Диссертация (1150883), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При = 0 виден скачок поля на антенне.56В параксиальной области поле имеет скачок при = 0. При > 0 справедливо разложение(4.2.7), и, следовательно, поведение поля вблизи пика описывается формулами (4.2.8)–(4.2.9).При < 0, как очевидно из (2.2.1), в области (4.2.4) справедливо̃︀C ∼ 2 − − −22−= 2 − , < 0,2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(4.3.1)где = −(* − − ) ∼ +22+.2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(4.3.2)Функция (4.3.2) обращается в нуль в бегущей точке { = 0, = 0} на оси . Перепишем√в виде√︃√︀=Разложение√̃︀C1−=√︂√3+= 3 1+ .3√︂(4.3.3) по степеням до квадратичных членов дает√︀√1 21 + √,∼ 3+ √3 2 3 3 82(4.3.4)откуда, ограничиваясь квадратичными членами по и , получим(︃)︃√exp(−2( 3 − 1))1 21 2 ∼−exp Ψ + √− √,2( − )3 ∆2⊥ 3 3 ∆2‖(4.3.5)где1Ψ = −√3(︂ 2 +2 ∆2⊥)︂.(4.3.6)Выражение (4.3.5)–(4.3.6) описывает поле, бегущее против оси . Оно гауссовски убывает в продольном направлении, но растет в поперечном.
При выполнении (1.1.8) поле (4.3.5)экспоненциально мало относительно большого параметра . Соответствующее поле изображено на Рисунках 4.3 и 4.4 для двух разных значений .4.3.2Асимптотика в дальней зонеИз (2.2.1) следует, что в дальней зоне̃︀C ∼ + 2 sin22(4.3.7)для всех 0 6 6 . Поэтому асимптотика дальнего поля для всех направлений описываетсявыражением (4.2.12). Выражение (4.2.12) принимает максимальное значение при = 0, и сростом монотонно убывает.Мы отметили, что (4.2.12) сшивается с (4.2.8)–(4.2.9) для ≪ 1. Нетрудно убедиться, что(4.2.12) сшивается и с (4.3.5) для − ≪ 1.57Рисунок 4.4: Поле Re в ближней зоне при = 2, = 0 для = 5/ в случае sourcechoice.
Для этого не слишком большого значения хорошо видно поле, описываемое(4.3.5)–(4.3.6).4.4Заключительные замечанияИзвестные на настоящий момент нестационарные волновые поля, имеющие сильную, втом числе гауссовскую локализацию, описываются точными решениями двух типов — основанными на теории Бейтмена и связанными с комплексифицированными сферическимиволнами.
Первые не имеют вещественных источников и приходят из бесконечности, вторыеимеют особенности — антенны. Решениям, возникающим при комплексификации сферической волны, всегда соответствует некоторая антенна.Полученные в работе результаты теории “комплексного источника” позволяют в принципе, управляя распределением токов на антеннах, возбуждать гауссовски локализованныеполя, в частности, излучать их преимущественно в одном направлении. Явные выражениядля антенн и токов могут использоваться для строгой постановки задач дифракции полей“комплексного источника”.
Следует отметить, что рассмотренные выше “поля комплексныхисточников” не обладают вблизи края антенны конечной энергией, а соответствующие токине имеют конечной мощности. При практической реализации развитой выше теории можно иметь в виду возбуждение поля антеннами, окружающими антенну , на которых токиконечны. Подобный подход обсуждался, например, в [47].58Глава 5Простые решения волнового уравнения ссингулярностью в бегущей точке,основанные на комплексифицированномрешении БейтменаВ этой главе мы приводим новые простые примеры решений однородного волнового уравнения (1.0.1), имеющие сингулярность в бегущей со скоростью пространственной точке.Примеры основаны на комплексифицированном решении Бейтмена, которое содержит произвольную аналитическую функцию одной переменной. До сих пор путем подходящего выбораэтой функции строились решения уравнения (1.0.1), описывающие сильно локализованныеволновые пучки и волновые пакеты.
Ниже мы выбираем эту произвольную функцию так,что она имеет полюс первого порядка. Удовлетворяя при этом однородному волновому уравнению, получающееся решение служит иллюстрацией результатов теории волновых фронтовпо Хёрмандеру [31].5.1Комплексифицированное решение БейтменаМы рассматриваем осесимметрическое комплексифицированное решение Бейтмена, определенное в Главе 1 формулами12, =B = + − − (5.1.1)где = − , = + , =√︀2 + 2 ,(5.1.2)а > 0 – произвольно фиксированная постоянная. Легко видеть, что при всех (r,) ∈ R3 × Rфаза B , определенная формулой (5.1.1), принимает значения в замкнутой верхней полу-59плоскости Im B (r,) > 0, причем Im B (r,) = 0 тогда и только тогда, когда {(r,) : = =0, ∈ R, ∈ R}.Теорема 5.1.1.
Пусть =1 (B ) − (5.1.3)где фаза B определена выражением (5.1.1). Если1. форма волны (B ) аналитична в открытой верхней полуплоскости Im B > 0,2. (B ) дважды непрерывно дифференцируема при Im B > 0,то функция (5.1.3) удовлетворяет однородному уравнению (1.0.1) во всем пространствевремени R3 × R.Одно из доказательств, основанное на прямом вычислении, можно найти, например, в [48].Замечание 5.1.1. Если условие (2) Теоремы 5.1.1 не выполнено в некоторой точке вещественной оси, например, в B = 0, то (5.1.3) удовлетворяет однородному уравнению (1.0.1)при R3 × R ∖ {(r,) : = = 0, = 0, ∈ R}, т. е.
во всем пространстве времени, за исключением, может быть, движущейся точки{r : = = 0, = }.(5.1.4)Замечание 5.1.2. Требование двукратной непрерывной дифференцируемости значительнозавышено.5.2Простейшая сингулярная форма волныВыберем в (5.1.3) форму волны (B ) = 1/B . Выражение (5.1.3) принимает вид =111= 2 + B + ( + )(5.2.1)и имеет сингулярность в пространственной точке (5.1.4) движущейся вдоль оси . В соответствии с Замечанием 5.1.1, вне этой точки функция (5.2.1) удовлетворяет однородномууравнению (1.0.1). В пространстве-времени R3 × R сингулярный носитель есть прямая = = 0, = .
Ключевым результатом этой главы является доказательство следующегоутвержденияТеорема 5.2.1. Функция (5.2.1) удовлетворяет однородному уравнению (1.0.1) во всемпространстве-времени R3 × R = R4 в смысле обобщенных функций.Сначала будет доказана простаяЛемма 5.2.1. Функция (5.2.1) локально абсолютно интегрируема в R4 .60Доказательство. Мы хотим установить, что интеграл∫︁ | |Ω :=(5.2.2)Ωсходится для любой компактной области Ω ⊂ R4 .Если Ω не пересекается с сингулярным носителем { = 0, = 0, ∈ R} ⊂ R4 функции , то справедливость утверждения очевидна.
Рассмотрим областьΩ = {−1 6 6 1,1 6 6 2 , 0 6 2 + 2 6 1},содержащую сингулярный носитель функции . Перейдя в (5.2.2) от переменных (,,,) кпеременным (,,,), где = cos , = sin ,(5.2.3)получаем1Ω =2∫︁1∫︁2−11∫︁∫︁10021. √︀(2 + )2 + 2 2(5.2.4)Заметим, что∫︁∫︁1 1√︀√︀==2 0(2 + )2 + 2 2( + )2 + 2 2)︁⃒1√︀1 (︁⃒222ln + + ( + ) + ⃒ .2=010(5.2.5)Подставляя (5.2.5) в (5.2.4) и интегрируя по углу , получаем интегралΩ =2∫︁1∫︁−1(︃21)︃√︀2221 + + (1 + ) + √︀ln− ln || , + 2 + 2который, очевидно, сходится при любых −∞ < 1,2 < +∞. Лемма доказана.Доказательство Теоремы 5.2.1.
Мы рассматриваем как обобщенную функцию т. е. какфункционал действующий на основные функции = (,,,) ∈ 0∞ (R4 ), см. [7]. СогласноЛемме 5.2.1 это означает, что∫︁(,) := .(5.2.6)R4Мы доказываем, что(,) := (,) = 0(5.2.7)для любой ∈ 0∞ (R4 ). Перейдя от переменных (,) к переменным (,), получаем длялевой части (5.2.7) выражение1(,) =2∫︁ .R4(5.2.8)61Волновой оператор (1.0.1) принимает вид = 4 + + .Выражение (5.2.8) можно записать как1lim2 →+0∫︁ ,(5.2.9)Ωгде Ω = {|| > , − ∞ < ,, < ∞}.
Интегрирование по частям в (5.2.9) с использованиемфинитности дает∫︁∫︁∫︁ − 4 =ΩR3Ω(︁)︁ |=− − |= ,(5.2.10)где=− 2.( + ( + ))2 =(5.2.11)Функция удовлетворяет в Ω однородному волновому уравнению, поэтому первый интеграл в правой части (5.2.10) исчезает. Для второго интеграла мы получаем выражение∫︁∞∫︁−4∞−∞(︂0(,,)(, − ,)+ 222( − ( + ))( + ( + ))2)︂,(5.2.12)где∫︁2( cos , sin ,(,,) :=0+ −,).22Рассмотрим в (5.2.12) интеграл по . Замена переменной = −1/2 дает∫︁∞0(︂( 1/2 , − ,)( 1/2 ,,)+(2 − ( + ))2 (2 + ( + ))2)︂.(5.2.13)Ввиду гладкости (,,), можно записать(,,) = (,0,) + ().(5.2.14)Поскольку, как легко проверить,∫︁0имеем∞1=22( ± ( + ))2∫︁0∞(︂∫︁0∞′1 1=±,′2( ± ( + ))2 + 11+ 222( − ( + ))( + ( + ))2)︂ = 0,(5.2.15)62что, вместе с (5.2.14) приводит к следующему выражению для интеграла (5.2.13):∫︁∞(︂011+(2 − ( + ))2 (2 + ( + ))2)︂(︀)︀( 1/2 ,0,) − (0,0,) .(5.2.16)Вследствие финитности (,,), выражение (5.2.16) стремится к нулю при → +0.Мы показали, что предел (5.2.9) равен нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
