Диссертация (1150883)
Текст из файла
Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНа правах рукописиТагирджанов Азат МухаммедовичТочные решения в теории локализованных волнСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКиселев Алексей ПрохоровичСанкт-Петербург — 20162ОглавлениеВведение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Краткий обзор известных простых сильно локализованных решений . . . 101.1Гармонические по времени решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.11.3Метод параболического уравнения. Приближенное параксиальное решение . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10“Комплексный источник” в гармоническом случае . . . . . . . . . . . .12Нестационарные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.1Относительно неискажающиеся решения . . . . . . . . . . . . .
. . . . .131.2.2Решение Бейтмена-Ильона. Focus wave modes . . . . . . . . . . . . . . .141.2.3Бейтменовский гауссовский пакет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2.4Некоторые другие обобщения решения Бейтмена . . . . . . . . . . . . .161.2.5Комплексифицированные сферические волны . . . . .
. . . . . . . . . .161.1.21.210Нестационарные решения обладающие сингулярностью, локализованной в бегущей точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 Гармонический “комплексный источник” в трехмерном случае . . . . . . . 18Функция источника в случае beam choice . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .192.1.1Скачки поля на антенне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.1.2Регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.1.3Функция источника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .222.2Функция источника в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.3Функция источника для произвольной антенны . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.3.1Выбор разреза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.3.2Антенна . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.3.3Фиксация ветви корня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.3.4Простейшие разрезы и соответствующие им антенны . . . . . . . . . . .282.3.5Скачки поля на антенне. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.3.6Регуляризация интегралов в (2.3.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312.3.7Интеграл по тору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.3.8Интеграл по антенне без окрестности края . . . . . . . . . . .
. . . . . .332.3.9Явный вид токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.132.42.52.62.3.10 Примеры. Токи на простейших антеннах . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Асимптотическое поведение * в случае beam choice . . . . . . .
. . . . . . . .362.4.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . . . . . . . . . . . . . . . .362.4.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Асимптотическое поведение * в случае source choice. . . . . . . . . . . . . .382.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . . . . . . . . . . . . . . . .382.5.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .39Асимптотическое поведение * в случае произвольной антенны. . . . . . . .402.6.1Некомпактная антенна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.6.2Компактная антенна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .403 Гармонический “комплексный источник” в двумерном случае . . . . . . . . 41Функция источника в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.1.1Регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.1.2Функция источника . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453.2Функция источника в случае beam choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3Функция источника для произвольной антенны . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3.1Выбор разреза . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3.2Антенна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473.3.3Функция источника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473.13.43.53.6Асимптотическое поведение g* в случае beam choice. . . . . . . . .
. . . . . .483.4.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . . . . . . . . . . . . . . . .483.4.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Асимптотическое поведение g* в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . .493.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . .
. . . . . . . . . . . . . .503.5.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50Асимптотическое поведение g* в случае произвольной антенны . . . . . . . . .504 Нестационарный “комплексный источник” в трехмерном случае . .
. . . . 514.1Функция источника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514.2Гауссовский пакет в случае beam choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524.2.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстояниях . . . . . . . . .
.534.2.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544.2.3Асимптотика вблизи пика на больших расстояниях . . . . . . . . . . . .55Гауссовский пакет в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554.3.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстояниях . . . . . . . . . .554.3.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .56Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.34.445 Простые решения волнового уравнения с сингулярностью в бегущей точке, основанные на комплексифицированном решении Бейтмена . . . . . . 585.1Комплексифицированное решение Бейтмена . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .585.2Простейшая сингулярная форма волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595.3Исследование вещественной и мнимой частей функции (5.2.1) . . . . . . . . . .625.4Обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .64Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665ВведениеАктуальность темы исследования. Интерес к построению локализованных решенийлинейных уравнений, описывающих волновые процессы, можно проследить начиная с работБейтмена начала XX века [33,34].
В 1960-е годы в связи с развитием лазерной техники в оптике возник запрос на построение простых явных решений уравнений Максвелла и, в качествеих упрощенной модели, волнового уравнения. Почти сразу же в рамках коротковолновогоприближения для гармонического режима были получены асимптотические выражения, обладающие гауссовской локализацией в окрестности фиксированного луча (оси пучка). Ониполучили название гауссовских пучков. Особенное внимание уделялось так называемой осесимметрической фундаментальной моде. Построения основывались на методе параболического уравнения (см., например, [2, 5, 14, 30, 51] и др.).
Следом за этим Изместьев [12] в 1970г. и Дешамп [38] в 1971 г. независимо построили точное решение уравнения Гельмгольцадля постоянной скорости распространения, демонстрирующие гауссовскую локализацию вокрестности оси. Это решение возникло в результате комплексного сдвига по одной из координат точки источника в ненаправленной гармонической по времени сферической волне.Оно было названо “полем комплексного источника”.“Поля комплексных источников” привлекли большое внимание в разных разделах теориидифракции и распространения волн.
В частности, они, как и их двумерные [39] и нестационарные аналоги, нашли применение в качестве падающего поля в задачах дифракции вугловых областях [39,40,52,55], в численных методах [11,61], в построении вейвлетов [46,47],в моделировании излучателей упругих волн [41, 53, 63] и ряде других вопросов. Рассматривались также мультипольные обобщения (см., например, [54, 57]) и статические1 версии [52].Эти решения изначально были окружены некоторым ореолом таинственности как “возбуждаемые источниками в комплексном пространстве” (и в этой связи было предпринятоизучение обобщенных функций в комплексном пространстве [45, 46]).Комплексифицированная сферическая волна не является однозначно определенной функцией в физическом пространстве R3 .
Однозначное ее определение требует проведения разреза. В результате поле имеет скачки на некоторых поверхностях — антеннах, на которыхсосредоточены функции источника — токи (правые части в волновом уравнении в нестационарном случае или в уравнении Гельмгольца в гармоническом).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
