Диссертация (1150883), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Кривая является гладкой и регулярной.Нормаль к определим как⎧− e + e⎪, ̸= 0,⎨sgn() √︀ 22+n() :=)︁(︁⎪⎩sgn − e , = 0.223.3.3(3.3.5)Функция источникаВ окрестности введем систему координат r(,) = r() + n(), где — расстояние откривой , растущее в направлении n, и положимr0 = r* (r(,))|=+0 .(3.3.6)Тогда∫︁ (︂[︂(,) =g*]︂)︂ − [g* ] (∇ · n) 11− ( − )() − ( + )(),22(3.3.7)48где = (,) — основная функция, — элемент длины ,[︂[g* ] = −20 (r0 ),]︂g*= 2 1 (r0 )(r* · n) r0(3.3.8)иr* () = r() − e .(3.3.9)В результате справедлива следующаяТеорема 3.3.2. Пусть разрез для функции g* выбран вдоль гладкой несамопересекающейсякривой (2.3.3), для которой выполнены условия (2.3.4), (2.3.11) и, в случае (2.3.8), условие(2.3.13). Тогда функция источника в (3.0.2) сосредоточена на гладкой регулярной кривой ⊂ R2 , имеющей вид (3.3.3)–(3.3.4), и равна(︂1 (r0 ) = 2 (r* · n) − 0 (r0 )r02)︂1+ ( − )() + ( + )() ,2где(︂∫︁( ,(r)) =,3.4 ,(r))︂∫︁=−(3.3.10).Асимптотическое поведение g* в случае beam choiceОпишем волновое поведение функции g* для антенны (3.2.3) (и, соответственно, при фиксации ветви функции g* согласно (3.2.1)).
Функция g* представляет особенный интерес привыполнении условия (1.1.8). Воспользуемся асимптотикой [24](1)0 ()√︂=(︂(︂ )︂)︂21exp( − /4) 1 + при − < arg < 2, || ≫ 1,из которой следует, чтоexp(r* + /4)√g* = −2 2r*Ветвь корня в (3.4.1) определяется условием3.4.1√(︂(︂1+1r*)︂)︂.(3.4.1)r* > 0 при r* > 0.Параксиальная асимптотика в ближней зонеВ параксиальной области,|| ≪ | − |, 4 ≪ | − |3 ,(3.4.2)49как легко видеть, при > 0)︂(︂exp(/4) exp()2g* ∼ − √exp Ψ − 2 ,√∆⊥2 2 − (3.4.3)гдеΨ = + 2, ∆2⊥(3.4.4)а ∆⊥ определено в (1.1.7).
Функция g* соответствует фундаментальной осесимметрическоймоде двумерного гауссовского пучка (см., например, [14]).3.4.2Асимптотика в дальней зонеВ дальней зоне, характеризуемой условиями√2 + 2 ≫ , ≫ 2 ,(3.4.5)r* ∼ ± ( − cos ) , ≷ 0,(3.4.6)=справедливогде =√2 + 2 , а угол , 0 6 6 , определяется соотношениемcos = /.(3.4.7)Функция g* описывает расходящуюся волну при 0 6 < /2,g* ∼ −exp(/4) exp() +√√ (),2 2(3.4.8)exp(/4) exp() −√√ ().2 2(3.4.9)и сходящуюся при /2 < 6 ,g* ∼ −Здесь ± () — диаграмма направленности, определенная в (2.4.11).
При = /2 дальнееполе имеет скачок.3.5Асимптотическое поведение g* в случае source choiceОпишем волновое поведение функции g* для антенны (3.1.2) (и, соответственно, при фиксации ветви функции g* согласно (3.1.1)).503.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зонеПри > 0 параксиальное поле описывается выражением (3.4.3)–(3.4.4). При < 0)︂(︂2exp(−/4) exp(−)√exp −Ψ + 2 ,g* ∼ −√∆⊥2 2 − < 0,(3.5.1)где фаза Ψ определена в (3.4.4). Таким образом, при > 0 функция g* описывает двумерныйгауссов пучок, а при < 0 не являющуюся пучком волну, растущую при отдалении от оси ,оставаясь малой при выполнении условия (1.1.8).3.5.2Асимптотика в дальней зонеВ дальней зоне волновое поведение g* описывается выражением (3.4.8) при всех 0 6 6 .Таким образом, источник действует как антенна, излучающая почти исключительно гауссовпучок в направлении положительных 3.6Асимптотическое поведение g* в случае произвольнойантенныОписание волнового поля двумерного гармонического “комплексного источника” в случаепроизвольной антенны во многом аналогично трехмерному гармоническому случаю, рассмотренному в Главе 2.В случае четного числа пересечений () с Π, антенна некомпактна.
В параксиальной области (3.4.2) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеет вид (3.4.3).Будем мысленно двигаться против оси , начиная с достаточно больших . При первом пересечении антенны функция * меняет знак, и асимптотика * принимает вид (3.5.1). Приследующем пересечении функция * снова меняет знак, и асимптотика * снова принимаетвид (3.4.3) и т.д. Асимптотика дальнего поля имеет вид (3.4.8) при 0 6 6 0 и (3.4.9) при0 6 6 .В случае нечетного числа пересечений () с Π, антенна компактна. В параксиальнойобласти (3.4.2) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеет вид (3.4.3) при > 0 и (3.5.1) при < 0. При пересечении асимптотика * имеет скачок. Асимптотикадальнего поля описывается выражением (3.4.8) при всех 0 6 6 .51Глава 4Нестационарный “комплексныйисточник” в трехмерном случаеВ этой главе мы рассматриваем нестационарную версию “комплексного источника” —комплексифицированную нестационарную сферическую волну = (C )/* с фазой C =* − , определенные в (1.2.19), (1.2.20).
Эта функция удовлетворяет неоднородному волновому уравнению = (1.2.21), где нестационарное распределение токов сосредоточенона некоторой антенне , вид которой как и в Главе 2 определяется выбором ветви комплексного корня, входящего в * . Как нетрудно убедиться, при любом выборе ветви корня *комплексифицированная фаза C принимает значения в полосе−∞ < Re C < +∞,− 6 Im C 6 .(4.0.1)В дальнейшем мы будем предполагать, что область аналитичности формы волны (C ) содержит эту полосу.4.1Функция источникаВычисление функции источника для уравнения (1.2.21) повторяет с очевидными оговорками процедуру, описанную в Разделе 2.3 для решения с гармонической временной зависимостью, (C ) = exp(C ). В результате может быть сформулирована следующаяТеорема 4.1.1.
Пусть разрез комплексного корня, входящего в функцию * выбран вдольгладкой несамопересекающейся кривой (2.3.3), для которой выполнены условия (2.3.4),(2.3.11), (2.3.13). Пусть область аналитичности функции (C ) содержит область (4.0.1).52Тогда функция источника в (1.1.10) сосредоточена на гладкой регулярной поверхности ⊂ R3 , имеющей вид (2.3.9)–(2.3.10), и равна ′ (0+ ) − ′ (−0− ) (0+ ) + (−0− ) −(r* · n) +002}︂{︂(︀ +)︀ (r* · n) (0+ ) + (−0− )−+,(r* · n)∖1 + (0 ) + (−0 )03031 = −2̃︀ −(4.1.1)0± = 0 ∓ — предельные значения комплексифицированной фазы C на , параметр ̃︀определен в (2.3.56), функция 0 определена в (2.3.20), а (r* · n) — скалярное произведениевектор-функции{︁ r*}︁(см. (2.3.38)) и вектора нормали (см. (2.3.18)). Обобщенные функции , , , (r* ·n)определены в (2.3.59)–(2.3.61).304.21Гауссовский пакет в случае beam choiceРассмотрим специальную форму волны[︁(︁√︀ )︁]︁̃︀C (C ) = exp 2 1 − , = 1 −,(4.2.1)где ̃︀C — фаза, отличающаяся от C комплексным сдвигом̃︀C = C + = * − + ,(4.2.2)√а > 0 — свободный параметр, играющий роль волнового числа.
Ветвь корня фик√сирована условием Re > 0. Как видно из (4.0.1) и (4.2.2), при любой фиксации ветви√комплексного корня * выполнено неравенство Re > 0, и следовательно, не имеетточек ветвления в R3 .Функция (1.2.20) с формой волны (4.2.1) описывает гауссовский пакет, сильно локализованный при условии (1.1.8).
Как и для гармонических полей в Главе 2, волновые поля дляслучаев неограниченной антенны (2.1.2) и ограниченной антенны (2.2.2) различны. В первом случае выражение (1.2.20), (4.2.1) описывают гауссовский пакет, распространяющийсявдоль оси от −∞ к +∞, во втором — излучение гауссовского пакета в направлении положительных . Рассмотрим волновое поле (1.2.20), (4.2.1) в случае, когда выполнено условие(1.1.8).В данном разделе мы опишем волновое поведение (1.2.20), (4.2.1) в случае определенияветви * согласно (2.1.1). Тогда, как следует из (1.1.13), фаза (4.2.2) обращается в нуль вбегущей точке { = 0, = } на оси (и только в ней). Таким образом, как видно из (4.2.1),поле (1.2.20) имеет в этой точке пик.534.2.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстоянияхРисунок 4.1: Поле Re в ближней зоне для = 200 и = 0 при = /2.На умеренных расстояниях,= (1),(4.2.3)область вблизи пика характеризуется условиями= (1),∆⊥= (1).
→ ∞,∆‖(4.2.4)Здесь ∆⊥ , определенная в (1.1.7), характеризует поперечную ширину пакета, а√︂∆‖ = 2(4.2.5)— продольную ширину пакета. Характеристические переменные = −, = + введеныв (1.2.5).В области (4.2.3)–(4.2.4)√︀̃︀C̃︀2∼1−+ C2 .28(4.2.6)и справедливо разложение̃︀C ∼ +222=++,2( − )2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(4.2.7)откуда(︃)︃122∼exp Ψ − 2 − 2 , − ∆⊥ ∆‖(4.2.8)54гдеΨ = + 22 ∆2⊥(4.2.9)— вещественная фаза. Поле, отвечающее вещественной части (4.2.8), изображено на Рисунке 4.1.4.2.2Асимптотика в дальней зонеРисунок 4.2: Поле Re в дальней зоне для = 200 и = 0 при = 10/.В дальней зоне, при ≫ , справедливо разложениегде =̃︀C ∼ + (1 − cos ) = + 2 sin2 , > 0,2(4.2.10)̃︀C ∼ − + (1 + cos ) = − + 2 cos2 , < 0,2(4.2.11)√︀2 + 2 , а угол , 0 6 6 , определяется соотношением (1.2.15).
Характеристи-ческие переменные = − , = + введены в (1.2.14).Для > 0, что соответствует значениям 0 6 < /2, вблизи фронта, где || ≪ ,(︃)︃11 2 ∼ exp − 2(Λ+ − 1) − 3 2 ,Λ+Λ+ ∆‖причем Λ+ :=(4.2.12)√︀1 + 2 sin2 (/2). Для < 0, что соответствует значениям /2 < 6 , вблизифронта, где || ≪ ,(︃)︃11 2 ∼ − exp −− 2(Λ− − 1) − 3 2 ,Λ−Λ− ∆‖(4.2.13)55где Λ− :=√︀1 + 2 cos2 (/2).В формулах (4.2.12) и (4.2.13) не предполагается большим. Поле, отвечающее вещественной части (4.2.12), изображено на Рисунке 4.2.4.2.3Асимптотика вблизи пика на больших расстоянияхПри ≫ 1 выражение (4.2.12) упрощается при малых и до)︃(︃122, ≪ 1, ∼ exp − 2−∆ ∆2‖(4.2.14)где ∆ (2.4.14) — угловая ширина пакета. Аналогично, (4.2.13) упрощается до(︃)︃1( − )2 2 ∼ − exp − − 2− 2 , − ≪ 1.∆∆‖(4.2.15)Как нетрудно видеть из (1.1.7), (2.4.14), (4.2.5) в параксиальной области дальнее поле(4.2.12), (4.2.13) и поле вблизи пика (4.2.8) сшиваются.4.3Гауссовский пакет в случае source choiceВ данном разделе мы опишем волновое поведение (1.2.20), (4.2.1) в случае определенияветви * согласно (2.2.1).4.3.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстоянияхРисунок 4.3: Поле Re в ближней зоне при = 200, = 0 для = 0 в случае sourcechoice.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
