Диссертация (1150937), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В настоящее время методы, использующие VaR,успешно применяются в риск-менеджменте и являются одними из наиболее реалистичных92методов оценки финансовых рисков.Фактически, система неравенств (2.2.16), определяющая понятие квази-дележа встохастической игре, связывает значения компонента со значениями VaR случайныхпараметров игры, что позволит в будущем дать болееглубокую и содержательнуюэкономическую интерпретацию полученных результатов.Имея в виду дефиницию C –ядра в классической кооперативной игре, попытаемсяопределить понятие C –ядра для стохастической модели. Заметим, что в условиях (2.3) ()есть скалярная величина – размер квази-дележа, приходящегося на коалицию S.
При переходе кстохастической модели важно помнить, что (), будучи внешне похожим на (), определяетвектор стохастического квази-дележа, соответствующий некоторому уровню вероятности .Опишем понятие стохастического C –ядра как множество квази-дележей – векторовx() R m , удовлетворяющих системе условий (2.2.16), для которых справедливо следующееусловие(S I , S , S I ) x(, S ) v (S ) ,илиC (v~) {x R m | S I , S , S I : x(, S ) v ( S );(2.17)x(, I ) v1 ( I )}.Иначе говоря, делёж, принадлежащий C –ядру, для заданного уровня сопоставляетлюбой коалиции долю, не меньшую, чем VaR полезности данной коалиции. Одновременновыполняется условие существования такого квази-дележа, так как доля, предписываемая квазидележом большой коалиции, не превышаетVaR`а её полезности.ПосколькуфункциираспределенияслучайныхвеличинFv~ ( S ) ( x)являютсянеубывающими, то есть рост значения влечёт рост значений v (S ) (убывание значенияv1 ( I ) ), справедливо следующее утверждение C (v~) C (v),(2.18)93т.е.
чем больше вероятность существования непустого C –ядра, тем меньше его размер. Привероятностях, стремящихся к единице, C –ядро будет пустым.Таким образом, мы можем перейти к постановке двух задач:задачи определения максимального уровня вероятности , на котором существуетнепустое C – ядро;задачи определения зависимости размера C –ядра от выбора .Расчётэксцессакоалицииявляетсяоднимизперспективныхпутейрешениявышеописанных задач.
Ранее мы описывали понятие эксцесса для детерминированной игры,который описывается как степень неудовлетворённости коалиции S той долей, которую ейраспределяет делёж х.В стохастической игре понятие квази-дележа в вероятностной терминологии может бытьопределено какe(S , x, ) v (S ) x(S ).Для разных уровней вероятности величина, характеризующая C –ядро, имеет вид 0 (v~) max{e(S , x(), )}, x() C(2.19)S I ,Иначеговоря,этовеличина,демонстрирующаямаксимальновозможнуюнеудовлетворённость квази-дележами, образующими C –ядро для всевозможных коалицийS , I .С целью формирования стохастической задачи рассмотрим стратегию перехода отдетерминированной кооперативной игры с трансферабельной полезностью к стохастической.Самым критичным моментом является вопрос замещения детерминированных полезностейv(S ) стохастическими v~( S ) .Предположим, что стохастические полезности v~( S ) являются случайными величинами,распределёнными по нормальному закону94v~(S ) N (v (S ), 2S ) .Определяяхарактеристическуюфункциюдлядетерминированнойигры,мыодновременно создали предпосылки для её трансформациив стохастическую игру.
Она можетбыть осуществлена на основе ранее полученных интервальных оценок полезностей игроков.Если в детерминированной игре мы принимали в качестве полезностей игроков и коалицийнекоторые усреднённые значения, то в рамках стохастической игры от данной предпосылкиможно отказаться и считать полезности случайными величинами, реализующиеся в пределахранее описанных нами интервалов.В силу допущения о нормальности распределения величин v~( S ) , VaR будет иметьследующий видv (S ) v (S ) s 1 () ,xt21где ( x) e 2 dt — интеграл Лапласа.2 Принимая во внимание, что s 0 и 1 () 0 для значений , удовлетворяющихусловию 0.5 , имеемv ( S ) v ( S ) .Далее, при сравнении условий(S I , S , S I ) x(S ) v(S ), x( I ) v( I ) ,которым должны удовлетворять квази-дележи для принадлежности C –ядру нестохастическойигры, с условиями(S I , S , S I ) x(, S ) v (S ) ,определяющими их принадлежность к C –ядру в стохастической игре, можно сделатьследующий вывод(, ) > (),где x(S , ) iS xi () — сумма, распределяемая между членами коалиции S квази-дележом95x() , x(S ) iS vi .Задача определения максимально возможного уровня вероятности , на которомсуществует непустоеC –ядро, для стохастических игр, основанных на предпосылкенормального распределения случайных величин, примет вид 1 () max,гдеC (v~) {x R m | S I , S , S I :xxiSiIi v ( S ) s 1 ();i v ( I ) I 1 ()} .(2.20)По аналогии с предыдущим параграфом построим решения для стохастическихтеоретико-игровых моделей для трёх и четырёх игроков.В первую очередь определим характеристические функции таких моделей.
Какговорилось ранее, в стохастическом случае характеристическая функция будет задаваться спомощью двух факторов – математического ожидания полезности и дисперсии. Напомним, чтопредположением является то, что случайная величина полезности на заданном нами интервалераспределена по нормальному закону, что позволяет нам однозначно определить дисперсию.При построении характеристической функции игры с тремя участниками в качествезначений математических ожиданий ̅ () случайных величин ̃() мы можем использоватьсредне интервальные оценки, ранее полученные для детерминированной игры.Таблица 2-6. Характеристическая функция стохастической модели для 3 участников()()(, )({1})-0,0300,073({2})-0,0020,009({3})({1,2})({1,3})({2,3})({1,2,3})0,2240,2200,2700,7500,9450,0920,0200,0200,0200,010Источник: расчётные данные96Поиск решения такой задачи сводится к поиску максимальной вероятности, при которойсуществует непустое C – ядро.
Результаты решения представлены в Таблице 2-7.Таблица 2-7. Решение стохастической игры. C –ядро()()0,13≥̅() + ∙ Ф− () {(Ф− )∗ }0,132,1770,985({1})10,130({2})20,3690,37≥0,02({3})({1,2})({1,3})({2,3})30,4242,1770,420,500,550,79≥≥≥≥0,420,260,310,79−1 ∗(Ф )({1,2,3})0,92≤̅ () − ∙ Ф−1 ()0,92Источник: расчётные данныеПолученные результаты говорят нам о том, что с вероятностью, близкой к единице( = 0,985), оптимальный делёж игры будет иметь вид(0,985) = (0,130; 0,396; 0,424).При сравнении индивидуальных полезностей игроков с полезностями, которыми игроковнаделяет оптимальный делёж, можно заключить, что объединение в полную коалициюцелесообразно и экономически эффективно, а вероятность реализации данного квази-дележадостаточно высока.Перейдём к рассмотрению игры с четырьмя участниками.
Характеристическая функциятакой игры может быть записана нижеследующим образом.Таблица 2-8. Характеристическая функция стохастической модели для 4 игроков()()(, )({1})({2})({3})-0,0300,073-0,0020,2240,0050,2200,2700,750-0,030-0,0020,0090,0920,0020,0200,0200,0200,0730,009({4})({1,2})({1,3})({2,3})({1,4})({2,4})97()()(, )({3,4})({1,2,4})({1,3,4})({2,3,4})({1,2,3})0,2240,2210,2700,7500,9450,9700,0920,0200,0200,0200,0100,000({1,2,3,4})Источник: расчётные данныеПри проведении вышеописанного для 3 игроков исследования, мы получили также крайнеудовлетворительный результат (Таблица 2-9).Таблица 2-9. Решение кооперативной стохастической игры для 4 игроков{(Ф− )∗ }1,6671234(Ф−1 )∗0,1780,9520,4060,3770,0081,667Источник: расчётные данныеВероятность того, что все участники, включая лизинговую компанию, в результатераспределения полной полезности получают доход больше индивидуального, равна 0,952.
Этотрезультат дополнительно подтверждает, что участие лизинговой компании в процессеприобретения имущества конечным пользователем приносит дополнительную выгоду всемостальным участникам, без которых сам процесс бы не состоялся.Проведённые в данной главе исследования позволяют сделать вывод о том, чтоприменениекооперативныхтеоретико-игровыхмоделейдлявыявленияоптимальныхвзаимосвязей между клиентом, банком и поставщиков является математическим инструментом,с помощью которого можно рассчитывать будущий доход участников, заключающих сделку.Такой вид анализа пригоден для всех участников игры и позволяет им определитьцелесообразность заключения сделки. Рассмотренные нами стохастические кооперативныеигры, а также методы решения, основанные на поиске стохастического C –ядра, позволяют сбольшейдолейэффективностиирациональностиучитыватьфакторырискаи98неопределённости в процессах моделирования и исследования кооперативного взаимодействияэкономических субъектов, давая возможность принимать к расчётам случайные воздействиявнешней среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
