Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В 193! г. А. Лотка посчитал значения для а, Ь и ре, относящиеся к США. Он получил, что а =0.2!26, Ь =0.6898 и ре =ОА826, поэтому вероятность исчезновения мужской линии равна !7=0.819. Красивые старые фамилии постепенно исчезают, и их место занимают более заурядные, например, Смит и т. д.
Использование комбинаций из двух или трех фамилий не всегда позволяет избежать совпадения фамилий, иногда даже в одном учреждении. Предлагаемый ниже порядок присваивания фамилий представляется необычным, но разумным и не зависящим от пола. Каждый ребенок наследует две фамилии, одну от матери и другую от отца. Поскольку у каждого из родителей тоже по две фамлии, в качестве фамилий для ребенка можно взять более редкие (или более привлекательные).
Кроме таких двойных фамилий у людей также будут и имена. При таком порядке мир фамилий стал бы более красочным и индивидуальным. д) Литература В!епауще 1. 3. "Ве 1а 1о! Ее нщц1р!1са1!оп е1 1а бнгйе Ееа 1апн1!еа", Яос. Рйиото!й, Раг!а, 37 — 39, (1845). Нагла Т. Е, Тйе Тьеогу о! Вгепсмпл Ргосееаес, Ярг!пяег, Вегцп — 651- Ппяеп — Не!1Ее!Ьегя, 1953. !Имеется перевод: Харрис Т. Теория ветвящихся случайных щюпессов. — Мс Мир, 19бб.! уаяега Р, Вгопсй!ля Ргосесаес и!!й В!о!оу!со! Аррисоиолт, 1.опеоп, Цг!. 1еу, 1975. 1.опга А.
Л. "ТЬе ехппсИоп о1 !агап)ев 1 — !1", д ауовд Асад Ясь, 31, 377 †3 апв 453 †5, 11931). Бсьгожпяег Е. "Ргоьаы!г)у ргоыегсв !и ппс)еаг сьеиг!»1гу", Ргос. )7оу. Ьчвь Асаа, 51, (1945). ЦГа1»ой Н. ЦГ., Иапоп Р. "Оп Иэе ргоЬаЬИИу о1 !Ье ехппспоп о1 1апг1- Иев", Д Ал!горо!., 1пв1. осеан Вгпа!и апе 1ге!апе, 4, 138 — 144, (1874). 2. Марковские цепи и физический парадокс а) История парадокса Понятие марковской цепи принадлежит русскому математику А.
А. Маркову, чьи первые статьи по этому вопросу были опубликованы в !906 †19 гг. (см. список литературы ниже). Марков использовал новое понятие для статистического анализа распределения букв в знаменитой поэме Пушкина «Евгений Онегин». «Цепь Маркова» (это название было предложено А.
Я. Хинчиным) — важнейшее математическое понятие, возникшее (по крайней мере частично) при решении лингвистических проблем Последовательность (цепь) дискретных случайных величин Хг, Хв, ..., Хг, ... образует цепь Маркова (по определению), если для любого момента времени ! «поведение» последовательности в будущем (после !) зависит от ее «поведения» в прошлом (до !) лишь через значение величины Хг, т. е. равенство Р(Х„, = 1,+,(Х, = го Х,, = г, „...) = =Р(Х+ =!гв (Хг=гг) справедливо для всех возможных значений й+!, !г,... случайных величин, иными словами, для всех возможных состояний цепи. Последовательности такого типа появляются во многих областях, например, в классической физике, где будущее развитие системы полностью определяется ее настоящим состоянием (например, мгновенной скоростью и местонахождением) н не зависит от того, как система оказалась в настоящем состоянии.
Если (Хг) — цепь Маркова и условные вероятности Р(Хг+г = = !г+!!Хг= 0), вероятности перехода, не зависят от А то цепь Маркова называется однородной. Совокупность вероятностей перехода однородной цепи Маркова можно записать в виде матрицы А = (рп), где Ри = Р (Х„, = !'(Хг = г). Тогда для и-кратной степени матрицы переходных вероятностей имеем А"=(рг",!), где ргг!1= Р(Х,+„— — !(Хг=(). Это соотношение дает возможность использовать в теории марковских цепей факты из теории матриц. В наши дни цепи Маркова (и их обобщение на случай непрерывного времени и непрерывного фазового пространства — марковские процессы) играют в естественных и технических науках намного ббльшую роль, чем в лингвистике, где они первоначально применялись.
Проблема обратимости-необратимости — это интересный парадокс классической механики и термодинамики, и марковские цепи являются эффективным средством его анализа. Суть проблемы заключается в том, что законы классической механики обратимы и поэтому не могут объяснить, почему кусок сахара растворяется в чашке кофе, но мы никогда не наблюдаемобратный процесс. Необратимость нашего мира отражает второй закон термодинамики (впервые сформулированный Л. С.
Карно). (Первый закон термодинамики — это закон сохранения энергии.) Спустя сорок лет Р. Клаузиус ввел математическое понятие энтропии, ставшее основным в теории необратимых процессов. (Согласно Клаузиусу !Мета(г геад а1 1)зе РЫ!оз. Вос. 20- г!«5, Арг|! 24. Ропп. Апп. 125: 353, 1805] слово «энтропия» происходит' от греческого троя«и означающего «поворот», «превращение». Клаузиус утверждает, что он добавил «эн», чтобы слово звучало аналогично «энергии», однако греческое слово еттропп имеет самостоятельное значение — «повернуть голову в сторону».) Используя понятие энтропии, второй закон термодинамики можно сформулировать следующим образом: в изолированной системе энтропия не может уменьшиться, обычно она возрастает.
Л. Вольцман пытался проверить этот закон с помощью кинематики атомов и молекул. (В то время идея Больцмана вовсе не выглядела естественной, так как многие физики сомневались в самом существовании атомов, например, М. Фарадей, Э. Мах или основатель «энергетизма» В. Ф. Оствальд.) Огромное влияние на Больцмана оказала работа Максвелла по динамической теории газов. В 70-е годы прошлого века Больцман обнаружил связь между энтропией и термодинамической вероятностью (сравните с замечанием (1)).
Он показал, что необратимость не противоречит обратимой механике Ньютона: применение последней к большому числу частиц с необходимостью приведет к необратимости, так как системы, состоящие из миллионов молекул, стремятся перейти в состояние, имеющее ббльшую термодинамическую вероятность. Это и есть «основная причина» распада, износа, старения (и, как утверждают некоторые, упадка нравов или цивилизации). В 1907 г.
П. и Т. Эренфесты создали модель, разъясняющую парадокс обратимости-необратимости с помощью цепей Маркова. б) Парадокс Предположим, что есть система из М молекул, каждая нз которых может находиться в одном из двух энергетических состоя- ний. Если молекула находится в первом состоянии, то за один шаг она переходит в другое состояние с вероятностью р (и остается в первом состоянии с вероятностью 1 — р). Если же молекула находится во втором состоянии, то (за один шаг) она переходит в первое состояние с вероятностью о (и остается во втором с вероятностью 1 — д).
Так как каждая молекула «выбирает» одно из двух возможных состояний, вся система из л) молекул может находиться в 2" различных состояниях. Предположив, что молекулы неразличимы, получим лишь У+ 1 возможных различных состояний системы: состояние системы определяется числом молекул, находящихся в первом состоянии. Пусть Х~ обозначает (случайное) число молекул, находящихся в первом состоянии в момент времени !. Тогда последовательность Хь Хь Хз, ..., очевидно, образует цепь Маркова, описывающую развитие системы. Как эта модель увязывает обратимость классической механики (симметрия во времени) с необратимостью термодинамики (асимметрия во времени) г е) Объяснение парадокса Можно показать, что если )! — р — о! ( 1, то предел производящей функции распределения Р(Х~ = /, Хм« вЂ” — й) равен 1!ш Е(я~'ш '"*)= 8» (Р+ее)(с+ ем)+ Рч (( Р Е) (! — г)(! — ю) )н (л+ е)* и эта функция симметрична по г и ш, следовательно, имеет место равновесие Р (Х = !', Х~ „= й) = Р.
(Х, = й, Х,, = /). Это равенство означает симметрию между прошлым и будущим процесса (обратимость), в то же время следующее соотношение отражает необратимость Р(Х~,,= й !Х, = !) Ф Р(Х,„=! )Х~ =й), Например, если Р=о=1/2, то !!ш Р(Х, =!) =~ . )2 /У'! и ~)) поэтому вероятность того, что цепь Маркова близка к состоянию )))/2 больше, чем вероятность того, что она от него далека. г) Замечания (1) Пусть 1(о, !) обозначает распределение случайных скоростей молекул газа в момент времени ! (для простоты предположим, что это распределение не зависит от местонахождения молекул). В 1872 г. Больцман сформулировал свою теорему в следующем виде: производная функции Н (Г) = ~ ) (э, 1)!оп, ((о, 1) г!о, а ) 1, не может быть положительной, т.
е. Н не может возрастать с ростом б (Величина — Н соответствует термодинамической энтропии, которая не может убывать, она обычно возрастает.) В 1876 г. австрийский физик И. Лошмидт поставил вопрос об обратимости-необратимости таким образом: законы классической физики инвариантны относительно преобразования 1-~- †(они содержат вторые производные по 1), в то же время преобразование 1- †! превращает теорему Больцмана в теорему ей противоположную: функция Н( — 1) не может убывать. В резуль. тате анализа этого парадокса оказалось, что для доказательства теоремы Больцмана необходимо предполагать совершенную однородность молекулярных столкновений, но такая идеализация чрезмерна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
