Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 32
Текст из файла (страница 32)
«Обозначения» в конце книги). Это выражение имеет смысл и для нецелых с() О. Пусть в и-мерном евклидовом пространстве взято множество Е, которое покрывается конечным числом н-мерных шаров с радиусами гь гм .... Тогда с(-мера Хаусдорфа множества Е равна !1ш 1п( Е о(д)ге. $"+Оэ Р(Г А. Бесикоеич доказал, что всегда существует (действительное) число Р такое, что если Ы( Р, то с(-мера множества Е бесконечна, но в случае с() Р она равна О. Это число Р называется размерностью Хаусдорфа или Хаусдорфа — Весиковича множества Е. При таком определении значение размерности необязательно будет целым числом.
Например, обе координаты броуновского движения на плоскости как функции времени (т. е. кривые «одномерного броуновского движения») имеют размерность Хаусдорфа 3/2. Следовательно, эти кривые находятся где-то между «настоящими» кривыми и «настоящими» поверхностями. Размерность кривой броуновского движения на плоскости равна 2, как и у «настоящих» поверхностей. г) Замечания (1) За последние несколько лет опубликовано много работ о фигурах, у которых топологическая размерность отличается от размерности Хаусдорфа. Б, Мандельбройт назвал их фракталами. Фракталы, например, винеровские процессы, играют важную роль при описании неправильных фигур, встречающихся в природе. Хотя евклидова линия — это «буква», которая наиболее часто употребляется при описании природных объектов правильной формы, в случае неправильных форм (облака, морское побережье) в этой роли выступает винеровский процесс.
В действительности ни «настоящие» линии (которые можно продолжать только в длину), ни «настоящие» винеровские процессы (нигде недифференцируемые) не существуют в природе, но с их помощью можно получить довольно хорошее описание «настоящих» объектов. Фракталы по-новому осветили знаменитый парадокс Олберса. В соответствии с этим парадоксом не понятно, почему ночью небо не освещено равномерно, в то время как равномерно распределение звезд во Вселенной.
(См. книгу Мандельбройта.) (Н) Мандельбройт в своей книге упоминает и другие понятия размерности, например, размерность Фурье. По поводу алгебраической размерности см. статью Седея. (ш) Нерегулярность винеровского процесса привела к развитию нового направления на стыке теории вероятностей и анализа †теор стохастических дифференциальных уравнений. В рамках этой теории получены результаты, значительно отличающиеся от фактов из обычного дифференциального и интегрального исчислений. Например, если функция 1(1) дифференцируема, то ! ! ~ [(1) д[(1) = $ [;(1) ['!(1) д! = ""), ' "' .
в о В теории стохастических интегралов это выражение тоже имеет смысл, если даже [(1) — (нигде недифференцируемый) винеровский процесс. Но значение интеграла будет меньше, чем в приведенном выше (при наличии производной) случае. Разность в точности равна 1/2. д) Литература ВасЬеиег 1.. Тйеог!е !(е !а арйси!аиои, ТЬ«в!в, 1900.
Вговгп й. "А Ьг(е1 ассоии! о( вкговсор(са! оЬаегчацопв ваде !и йе вопйв о1 Липе, зи17 апй Анкил! 1827, оп йе раг!ю!ев соп!а!пей !и йе роиеп оп р!апй; апй оп йе Кепега( ехинепсе о1 аспче то1еси1ев !и огяап!с апй !по!Кап!с Ьой!ев", Ежлйигуй Уев Рай уоигла(, 5, 358 — 371, (1828). Гнхман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.
— Мс Наука, !965. Напяйог(! Р. "О!веля!оп ппй апввегев Мавв", Май. Алла!ел, 79, 157- 179, (1919). Ни!ем!!х 'йг., тра!(ваип Н. й!телвюл Тйеогу, Рппсе1оп ()п!ч. Ргевв, 1941, [Имеется перевод: Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — Мс Гос. над-во иностранной литературы, 1948.1 Мскеап Н. Р., зг.
3(осйаа!!с !л!еуга!в, Асайев1с Ргевв, Нем Уогй — Еопеоп, 1969. [Имеется перевод; Макквн Г. Стохастнческне интегралы.— Мс Мнр, !972.1 Мапбе(Ьго(! В, В. угас!ам, Ргот, Сьалсе ала Р!тела!ол, ЦГ. Н. Ргеевап апо' Со., заи Ргапсысо, 1977. зхййе!у 6. д "А1неЬга!с 6!вепв!оп о( веппягоирв м!!Ь аррнсаиои 1о (пчапап1 веавигеч", Лет!угоир Рогат, 17, 185 — !87, (!979). 'йг!епег Н, Со!!«сгег( Ьтогйв, Савьг!Еке, Мввя. М. 1. Т.
Ргевв, 1976. 4. Парадокс времени ожидания (Ходят ли автобусы чаще в обратном направлении!) а) История парадокса Хотя современная технология постоянно уменьшает потери на время ожидания, они все еще существуют и во многом определяют нашу повседневную нервозность. Поэтому за попытками математиков и инженеров сократить время ожидания следят с большим интересом. А. Зрланг исследовал проблему времени ожидания для телефонных станций (см. 1/6, замечание (!В)). В 30-е годы нашего века В.
Феллер ввел понятие процессов гибели и размножения, что придало новый импульс математическому анализу времени ожидания и во многом способствовало возникновению теории исследования операций. Изучение систем с очередями превратилось в независимую область науки на границе между теорией вероятностей и исследованием операций. б) парадокс На автобусных остановках обычно указывается интервал движения автобуса, т. е. среднее время между двумя последовательными прибытиями автобусов. Предположим, что на некоторой автобусной остановке интервал движения составляет 1О мин. Тогда естественно считать, что люди ждут автобус в среднем 5 мин. Однако оказывается, что среднее время ожидания может не только превосходить 5 мин, но и быть бесконечным! (Опыт показывает, что в повседневной жизни ситуация не столь безнадежна.) в) Объяснение парадокса Если бы автобусы приходили на автобусную остановку не только в среднем, но в точности каждые 1О мин, то среднее время ожидания в действительности равнялось 5 мин.
Однако на самом деле автобусы ходят «партиями» (за исключением случая, когда мы находимся недалеко от автобусной станции, откуда автобусы отправляются). Следовательно, время ожидания имеет большой разброс относительно среднего значения. Предположим, что интервалы времени между последовательными прибытиями автобусов являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с математическим ожиданием и и стандартным отклонением з.
Тогда можно показать, что среднее время ожидания равно Т= (из+аз)/йтп. Пусть Р(1) — функция распределения и 1(1) — плотность вероятности для интервалов времени между последовательными прибытиями автобусов. (Сейчас мы предположили существование плотности вероятности, однако от этого условия ценой некоторых изменений в рассуждениях можно отказаться.) Пусть время 1 измеряется от момента отправления последнего автобуса перед нашим приходом. Тогда плотность вероятности для случайного интервала времени до прибытия следующего автобуса равняется не ((1), а другой функции, пропорционалвной г1(1), т. е. г)(1)/нг, так как вероятность нашего появления в течение некоторого интервала времени пропорциональна его длине й Таким образом, среднее время ожидания Т вычисляется по формуле т= — ~ 1»1(1)11= г м» 1 «2 зм о (Плотность вероятности для нашего времени ожидания равна (1 — Р(1))(т.) Следовательно, Т=т/2 только в случае з=О, но если э=со, то и Т=о».
Эти крайние случаи, безусловно, далеки от реальности. В действительности интервалы между прибытиями автобусов имеют почти показательное («безвозрастное») распределение с некоторым параметром Х. Тогда нг= =э =1/Х, т. е. Т=т. Это означает, что если частота движения составляет 1О мин, то среднее время ожидания также равно 1О мин, а не 5 мин. Эвристическое объяснение этого парадокса довольно просто.
Когда кто-то приходит на автобусную остановку в случайный момент времени, то имеет большие шансы ждать долго. Его время ожидания будет коротким, если он попадает на автобус из «партии», но автобусы в «партии» прибывают через малые интервалы, поэтому шансов успеть на один из них немного. Следовательно, если интервалы времени между последовательными прибытиями автобусов имеют большую дисперсию, то лишь немногие люди будут ждать мало, а большинство — в течение долгого времени, Это означает, что среднее время ожидания Т велико. г) Замечания (1) У нас часто возникает иллюзия, что куда бы нам не надо было ехать, автобусы и трамваи чаще идут в противоположном направлении.
В действительности это, естественно, невозможно. Объяснение очень простое. Мы видим только один автобус (на который мы сели), едуший в нужном нам направлении, и в то же время положительна вероятность того, что, пока мы ждем, в противоположную сторону пройдут два или три автобуса. Их математическое ожидание равно пР+»«! «« :гн= — + э — к, что действительно больше 1/2, если з положительно.
Отсюда вытекает асимметрия между двумя направлениями. Однако на самом деле это не так. Симметрия между двумя направлениями заключается в том, что вероятность того, что ни один автобус не проедет в противоположном направлении, пока мы ждем свой автобус, в точности равна 1/2 (но если один автобус пройдет в противоположном направлении, то могут пройти и несколько, поэтому возможно, что математическое ожидание будет как угодно большим). Пусть рй обозначает вероятность того, что, пока мы ждем, ровно й автобусов пройдут в противоположном направлении. Если интервалы между последовательными прябытиями автобусов имеют показательное распределение, то в случае равномерного распределения на интервале (О, 1) имеем ! 2 1 ((й+ 2)! (а+ 3)! (а+ 4)!) ' где й=1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
