве без чо!х.) Предположим, что в выборах участвовали три кандидата А, В и С, и они набрали соответственно 23, 19 и 18 голосов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
