Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (1990) (1151962), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда кандидата А, как набравшего наибольшее число голосов, следует объявить победителем, но в действительности все 19 избирателей, голосовавших за В, возможно, предпочли бы С вместо А. В 1950 г. Кеннет Арроу (в 1972 г, ему присуждена Нобелевская премия по экономике) использовал этот пример, чтобы показать, что логически невозможно создать совершенно справедливую систему выборов. Таким образом, неудивительно, что нет единой системы выборов, принятой во всем мире.
(О вероятностной противоречивости системы выборов в США см. статью Грофмана.) Следующий парадокс относится к специфическому виду голосования — судебному. Предположим, что есть пять присяжных заседателей А, В, С, Р и Е. Большинством голосов они решают вопрос о виновности или невиновности подсудимого. С вероятностями 5 а/з заседатели А и В выносят неверное решение, для С и Р эти вероятности составляют 10 $, и Е ошибается с вероятностью 20 тз.
(Заседатели ошибаются независимо друг от друга.) В этом случае вероятность вынесения неверного приговора приблизительно равна 0.7 '7а. Парадоксально, но эта вероятность возрастает и становится приблизительно равной 1.15 з/а, если заседатель Е (который ошибается чаще всего) перестанет рассуждать самостоятельно, а будет всегда повторять решение заседателя А (который ошибается наиболее редко). Следующий парадокс также иллюстрирует те удивительные ситуации, которые возникают, когда избиратели перестают рассуждать самостоятельно. Предположим, что в каждом узле квадратной решетки на плоскости находится человек, который может голосовать независимо от других людей за или против с соответствующими вероятностями р и 1 — р.
Однако при следующем голосовании каждый человек выбирает одного из своих четырех соседей и голосует так, как этот сосед голосовал в предыдущий раз. Третье, четвертое и т. д. голосования проводятся аналогично. (При и-м голосовании каждый голосует так, как выбранный сосед голосовал при (и — 1)-м голосовании.) Вопрос заключается в следующем: что произойдет при п- оо? Можно показать, что в конце концов все будут голосовать одина- ково, иными словами, наступит «полная гармония». (Каждый голосует за или против с соответствующими вероятностями р и 1 — р.) Следует отметить, что если избиратели находятся в узлах трехмерной кубической решетки (и у каждого по шесть соседей), то такая экстремальная ситуация не наступит, т.
е. различные мнения могут гармонировать друг с другом (точнее получится эргодическое предельное распределение). То же самое справедливо в случае, когда размерность больше трех. Это основное различие между двумерным и трехмерным случаями тесно связано с тем фактом (см. 11!/ба), что в случае двумерной квадратной решетки при симметричных случайных блужданиях каждый узел достигается с вероятностью 1, а в трехмерном случае это неверно. (См.
Вгатзоп М., Ог(!!еа!Ь Р. «йепогша!1- г)пп Гйе 3-д)гпепз(опа1 чо1ег тоде!», Аппп!з о! Ргоб., 418 — 432, (1972).) За последние годы приведенная выше математическая модель избирателей, находящихся в узлах квадратной или кубической решетки, стала играть очень важную роль в математической физике. Избиратели заменяются «величинами» с двумя возможными значениями (например, спинами электронов в ферромагнитных материалах). Такие случайные поля являются обобщениями стохастических процессов, в которых переменная времени ! заменяется на элемент многомерного пространства, например, если ! означает узлы с(-мерной кубической решетки, и Х(!) — случайная величина при любом фиксированном ! (в модели голосования Х(!) принимает только два значения), то Х(!) — случайное поле. Так же, как выше мы предполагали, что на мнение избирателя влияют его соседи, в физике мы можем считать (в виде первого приближения), что на каждую частицу влияют ее соседи.
Такой вид случайного поля называется марковским полем (это аналог цепи Маркова). Благодаря исследованиям норвежского физика и химика Л. Онсагера, проведенным в 1944 г., при изучении ферромагнетизма важную роль стало играть марковское поле специального вида — модель Изинга. За последние несколько лет марковские поля и, в особенности, модель Изинга, применялись для решения проблемы фазовых переходов.
Хотя строгое определение марковского поля было дано лишь в 1968 г. советским математиком Р. Л. Добрушиным, первые описания понятия фазы и некоторых случайных полей появились значительно раньше в связи с потенциальными функциями в книге Дж. В. Гиббса, опубликованной в 1902 г. (О!ЬЬз д. ЪЧ. Е1егпеп1агу Рг!пс!р1ез о! 81а!1з!1са! МесЬап!сз, Уа1е Оп!ч. Ргезз). (Имеется перевод: Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика.
— Мл Наука, !982.)) Описание марковских полей через потенциальные' функции особенно важно потому, что фазовые переходы происходят как раз тогда, когда потенциал не определяет однозначно марковское поле. В физи- ческих терминах это означает, что при одной и той же темпера- туре могут быть разные фазовые состояния.
Теория также объясняет, почему фазовые переходы невозможны, когда темпе- ратура выше критической (критическуЮ температуру удалось определить уже Онсагеру). Интересно отметить, что хотя в од- номерной модели фазовый переход произойти не может, в случае двумерной модели (на квадратной решетке) это уже возможно. В последнем случае, несмотря на симметричность потенциальной функции (ее значение не меняется, когда все состояния «да» ме- няются на «нет» и наоборот), само марковское поле несимме- трично.
В силу этого парадокса (называемого парадоксом нару- шения симметрии) ферромагнйтные материалы не утрачивают свой магнетизм при температуре ниже критической. (Литл Сго(пгап В. "Ра)г арро1попеп1 апй Гпе Вапхьа1 (пг)ех", Тйе Атег. Ма!И, Молы!у, 88, 1 — 5, (1981), К(пйегпгапп Я., БпеИ Л. 1.. Ма!Ело лалг)олг ЕгеЫз, Сопгегпрогагу Ма1Ь. Но1.
1, АМБ, Ргоу(йепсе Я1, 1980. Ргеа1оп С. Л. О!Ььх Бга!ез ол СоилгаЫе 5егз, СагоЬгыпе Сп)у. Ргезз, 1974. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов Строгие результаты.— М; Наука, 1980.) ГЛАВА Ф ПАРАДОКСЫ В ОСНОВАНИЯХ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЯ. РАЗНЫЕ ПАРАДОКСЫ Природе разума свойственно рассматривать веши не как случайные, по нак необкодимые.
Б. Спиноза, Этика, часть 2, теорема Хь)У ') Вероятность — зто важнейшее поиитие в современной науке особенно потому, что никто совершенно не представляет, что оно означает. Бертран Рассел, Из лекции, 1999 г. Исчисление вероятностей., Первая лекция. 1, Едва ли можно дать удовлетворительное определение вероятности... А. Пуанкаре, Исчисление вероятностей, уйрб г., с. 1 Мой тезис, парадоксальный и немного провокационный, но вместе с тем искренний, заключается всего лишь в следуюшем. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕ СУШЕСТВУЕТ.
Б. дв Фимвтти, Теория вероятностей, 1974 г. В 1900 г. на Международном математическом конгрессе в Париже Давид Гильбгрг среди 23 важнейших нерешенных проблем в математике назвал проблему построения оснований теории вероятностей. Хотя на рубеже веков теория вероятностей уже дала много выдающихся результатов, из-за отсутствия математических оснований эта теория в целом еще не была одним из разделов математики. В этом заключалась, видимо, главная причина, почему профессор университета в Геттингене К.
Клейн даже не упомянул теорию вероятностей в своей работе «Лекции о развитии математики в Х1Х столетииз. Используя результаты работ многих математиков, в особенности 3. Бореля, А. Ломнитского, Х. Штейнгауса, а также теорию множеств и теорию меры, А. Н. Колмогоров в 1933 г.
построил математически стро- Г, г ю теорию вероятностей, (Более подробно см. в Агс)т)тг 1ог 1з1. о) Ехас1 Бс!., 18, 123 — 190, 1978.) В основе теории, разработанной Колмогоровым, лежит тот факт, что любое событие, вероятность которого хотим найти (такие события называются наблюдаемыми), может быть представлено в виде некоторого подмножества множества элементарных событий (т.
е. в виде подмножества фазового пространства). Например, при бросании ') Спиноза Б. Избранные произведения. Т, 1. Этика. Пер. с лат. П. А. Иванцова. — Мл Гос. изд-по политич. литературы, 1957. игральной кости исходами могут быть числа 1, 2, ..., 6. Совокупность этих элементарных событий образует фазовое пространство и событие, заключающееся в выпадении четного числа, представимо в виде подмножества фазового пространства, состоящего из четных чисел (2, 4, 6). Достоверное событие представимо всем фазовым пространством, которое традиционно обозначается через й.
В теории Колмогорова предполагается, что наблюдаемые события образуют сигма-алгебру (здесь «сигма» указывает на бесконечность), т. е. совместное наступление двух произвольных наблюдаемых событий; наступление по крайней мере одного из конечного или счетного числа наблюдаемых событий и дополнение к любому наблюдаемому событию также являются наблюдаемыми событиями.
Каждому наблюдаемому событию приписывается некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью этого события, таким образом, чтобы вероятность достоверного события (т. е. всего фазового пространства) была равна 1, и выполнялось свойство сигма-аддитивности, т. е.
в случае попарно исключающих друг друга событий вероятность наступления по крайней мере одного (и, следовательно, в силу попарной несовместимости, ровно одного) наблюдаемого события в конечной или счетной совокупности наблюдаемых событий совпадала с суммой вероятностей наблюдаемых событий из этой совокупности. Возникает вопрос: почему при определении вероятности нам потребовались сигма-алгебры, а не множество всех подмножеств фазового пространства 1«? Ответ очень простой: в общем случае вероятность нельзя определить на множестве всех подмножеств Й, точнее, если вероятность определена на сигма-алгебре, состоящей из некоторых подмножеств 11, то эту вероятность нельзя продолжить на остальные подмножества й так, чтобы сохранялось свойство сигма-аддитивности (если только 1« не состоит из конечного или счетного числа элементов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
