Диссертация (1150883), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При каждом пересечении параболой разреза знак в правой части (2.3.24) меняется на противоположный. Такимобразом, если число точек , удовлетворяющих условию ( ) > (1 ) четно, то на левомберегу разреза мы получим * ( ) = −(( ) − ), откуда = −1.
Если же число таких точекнечетно, то = 1.2.3.4Простейшие разрезы и соответствующие им антенныПроиллюстрируем построения Разделов 2.3.2 и 2.3.3 на двух простых примерах.Начнем со случая beam choice, рассмотренного в Разделе 2.1. Выберем разрез в виде() = , () = 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.25)см. Рисунок 2.6. Поскольку разрез не пересекает Π, то множество (2.3.6) имеет вид =[0, + ∞). Из (2.3.10) получаются уравнения() =√ + 2 , () = 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.26)29w∂ΠΠ−a20Рисунок 2.6: Разрез (2.3.25).параметрически задающие соответствующую разрезу (2.3.25) антенну . Легко видеть, чтоона совпадает с (2.1.2).
Из (2.3.18), (2.3.26) получается, чтоn = e .(2.3.27)Далее, поскольку разрез (2.3.25) не пересекает Π, то выполнено (2.3.21), откуда следует,что = −1.(2.3.28)Тогда, как видно из (2.3.23), ветвь корня * определена в соответствии с (2.1.1).w∂ΠΠ−a20Рисунок 2.7: Разрез (2.3.29).Перейдем к случаю source choice, рассмотренному в Разделе 2.2. Выберем разрез в виде() = −, () = 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.29)30см. Рисунок 2.7.
Разрез имеет единственное пересечение с Π в точке { = −2 , = 0}, поэтому (2.3.6) имеет вид = [0,2 ]. Из (2.3.10) получается, что антенна задается уравнениями() =√2 − , () = 0, ∈ [0,2 ],(2.3.30)что cоответствует (2.2.2). Нормаль в этом случае принимает видn = −e .(2.3.31)Разрез (2.3.29) пересекает Π один раз, и из (2.3.22) следует * = 2 . Мы, таким образом,должны положить = 1,(2.3.32)что, как видно из (2.3.23) и означает, что ветвь корня * определена согласно условию (2.2.1).2.3.5Скачки поля на антеннеz2εΩ∗ε,ββa0ρРисунок 2.8: Сечение области Ω, для антенны, соответствующей Рисунку 2.4.Как прежде, представим в виде предела∫︁ ∫︁ ∫︁(︀)︀* ∆ + 2 ,(, ) = lim lim→0 →0(2.3.33)Ω,где область интегрирования Ω, получается вращением вокруг оси двумерной области Ω*, ,изображенной на Рисунке 2.8.
Применяя к интегралу в (2.3.33) теорему Грина и переходя кпределу при → 0, получим{︃∫︁ ∫︁(︃[︂(,) = lim→0∖)︃]︂̃︀*̃︀ − [* ]Σ + )︂ }︃∫︁ ∫︁ (︂* − * .(2.3.34)31Здесь первый интеграл берется по поверхности с исключенной окрестностью края, = ∩ {r : ( − )2 + 2 6 2 }.(2.3.35)Далее, и Σ = |r ×r | — элементы площади тора и поверхности , соответственно,*— производная * по внешней нормали к тору , а̃︀(,,)= (r(,,)).(2.3.36)Скачки на антенне задаются выражениямиcos(0 )[* ] := * |=+0 − * |=−0 = −2,0)︂[︂]︂(︂*sin(0 ) cos(0 )(r* · n),=2 + 0203где 0 — предельное значение * , определенное в (2.3.20),(2.3.18) к поверхности и*— производная * по нормалиr* (,) := r(,) − e = (,)e + (,)e + (() − )e .2.3.6(2.3.37)(2.3.38)Регуляризация интегралов в (2.3.34)Подставив (2.3.37) в (2.3.34), получим под знаком предела выражение(︂∫︁ ∫︁I=* − *(︂∫︁ ∫︁+2∖)︂∫︁ ∫︁ + 2∖sin(0 ) cos(0 )+0203cos(0 ) ̃︀ (,0,)Σ+0)︂̃︀(r* · n)(,0,)Σ.Последний интеграл в этом выражении при → 0 расходится и нуждается в регуляризациина первой компоненте связности 1 поверхности .
В итоге получаем выражениеI = I + I ,(2.3.39)где∫︁ ∫︁I := 2∖∫︁ ∫︁+2∖1cos(0 ) ̃︀ Σ + 20cos(0 )(r* · n)̃︀ Σ + 203(︂∫︁ ∫︁I :=* − *∫︁ ∫︁1 ∖)︂∫︁ ∫︁∖sin(0 )(r* · n)̃︀ Σ+02̃︀̃︀cos(0 )(,0,)− (0,0,)(r* · n)Σ,03∫︁ ∫︁ + 21 ∖̃︀(0,0,)(r* · n)Σ.03(2.3.40)32Перейдем к исследованию интегралов, входящих в I .2.3.7Интеграл по торуРассмотрим(︂∫︁ ∫︁I :=* − *)︂.(2.3.41)Введем на торе координаты (,), − = cos , = − sin , = ,(2.3.42) ∈ (0 ,0 + 2), ∈ [0,2).
Здесь 0 ∈ (−2,0] — значение , задающее в системе координат(,) окружность ∩ , по которой пересекаются и . В системе координат (,) наповерхности , эта окружность соответствует некоторому = , зависящему от , причем → 0 при → 0. Из (2.3.20), (2.3.42) следует, что* |=0 = 0 ( ).(2.3.43)Из (2.3.23), (2.3.42) видно, что* =√︀√12 + 2 = 2 2 2 + (),(2.3.44)откуда легко получаются оценки1− 2* = √ − 2 + (1),231**− 2== − √ − 2 + ( − 2 ).2 2(2.3.45)Подставляя (2.3.45) в (2.3.41), получимI = −2−1/2∫︁2+001− 2√ ( + cos , − sin ) + ( 2 ) =2 2√011= 2 2(,0)− 2 − 2 + ( 2 ),где определено в (2.1.13). Используя (2.3.36), (2.3.43), (2.3.44), мы можем переписать этовыражение в виде114(,0)̃︀+ ( 2 ) = 4 (0,0)+ ( 2 ),I = √ 20 120 ( ) 2 (2.3.46)где1̃︀(,):=2∫︁2̃︀(,,).0(2.3.47)332.3.8Интеграл по антенне без окрестности краяРассмотрим теперь второй интеграл в правой части (2.3.40),∫︁ ∫︁I1 ∖ := 21 ∖̃︀(0,0,)(r* · n)Σ.30(2.3.48)Из (2.3.9), (2.3.18) и (2.3.38) видно, что(r* · n) =( − ) − √︀,2 + 2Σ = |r × r | = √︀2 + 2 .Поверхности 1 ∖ соответствуют значения параметра ∈ [ ,* ], где = отвечает линиипересечения поверхности с тором , а * определено в (2.3.21)–(2.3.22).
Интеграл (2.3.48)принимает вид∫︁I1 ∖*̃︀= 4 (0,0)( − ) − 2 ,03(2.3.49)̃︀определена в (2.3.47).где функция (,)Заметим, что̃︀I1 ∖ = 4 (0,0)((* ) − ( )) ,(2.3.50)⃒* ⃒⃒() − () := −=−. ⃒=−00 ()(2.3.51)гдеВ точке = (поскольку (0) = 0) из (2.3.51) следует( ) =(1 + ( )) .0 ( )(2.3.52)В точке = * возможны две ситуации. В случае (2.3.22), когда пересекает ось ,√︀0 (* ) = ((1 ) − )2 = ((1 ) − ), где определено в Разделе 2.3.3 Тогда(1 ) = −.(2.3.53)В случае (2.3.21), когда не пересекает ось , записывая (2.3.51) в виде1() − = − √︀,() = − √︀2 () + (() − )21 + 2 ()/(() − )2и устремляя к бесконечности, получим(+∞) = − √︀,1 + 20(2.3.54)34где 0 определено в (2.3.11). В частности, для подробно рассмотренного в Разделе 2.1 случаяплоскости с отверстием, 0 = ∞ и (+∞) = 0.Таким образом, (2.3.50) принимает вид1/2̃︀̃︀ (0,0)+ ( ),I1 ∖ = −4 (0,0)( ) + 4̃︀(2.3.55)где̃︀ =⎧⎪⎨если > 1,⎪⎩ √︀1 + 20если = 0,(2.3.56)а — число пересечений антенны с осью (см.
(2.3.7)–(2.3.8)).Подставляя в (2.3.40) выражения (2.3.46) и (2.3.55), полученные нами для первого и второго слагаемых (2.3.40), мы немедленно замечаем, что первое слагаемое в правой части (2.3.55)сокращается с (2.3.46), и выражение для I принимает вид1/2̃︀I = −4̃︀ (0,0)+ ( ).(2.3.57)Переходя в (2.3.34) к пределу при → 0, получим∫︁ ∫︁cos(0 ) ̃︀̃︀(,) = −4̃︀ (0,0) Σ++20∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁sin(0 )cos(0 )+2(r* · n)̃︀ Σ + 2(r* · n)̃︀ Σ+2003∖1∫︁ ∫︁̃︀̃︀cos(0 )(,0,)− (0,0,)(r* · n)Σ.+20312.3.9(2.3.58)Явный вид токовВведем обобщенные функции (r) и((r) ), известные как простой и двойной слоина поверхности с плотностями и , соответственно, (см., например, [6]):(︂∫︁ ∫︁( (r) ,(r)) :=)︂∫︁ ∫︁((r) ) ,(r) := − Σ.
Σ,(2.3.59)Пусть — дельта-функция, сосредоточенная на окружности ,∫︁( ,(r)) :=2( cos , sin ,0),(2.3.60)0а обобщенная функция(︃{︂(r* · n)03{︁}︁(r* ·n)031определена формулой)︃}︂,(r)1∫︁ ∫︁:=1(r(,0,)) − (r(0,0,))(r* · n)Σ.03(2.3.61)35В результате доказана следующаяТеорема 2.3.2.
Пусть разрез комплексного корня, входящего в функцию * выбран вдольгладкой несамопересекающейся кривой (2.3.3), для которой выполнены условия (2.3.4),(2.3.11) и, в случае (2.3.8), условие (2.3.13). Тогда функция источника в (1.1.10) сосредоточена на гладкой регулярной поверхности ⊂ R3 , имеющей вид (2.3.9)–(2.3.10), и равнаcos(0 ) sin(0 ) + 2(r* · n) +002}︂{︂cos(0 )(r* · n)+2,(r* · n)∖1 + 2cos(0 )03031 = −2̃︀ − 2(2.3.62)где параметр ̃︀ определен в (2.3.56), функция 0 определена в (2.3.20), а (r* · n) — скалярноепроизведение вектор-функции{︁ r*}︁(см. (2.3.38)) и вектора нормали (см. (2.3.18)).
Обобщенные функции , определены в (2.3.59)–(2.3.61). , , (r* ·n)310Замечание 2.3.1. Выражение (2.3.62) не зависит от выбора направления нормали к ,поскольку при замене n на −n изменяется знак 0 .2.3.10Примеры. Токи на простейших антеннахЗапишем распределения токов для антенн, рассмотренных в Разделе 2.3.4.Случай beam choice соответствует выбору разреза (2.3.25). Из (2.3.20), (2.3.27) получим0 = * |=−0 = * |=−0 = −0 ,где 0 =(2.3.63)√︀2 − 2 > 0 определено в (2.1.3).Как видно из (2.3.11), (2.3.26), (2.3.28), (2.3.56), в этом случае ̃︀ = 0.
Из (2.3.26), (2.3.27),(2.3.38) следует, что (r* · n) = −. Тогда выражение (2.3.62) принимает видsin(0 )cos(0 ) + 2 =2 + 2cos(0 )002{︂103}︂,(2.3.64)где = ( − )(), = ( − ) ′ (),(︂{︂∞103}︂)︂ ∫︁,(r) =(,0) − (,0) .03(2.3.65)(2.3.66)Здесь⎧⎨0, если 6 0,() =⎩1, если > 0,(2.3.67)36— функция Хевисайда, а функция (,) определена в (2.1.12)–(2.1.13). Несложно видеть,что выражение (2.3.64) совпадает с (2.1.22)–(2.1.24), полученным независимым образом вРазделе 2.1.Случай source choice соответствует выбору разреза (2.3.29). Из (2.3.20), (2.3.31) получим0 = * |=−0 = * |=+0 = −1 ,где функция 1 =√︀(2.3.68)2 − 2 > 0 определена в (2.2.3).Как видно из (2.3.32), (2.3.56), в этом случае ̃︀ = = 1.
Из (2.3.30), (2.3.31), (2.3.38)следует, что (r* · n) = . Теперь выражение (2.3.62) принимает видch(1 ) sh(1 ) = −2 + 2 − 2 + 2ch(1 )1 12{︂113}︂,(2.3.69)где = ( − ) ′ (). = ( − )(),(︂{︂103}︂)︂ ∫︁,(r) =0(,0) − (,0) ,03(2.3.70)(2.3.71)а = (−)(), см. (2.3.60). Полученное выражение совпадает с выражением (2.2.6)–(2.2.8)из Раздела 2.2.2.4Асимптотическое поведение * в случае beam choiceОпишем асимптотическое поведение функции * при фиксации ветви функции * согласно (2.1.1). Напомним, что в этом случае антенна имеет вид (2.1.2).2.4.1Параксиальная асимптотика в ближней зонеПараксиальная область характеризуется условиями [14, 51] ≪ | − |, 4 ≪ | − |3 .(2.4.1)Как очевидно из (2.1.1), разложение корня * в параксиальной области до квадратичных по/| − | членов дает* ∼ − +22+,2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(2.4.2)откуда(︂)︂exp()2* ∼exp Ψ − 2 , − ∆⊥(2.4.3)Ψ = + 2 /∆2⊥(2.4.4)где37— вещественная фаза, а функция ∆⊥ , определенная в (1.1.7) характеризует поперечную ширину пучка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
