Автореферат (1150882), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Основные результаты диссертацииопубликованы в 9 печатных работах. В их числе 7 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций [1–6, 8], и 2 публикации в сборниках трудов международных конференций [7, 9].Личный вклад. Результаты второй, третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в совместных работах диссертанта c А.П. Киселевым иА.С. Благовещенским [1, 3, 8], в работе диссертанта [2] и в совместных работахдиссертанта c А.П.
Киселевым [4, 5]. Определяющий вклад во все эти работыпринадлежит диссертанту. Результаты пятой главы опубликованы в совместнойработе диссертанта c А.П. Киселевым и А.С. Благовещенским [6]. Эти результаты принадлежат соавторам в равной степени.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пятиглав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет70 страниц текста с 21 иллюстрацией. Список литературы содержит 64 наименования.Содержание работыВведение содержит обоснование актуальности темы диссертации, формулировку цели исследований, обзор научной литературы по изучаемой проблеме.
Ставятся задачи представляемой работы, сформулированы ее научная новизна и практическая значимость.Первая глава посвящена краткому обзору методов построения простыхлокализованных решений волнового уравнения и носит вспомогательный характер. Обсуждаются приближенные и точные методы. В разделе 1.1 рассматриваются гармонические по времени решения.
Вводятся фундаментальная осесимметрическая мода (3) и гармонический “комплексный источник” (7). В разделе 1.2 рассматриваются нестационарные решения. Приводится классическоеопределение относительно неискажающихся решений и обсуждаются два примера таких решений — нестационарный “комплексный источник” (9) и комплексифицированное решение Бейтмена (11).Во второй главе рассматривается “комплексный источник” в случае гармонической зависимости от времени для трех пространственных переменных.Вычисляются токи в уравнении Гельмгольца (6) и исследуются соответствующие волновые поля для разных случаев фиксации ветви * .
Сначала рассматриваются простые случаи, а затем общий.7zzS0aSx0a xб)а)Рисунок 1: Антенна : а) некомпактная антенна (13), б) компактная антенна (14).Волновое поведение функции * существенно зависит от того, компактна ли антенна или некомпактна. В разделах 2.1 и 2.2 рассматриваются двахарактерных примера антенн (см. Рисунок 1). В первом случае ветвь комплексного корня * фиксируется условием Im * > 0. При такой фиксации ветвиантенна принимает вид = {r : > , = 0}(13)и является некомпактной. В разделах 2.1.1–2.1.3 вычисляются токи на этой антенне.
Оказывается, что при такой фиксации ветви функция * , с точностью донормировки, имеет асимптотикой фундаментальную осесимметрическую моду(3), бегущую вдоль оси . Соответствующие выражения получены в разделе 2.4.Во втором случае ветвь * фиксируется условием Re * > 0, и антенна принимает вид = {r : 6 , = 0}.(14)Функция * описывает гауссовский пучок только лишь при > 0. При = 0поле испытывает скачок на антенне , а при < 0 функция * описывает нелокализованную расходящуюся волну, экспоненциально малую при ≫ 1. Соответствующие асимптотики получены в разделе 2.5.
В англоязычной литературеэти два случая получили название beam choice и source choice, соответственно [15].В разделе 2.3 описывается широкий класс антенн и вычисляются токи наних. Рассмотрим комплексную плоскость подкоренного выражения в (8),√(15) = + = 2 + 2 − 2 − 2, * = .Поскольку и вещественны, принимает значения в замкнутой области{︂}︂1 2(16)Π = : > 2 − 2 .48zw∂ΠS2Π2B0−aAS1A0Baxw(t)б)а)Рисунок 2: Пример разреза () и соответствующей ему антенны . Точкам , ∈ Πотвечают точки ,ℬ ∈ .Область Π взаимнооднозначно отображается на полуплоскость переменных(,), причем ось соответствует границе Π области Π.Для однозначного определения комплексного корня * в плоскости комплексной переменной вводится разрез, соединяющей точку = 0 с бесконечностью.
Доказывается следующаяТеорема 1. Пусть разрез проведен вдоль гладкой несамопересекающейся кривой,заданной параметрически, = (), ∈ [0, + ∞),(17)где — длина дуги, причем (0) = 0 и |()| → +∞ при → +∞. Пустьдля всех ∈ (0, + ∞) выполнено условие регулярности 2 () + 2 () > 0 и всепересечения кривой () с границей Π области Π трансверсальны.Тогда антенна является гладкой и регулярной поверхностью в R3 скраем = {r : = , = 0}, осесимметрической относительно оси .В разделе 2.3.2 получено явное описание антенны в параметрическомвиде в зависимости от выбора разреза, r = r(,) где ∈ [0,2) — полярныйугол. Антенна может иметь конечное число компонент связности; в дальнейшем особую роль играет первая компонента связности 1 , содержащая край .Соответствие между разрезом и антенной поясняет Рисунок 2.Замечание 1.
В случае, когда пересечение кривой () с областью Π некомпактно, на () накладывается дополнительное условие. Именно, пусть существуетпредел√︃() + 20 = − lim42− 1.→+∞ 2 ()9Тогда поверхность является при → +∞ асимптотически конической суглом раствора arctg 0 .В разделах 2.3.5–2.3.9 доказывается следующаяТеорема 2. Пусть разрез комплексного корня, входящего в функцию * , проведен вдоль кривой (17), для которой выполнены условия Теоремы 1. Тогда токи,сосредоточенные на антенне , имеют видcos(0 ) sin(0 ) + 2(r* · n) +002{︂}︂cos(0 )(r* · n)+2(r* · n)∖1 + 2cos(0 ),03031̃︀ − 2 = −2(18)̃︀ — параметр, определяемый1 структурой антенны , — дельтагде функция, сосредоточенная на краю антенны, и — простой и двойной слои на антенне, определяемые над пространством основных функций(r) ∈ 0∞ (R3 ) как(︂)︂∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁( (r) ,(r)) := Σ,((r) ) ,(r) := − Σ, (︃{︂)︃}︂∫︁ ∫︁(r* · n)(r(,0,)) − (r(0,0,))(r* · n)Σ.,(r):=303011Здесь Σ — элемент площади поверхности , n — единичная нормаль к ,0 () := * (r(,,))|=−0 — граничное значение * на , r(,,) = r(,)+n— локальные координаты вблизи поверхности , и r* (,) = r(,) − e .Замечание 2.
Выражение (18) не зависит от выбора направления нормали к .В разделе 2.6 обсуждается волновое поле в случае антенны из класса,описанного в Теореме 1. Ветвь корня (8) мы фиксируем всегда так, чтобы параксиальное поле * при → +∞ представляло собой уходящую волну. Волновоеповедение при → −∞ зависит от того, компактна ли антенна . Случай некомпактной антенны является обобщением случая beam choice. Случай компактнойантенны является обобщением случая source choice.В третьей главе рассматривается гармонический “комплексный источник” в случае двух пространственных переменных. Вводится комплексифицированная функция Грина для двумерного уравнения Гельмгольца,√︁(1)(19)g* = 0 (r* ), r* = 2 + ( − )2 .1Для антенны (13) ̃︀ = 0, а для антенны (14) ̃︀ = 1. Описание ̃︀ в общем случае довольно сложно.10(1)Здесь 0 — функция Ханкеля первого рода.
Как и в трехмерном случае, функция g* не является однозначно определенной функцией (,) ∈ R2 . В физическом пространстве R2 точке ветвления функции g* соответствуют точки = { = −, = 0} ∪ { = , = 0}. Функция g* удовлетворяет уравнению(Δ + 2 )g* = (,),(20)где Δ = 2 /2 + 2 / 2 , с токами , сосредоточенными на антенне . Вразделах 3.1 и 3.2 рассматриваются двумерные аналоги случаев beam choice иsource choice. В разделе 3.3 рассматривается более широкий класс антенн.Теорема 3. Пусть разрез комплексного корня, входящего в функцию r* проведенвдоль кривой (17), для которой выполнены условия Теоремы 1.
Тогда антенна является гладкой регулярной кривой с концевыми точками , симметричнойотносительно оси .Теорема 4. Токи, сосредоточенные на антенне , имеют вид(︂)︂1 (r0 ) = 2 (−)()+(+)()+(r* ·n) −0 (r0 ) , (21)r0где теперь(︂∫︁( ,(r)) =,)︂∫︁ ,(r) = −, n — единичная нормаль к , r0 = r* (r(,))|=+0 — граничное значение r* на ,r* () = r() − e , а (·) обозначает функцию Бесселя со значком .Волновое поведение g* в зависимости от вида антенны аналогично волновому поведению * , рассмотренному во второй главе.
Соответствующиеасимптотики получены в разделах 3.4, 3.5, 3.6.В четвертой главе рассматривается нестационарный “комплексный источник” в случае трех пространственных переменных. В разделе 4.1 Теорема 2обобщается на нестационарный случай в предположении, что область аналитичности формы волны (C ) содержит полосуRe C ∈ (−∞, + ∞), Im C ∈ [−, ].В разделах 4.2–4.3 рассматривается специальная форма волны, при которой решение (9) описывает гауссовский волновой пакет.
По аналогии с работой Киселева и Перель [18] (посвященной комплексифицированным решениямБейтмена) в комплексифицированной сферической волне (9) выбирается√︀ )︁]︁̃︀C, (C ) = exp 2 1 − , = 1 −[︁(︁11(22)где ̃︀C = C + = * − + , а > 0 — свободный параметр, играющий роль√√волнового числа. Ветвь корня фиксирована условием Re > 0.В разделе 4.2 описывается волновое поведение решения в случае beamchoice, когда антенна имеет вид (13). В этом случае поле имеет пик в бегущейточке { = 0, = } на оси .
Вблизи пика на умеренных расстояниях, т.е. привыполнении условий/ = (1) и /Δ⊥ = (1), /Δ‖ = (1) при ≫ 1,получена вполне аналогичная [18] асимптотика(︃)︃122 2∼exp Ψ − 2 − 2 , Ψ = +, − Δ⊥ Δ‖2 Δ2⊥(23)где Δ⊥ ,√︀определенная в (4), характеризует поперечную ширину пакета, аΔ‖ = 2 / — продольную ширину пакета. Здесь и — характеристические переменные, введенные в (12).В дальней зоне, т.е. при / ≫ 1, асимптотика вблизи пика,/Δ = (1), /Δ‖ = (1) при ≫ 1,имеет для > 0 вид(︃)︃221−, ∼ exp − 2Δ Δ2‖где = arctg(/), =Аналогично, для < 0 и(24)√︀√︀2 + 2 , = − , = + , Δ = 2/.( − )/Δ = (1), /Δ‖ = (1) при ≫ 1получается асимптотика(︃)︃( − )2 21 ∼ − exp − − 2− 2 .ΔΔ‖(25)Таким образом, описывает пакет, распространяющийся вдоль оси от −∞ к+∞ и гауссовски локализованный как по продольной, так и по поперечной переменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
