Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1150883), страница 8

Файл №1150883 Диссертация (Точные решения в теории локализованных волн) 8 страницаДиссертация (1150883) страница 82019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Кривая является гладкой и регулярной.Нормаль к определим как⎧− e + e⎪, ̸= 0,⎨sgn() √︀ 22+n() :=)︁(︁⎪⎩sgn − e , = 0.223.3.3(3.3.5)Функция источникаВ окрестности введем систему координат r(,) = r() + n(), где — расстояние откривой , растущее в направлении n, и положимr0 = r* (r(,))|=+0 .(3.3.6)Тогда∫︁ (︂[︂(,) =g*]︂)︂ − [g* ] (∇ · n) 11− ( − )() − ( + )(),22(3.3.7)48где = (,) — основная функция, — элемент длины ,[︂[g* ] = −20 (r0 ),]︂g*= 2 1 (r0 )(r* · n) r0(3.3.8)иr* () = r() − e .(3.3.9)В результате справедлива следующаяТеорема 3.3.2. Пусть разрез для функции g* выбран вдоль гладкой несамопересекающейсякривой (2.3.3), для которой выполнены условия (2.3.4), (2.3.11) и, в случае (2.3.8), условие(2.3.13). Тогда функция источника в (3.0.2) сосредоточена на гладкой регулярной кривой ⊂ R2 , имеющей вид (3.3.3)–(3.3.4), и равна(︂1 (r0 ) = 2 (r* · n) − 0 (r0 )r02)︂1+ ( − )() + ( + )() ,2где(︂∫︁( ,(r)) =,3.4 ,(r))︂∫︁=−(3.3.10).Асимптотическое поведение g* в случае beam choiceОпишем волновое поведение функции g* для антенны (3.2.3) (и, соответственно, при фиксации ветви функции g* согласно (3.2.1)).

Функция g* представляет особенный интерес привыполнении условия (1.1.8). Воспользуемся асимптотикой [24](1)0 ()√︂=(︂(︂ )︂)︂21exp( − /4) 1 + при − < arg < 2, || ≫ 1,из которой следует, чтоexp(r* + /4)√g* = −2 2r*Ветвь корня в (3.4.1) определяется условием3.4.1√(︂(︂1+1r*)︂)︂.(3.4.1)r* > 0 при r* > 0.Параксиальная асимптотика в ближней зонеВ параксиальной области,|| ≪ | − |, 4 ≪ | − |3 ,(3.4.2)49как легко видеть, при > 0)︂(︂exp(/4) exp()2g* ∼ − √exp Ψ − 2 ,√∆⊥2 2 − (3.4.3)гдеΨ = + 2, ∆2⊥(3.4.4)а ∆⊥ определено в (1.1.7).

Функция g* соответствует фундаментальной осесимметрическоймоде двумерного гауссовского пучка (см., например, [14]).3.4.2Асимптотика в дальней зонеВ дальней зоне, характеризуемой условиями√2 + 2 ≫ , ≫ 2 ,(3.4.5)r* ∼ ± ( − cos ) , ≷ 0,(3.4.6)=справедливогде =√2 + 2 , а угол , 0 6 6 , определяется соотношениемcos = /.(3.4.7)Функция g* описывает расходящуюся волну при 0 6 < /2,g* ∼ −exp(/4) exp() +√√ (),2 2(3.4.8)exp(/4) exp() −√√ ().2 2(3.4.9)и сходящуюся при /2 < 6 ,g* ∼ −Здесь ± () — диаграмма направленности, определенная в (2.4.11).

При = /2 дальнееполе имеет скачок.3.5Асимптотическое поведение g* в случае source choiceОпишем волновое поведение функции g* для антенны (3.1.2) (и, соответственно, при фиксации ветви функции g* согласно (3.1.1)).503.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зонеПри > 0 параксиальное поле описывается выражением (3.4.3)–(3.4.4). При < 0)︂(︂2exp(−/4) exp(−)√exp −Ψ + 2 ,g* ∼ −√∆⊥2 2 − < 0,(3.5.1)где фаза Ψ определена в (3.4.4). Таким образом, при > 0 функция g* описывает двумерныйгауссов пучок, а при < 0 не являющуюся пучком волну, растущую при отдалении от оси ,оставаясь малой при выполнении условия (1.1.8).3.5.2Асимптотика в дальней зонеВ дальней зоне волновое поведение g* описывается выражением (3.4.8) при всех 0 6 6 .Таким образом, источник действует как антенна, излучающая почти исключительно гауссовпучок в направлении положительных 3.6Асимптотическое поведение g* в случае произвольнойантенныОписание волнового поля двумерного гармонического “комплексного источника” в случаепроизвольной антенны во многом аналогично трехмерному гармоническому случаю, рассмотренному в Главе 2.В случае четного числа пересечений () с Π, антенна некомпактна.

В параксиальной области (3.4.2) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеет вид (3.4.3).Будем мысленно двигаться против оси , начиная с достаточно больших . При первом пересечении антенны функция * меняет знак, и асимптотика * принимает вид (3.5.1). Приследующем пересечении функция * снова меняет знак, и асимптотика * снова принимаетвид (3.4.3) и т.д. Асимптотика дальнего поля имеет вид (3.4.8) при 0 6 6 0 и (3.4.9) при0 6 6 .В случае нечетного числа пересечений () с Π, антенна компактна. В параксиальнойобласти (3.4.2) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеет вид (3.4.3) при > 0 и (3.5.1) при < 0. При пересечении асимптотика * имеет скачок. Асимптотикадальнего поля описывается выражением (3.4.8) при всех 0 6 6 .51Глава 4Нестационарный “комплексныйисточник” в трехмерном случаеВ этой главе мы рассматриваем нестационарную версию “комплексного источника” —комплексифицированную нестационарную сферическую волну = (C )/* с фазой C =* − , определенные в (1.2.19), (1.2.20).

Эта функция удовлетворяет неоднородному волновому уравнению = (1.2.21), где нестационарное распределение токов сосредоточенона некоторой антенне , вид которой как и в Главе 2 определяется выбором ветви комплексного корня, входящего в * . Как нетрудно убедиться, при любом выборе ветви корня *комплексифицированная фаза C принимает значения в полосе−∞ < Re C < +∞,− 6 Im C 6 .(4.0.1)В дальнейшем мы будем предполагать, что область аналитичности формы волны (C ) содержит эту полосу.4.1Функция источникаВычисление функции источника для уравнения (1.2.21) повторяет с очевидными оговорками процедуру, описанную в Разделе 2.3 для решения с гармонической временной зависимостью, (C ) = exp(C ). В результате может быть сформулирована следующаяТеорема 4.1.1.

Пусть разрез комплексного корня, входящего в функцию * выбран вдольгладкой несамопересекающейся кривой (2.3.3), для которой выполнены условия (2.3.4),(2.3.11), (2.3.13). Пусть область аналитичности функции (C ) содержит область (4.0.1).52Тогда функция источника в (1.1.10) сосредоточена на гладкой регулярной поверхности ⊂ R3 , имеющей вид (2.3.9)–(2.3.10), и равна ′ (0+ ) − ′ (−0− ) (0+ ) + (−0− ) −(r* · n) +002}︂{︂(︀ +)︀ (r* · n) (0+ ) + (−0− )−+,(r* · n)∖1 + (0 ) + (−0 )03031 = −2̃︀ −(4.1.1)0± = 0 ∓ — предельные значения комплексифицированной фазы C на , параметр ̃︀определен в (2.3.56), функция 0 определена в (2.3.20), а (r* · n) — скалярное произведениевектор-функции{︁ r*}︁(см. (2.3.38)) и вектора нормали (см. (2.3.18)). Обобщенные функции , , , (r* ·n)определены в (2.3.59)–(2.3.61).304.21Гауссовский пакет в случае beam choiceРассмотрим специальную форму волны[︁(︁√︀ )︁]︁̃︀C (C ) = exp 2 1 − , = 1 −,(4.2.1)где ̃︀C — фаза, отличающаяся от C комплексным сдвигом̃︀C = C + = * − + ,(4.2.2)√а > 0 — свободный параметр, играющий роль волнового числа.

Ветвь корня фик√сирована условием Re > 0. Как видно из (4.0.1) и (4.2.2), при любой фиксации ветви√комплексного корня * выполнено неравенство Re > 0, и следовательно, не имеетточек ветвления в R3 .Функция (1.2.20) с формой волны (4.2.1) описывает гауссовский пакет, сильно локализованный при условии (1.1.8).

Как и для гармонических полей в Главе 2, волновые поля дляслучаев неограниченной антенны (2.1.2) и ограниченной антенны (2.2.2) различны. В первом случае выражение (1.2.20), (4.2.1) описывают гауссовский пакет, распространяющийсявдоль оси от −∞ к +∞, во втором — излучение гауссовского пакета в направлении положительных . Рассмотрим волновое поле (1.2.20), (4.2.1) в случае, когда выполнено условие(1.1.8).В данном разделе мы опишем волновое поведение (1.2.20), (4.2.1) в случае определенияветви * согласно (2.1.1). Тогда, как следует из (1.1.13), фаза (4.2.2) обращается в нуль вбегущей точке { = 0, = } на оси (и только в ней). Таким образом, как видно из (4.2.1),поле (1.2.20) имеет в этой точке пик.534.2.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстоянияхРисунок 4.1: Поле Re в ближней зоне для = 200 и = 0 при = /2.На умеренных расстояниях,= (1),(4.2.3)область вблизи пика характеризуется условиями= (1),∆⊥= (1).

→ ∞,∆‖(4.2.4)Здесь ∆⊥ , определенная в (1.1.7), характеризует поперечную ширину пакета, а√︂∆‖ = 2(4.2.5)— продольную ширину пакета. Характеристические переменные = −, = + введеныв (1.2.5).В области (4.2.3)–(4.2.4)√︀̃︀C̃︀2∼1−+ C2 .28(4.2.6)и справедливо разложение̃︀C ∼ +222=++,2( − )2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(4.2.7)откуда(︃)︃122∼exp Ψ − 2 − 2 , − ∆⊥ ∆‖(4.2.8)54гдеΨ = + 22 ∆2⊥(4.2.9)— вещественная фаза. Поле, отвечающее вещественной части (4.2.8), изображено на Рисунке 4.1.4.2.2Асимптотика в дальней зонеРисунок 4.2: Поле Re в дальней зоне для = 200 и = 0 при = 10/.В дальней зоне, при ≫ , справедливо разложениегде =̃︀C ∼ + (1 − cos ) = + 2 sin2 , > 0,2(4.2.10)̃︀C ∼ − + (1 + cos ) = − + 2 cos2 , < 0,2(4.2.11)√︀2 + 2 , а угол , 0 6 6 , определяется соотношением (1.2.15).

Характеристи-ческие переменные = − , = + введены в (1.2.14).Для > 0, что соответствует значениям 0 6 < /2, вблизи фронта, где || ≪ ,(︃)︃11 2 ∼ exp − 2(Λ+ − 1) − 3 2 ,Λ+Λ+ ∆‖причем Λ+ :=(4.2.12)√︀1 + 2 sin2 (/2). Для < 0, что соответствует значениям /2 < 6 , вблизифронта, где || ≪ ,(︃)︃11 2 ∼ − exp −− 2(Λ− − 1) − 3 2 ,Λ−Λ− ∆‖(4.2.13)55где Λ− :=√︀1 + 2 cos2 (/2).В формулах (4.2.12) и (4.2.13) не предполагается большим. Поле, отвечающее вещественной части (4.2.12), изображено на Рисунке 4.2.4.2.3Асимптотика вблизи пика на больших расстоянияхПри ≫ 1 выражение (4.2.12) упрощается при малых и до)︃(︃122, ≪ 1, ∼ exp − 2−∆ ∆2‖(4.2.14)где ∆ (2.4.14) — угловая ширина пакета. Аналогично, (4.2.13) упрощается до(︃)︃1( − )2 2 ∼ − exp − − 2− 2 , − ≪ 1.∆∆‖(4.2.15)Как нетрудно видеть из (1.1.7), (2.4.14), (4.2.5) в параксиальной области дальнее поле(4.2.12), (4.2.13) и поле вблизи пика (4.2.8) сшиваются.4.3Гауссовский пакет в случае source choiceВ данном разделе мы опишем волновое поведение (1.2.20), (4.2.1) в случае определенияветви * согласно (2.2.1).4.3.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстоянияхРисунок 4.3: Поле Re в ближней зоне при = 200, = 0 для = 0 в случае sourcechoice.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,36 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее