Автореферат (1150882)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиТагирджанов Азат МухаммедовичТочные решения в теории локализованных волнСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2016Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательномучреждении высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКиселев Алексей ПрохоровичОфициальные оппоненты: Казаков Александр Яковлевич,доктор физико-математических наук, профессор,Cанкт-Петербургский государственный университетпромышленных технологий и дизайна,зав.
кафедрой высшей математики и информатикиФиалковский Игнат Витальевич,кандидат физико-математических наук,Федеральный Университет АБЦ (Бразилия),профессорВедущая организация:Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им.
Н.В. ПушковаРоссийской академии наукЗащита состоится «2» июня 2016 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.232.24 на базе Санкт-Петербургского Государственного Университета по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43,ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.
ГорькогоСПбГУ и на сайте http://disser.spbu.ru.Автореферат разослан «Ученый секретарьдиссертационного советаД. 212.232.24, д. ф.-м. н.»2016 года.АксеноваЕлена ВалентиновнаОбщая характеристика работыАктуальность темы исследования. Локализованные решения линейныхуравнений теории распространения волн давно вызывают интерес и в математике (как чистой, так и прикладной), и в разнообразных приложениях, средикоторых оптика, радиофизика, телекоммуникации и многое другое.Основой описания линейных волновых процессов является волновоеуравнение с постоянной скоростью распространения := + + − −2 = 0, = > 0.(1)Особое значение для приложений имеют гармонические по времени решения.Они имеют вид (,,,) = − (,,), где = > 0, а удовлетворяет уравнению Гельмгольца + + + 2 = 0, = /.(2)Интерес к построению локализованных решений уравнений (1) и (2) можно проследить начиная с работ Бейтмена начала XX века.
В 1960-е годы развитие лазерной техники послужило мощным толчком к исследованию гармонических повремени полей. Первые результаты были получены в рамках коротковолновогоприближения методом параболического уравнения [10], восходящим к работамЛеонтовича и Фока середины 1940-х годов. Особенное внимание уделялось такназываемой осесимметрической фундаментальной моде, бегущей вдоль оси ,(︂)︂12 2 =exp Ψ − 2 , Ψ = +,(3) − Δ⊥ Δ2⊥√︀где = 2 + 2 и√︂2( 2 + 2 )Δ⊥ =.(4)Выражение (3) является приближенным решением уравнения (2) в параксиальной области, определяемой неравенством 4 /| − |3 ≪ 1. При ≫ 1(5)оно описывает поле, гауссовски локализованное в окрестности оси .
Здесь Δ⊥характеризует ширину пучка.Следом за этим Изместьев в 1970 г. и Дешамп в 1971 г. независимо построили простое точное решение уравнения Гельмгольца, демонстрирующее гауссовскую локализацию в окрестности оси [11, 12]. Отправной точкой была√︀ функция Грина для уравнения Гельмгольца = exp()/, где = 2 + 2 + 2 , удовлетворяющая неоднородному уравнению + + + 2 = (,,)3(6)с точечным источником = −4(r), r = (,,), сосредоточенным в началекоординат. Сдвиг точки источника на мнимую постоянную переводит функциювexp (* )* =,(7)*где√︁* = 2 + 2 + ( − )2 , = > 0(8)— “расстояние до комплексного источника”.
Поля “комплексных источников” иих двумерные и нестационарные аналоги нашли применение в разных разделахтеории дифракции и распространения волн, в численных методах, в построениивейвлетов, в моделировании излучателей упругих волн и ряде других вопросов.Рассматривались также мультипольные обобщения и статические версии.Эти решения изначально были окружены некоторым ореолом таинственности как “возбуждаемые источниками в комплексном пространстве”. В рядеработ [12, 13] говорилось, что в результате комплексификации источник “удаляется в комплексную область”.
Из работ [14, 15] можно было бы сделать вывод,что источник “размазывается” по некоторой поверхности с краем в физическомпространстве, однако дело не зашло дальше качественного обсуждения.Однозначное определение * требует проведения разреза. В результате* имеет скачок на некоторой поверхности — антенне, на которой сосредоточена обобщенная функция — распределение токов, = supp .
При любомвыборе разреза антенна имеет край = {r : 2 + 2 = 2 , = 0}. Вопрос обантеннах и, в особенности, о токах оставался непроясненным.Аналогично возникает комплексифицированная нестационарная сферическая волна [15] (C )=, C = * − ,(9)*где форма волны (·) — произвольная функция. Выбором (·) можно добитьсялокализованности решения (в том числе гауссовской). Функция (9) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению = (,,,),(10)где нестационарное распределение токов сосредоточено на некоторой антенне , вид которой, как и в гармоническом по времени случае, определяетсявыбором ветви комплексного корня, входящего в * .
Антенны и распределениетоков на них не рассматривались.Другим, нежели теория “комплексного источника”, результатом развитиятеории приближенных гармонических решений, основанной на методе параболического уравнения, стало построение простых нестационарных точных реше4ний, являющихся спецификациями комплексифицированных решений Бейтмена [16],12= (B ), B = +, = > 0,(11) − − также содержащих произвольную форму волны (·). Здесь = − , = + (12)— характеристические переменные. Путем подходящего выбора формы волныпостроены решения волнового уравнения, описывающие гауссовски локализованные волновые пучки и волновые пакеты, см., например, [18].До сих пор рассматривались только функции без особенностей; тогда (11)удовлетворяет однородному волновому уравнению (1).
Если (·) имеет, например, полюс первого порядка, то волновое поле сингулярно в точке, бегущей соскоростью вдоль оси . Возникает вопрос, будет ли такое решение удовлетворять неоднородному уравнению с некоторым бегущим точечным источникомили же оно будет удовлетворять однородному уравнению и служить иллюстрацией теории распространения волновых фронтов по Хёрмандеру [17].Цели и задачи диссертационной работы:1. Явное описание антенн и токов для трехмерного гармонического по времени “комплексного источника” в общей ситуации.2.
Явное описание антенн и токов для трехмерного нестационарного по времени “комплексного источника”. Построение гауссовского волнового пакета на основе “комплексного источника”.3. Явное описание антенн и токов для двумерного гармонического “комплексного источника”.4. Исследование бейтменовского решения однородного волнового уравнения,имеющего степенную сингулярность в бегущей точке.Для решения поставленных задач использовались асимптотические методы, методы теории обобщенных функций и теории функций комплексной переменной.Научная новизна.
В диссертационной работе впервые дано явное описание источников в вещественном пространстве, соответствующих полям “комплексных источников”. В рамках теории “комплексного источника” построеныновые нестационарные решения волнового уравнения, обладающие гауссовскойлокализацией. Построен пример решения однородного волнового уравнения,имеющего степенную сингулярность в бегущей точке.
Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.5Положения, выносимые на защиту:1. Получены явные описания антенн и выражения для токов на них, возбуждающих гармонические поля “комплексного источника” в случае трех пространственных переменных.2. Результаты, полученные для гармонического “комплексного источника”,обобщены на нестационарный режим.
В рамках теории “комплексного источника” построено решение волнового уравнения с тремя пространственными переменными, описывающее гауссовский волновой пакет.3. Получены явные описания антенн и выражения для токов, возбуждающихгармонические поля “комплексного источника” в случае двух пространственных переменных.4. Исследовано построенное в рамках теории Бейтмена решение волновогоуравнения, имеющее степенную сингулярность в бегущей точке. Доказано,что это решение удовлетворяет однородному волновому уравнению.Теоретическая и практическая значимость. Работа направлена на развитие теории локализованных решений волнового уравнения, имеющей многочисленные приложения. Результаты диссертации вносят ясность в остававшиеся без надлежащего внимания вопросы теории “комплексного источника”.
Спрактической точки зрения эти результаты позволяют в принципе, управляя распределением токов на антеннах, возбуждать гауссовски локализованные поля, вчастности, излучать их преимущественно в одном направлении.Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и математической физикиСПбГУ, на Санкт-Петербургском семинаре по теории дифракции и распространения волн в ПОМИ им. В.А.
Стеклова РАН, на Санкт-Петербургском семинарепо теоретической и прикладной акустике в ИПМАШ РАН, а также на следующих конференциях:– Международные конференции “Days on Diffraction” (Санкт-Петербург,2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014);– Международные конференции “Progress in Electromagnetics ResearchSymposium (PIERS)” (Москва, 2009; Стокгольм, 2013);– Международная конференция “Optics, Photonics and Metamaterials” (Харьков, 2009);– Международная конференция “Фундаментальные проблемы оптики”(Санкт-Петербург, 2010);6– Отраслевая научная конференция “Технологии информационного общества” (Москва, 2011).Публикации по теме диссертации.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
