Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1150883), страница 6

Файл №1150883 Диссертация (Точные решения в теории локализованных волн) 6 страницаДиссертация (1150883) страница 62019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

При каждом пересечении параболой разреза знак в правой части (2.3.24) меняется на противоположный. Такимобразом, если число точек , удовлетворяющих условию ( ) > (1 ) четно, то на левомберегу разреза мы получим * ( ) = −(( ) − ), откуда = −1.

Если же число таких точекнечетно, то = 1.2.3.4Простейшие разрезы и соответствующие им антенныПроиллюстрируем построения Разделов 2.3.2 и 2.3.3 на двух простых примерах.Начнем со случая beam choice, рассмотренного в Разделе 2.1. Выберем разрез в виде() = , () = 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.25)см. Рисунок 2.6. Поскольку разрез не пересекает Π, то множество (2.3.6) имеет вид =[0, + ∞). Из (2.3.10) получаются уравнения() =√ + 2 , () = 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.26)29w∂ΠΠ−a20Рисунок 2.6: Разрез (2.3.25).параметрически задающие соответствующую разрезу (2.3.25) антенну . Легко видеть, чтоона совпадает с (2.1.2).

Из (2.3.18), (2.3.26) получается, чтоn = e .(2.3.27)Далее, поскольку разрез (2.3.25) не пересекает Π, то выполнено (2.3.21), откуда следует,что = −1.(2.3.28)Тогда, как видно из (2.3.23), ветвь корня * определена в соответствии с (2.1.1).w∂ΠΠ−a20Рисунок 2.7: Разрез (2.3.29).Перейдем к случаю source choice, рассмотренному в Разделе 2.2. Выберем разрез в виде() = −, () = 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.29)30см. Рисунок 2.7.

Разрез имеет единственное пересечение с Π в точке { = −2 , = 0}, поэтому (2.3.6) имеет вид = [0,2 ]. Из (2.3.10) получается, что антенна задается уравнениями() =√2 − , () = 0, ∈ [0,2 ],(2.3.30)что cоответствует (2.2.2). Нормаль в этом случае принимает видn = −e .(2.3.31)Разрез (2.3.29) пересекает Π один раз, и из (2.3.22) следует * = 2 . Мы, таким образом,должны положить = 1,(2.3.32)что, как видно из (2.3.23) и означает, что ветвь корня * определена согласно условию (2.2.1).2.3.5Скачки поля на антеннеz2εΩ∗ε,ββa0ρРисунок 2.8: Сечение области Ω, для антенны, соответствующей Рисунку 2.4.Как прежде, представим в виде предела∫︁ ∫︁ ∫︁(︀)︀* ∆ + 2 ,(, ) = lim lim→0 →0(2.3.33)Ω,где область интегрирования Ω, получается вращением вокруг оси двумерной области Ω*, ,изображенной на Рисунке 2.8.

Применяя к интегралу в (2.3.33) теорему Грина и переходя кпределу при → 0, получим{︃∫︁ ∫︁(︃[︂(,) = lim→0∖)︃]︂̃︀*̃︀ − [* ]Σ + )︂ }︃∫︁ ∫︁ (︂* − * .(2.3.34)31Здесь первый интеграл берется по поверхности с исключенной окрестностью края, = ∩ {r : ( − )2 + 2 6 2 }.(2.3.35)Далее, и Σ = |r ×r | — элементы площади тора и поверхности , соответственно,*— производная * по внешней нормали к тору , а̃︀(,,)= (r(,,)).(2.3.36)Скачки на антенне задаются выражениямиcos(0 )[* ] := * |=+0 − * |=−0 = −2,0)︂[︂]︂(︂*sin(0 ) cos(0 )(r* · n),=2 + 0203где 0 — предельное значение * , определенное в (2.3.20),(2.3.18) к поверхности и*— производная * по нормалиr* (,) := r(,) − e = (,)e + (,)e + (() − )e .2.3.6(2.3.37)(2.3.38)Регуляризация интегралов в (2.3.34)Подставив (2.3.37) в (2.3.34), получим под знаком предела выражение(︂∫︁ ∫︁I=* − *(︂∫︁ ∫︁+2∖)︂∫︁ ∫︁ + 2∖sin(0 ) cos(0 )+0203cos(0 ) ̃︀ (,0,)Σ+0)︂̃︀(r* · n)(,0,)Σ.Последний интеграл в этом выражении при → 0 расходится и нуждается в регуляризациина первой компоненте связности 1 поверхности .

В итоге получаем выражениеI = I + I ,(2.3.39)где∫︁ ∫︁I := 2∖∫︁ ∫︁+2∖1cos(0 ) ̃︀ Σ + 20cos(0 )(r* · n)̃︀ Σ + 203(︂∫︁ ∫︁I :=* − *∫︁ ∫︁1 ∖)︂∫︁ ∫︁∖sin(0 )(r* · n)̃︀ Σ+02̃︀̃︀cos(0 )(,0,)− (0,0,)(r* · n)Σ,03∫︁ ∫︁ + 21 ∖̃︀(0,0,)(r* · n)Σ.03(2.3.40)32Перейдем к исследованию интегралов, входящих в I .2.3.7Интеграл по торуРассмотрим(︂∫︁ ∫︁I :=* − *)︂.(2.3.41)Введем на торе координаты (,), − = cos , = − sin , = ,(2.3.42) ∈ (0 ,0 + 2), ∈ [0,2).

Здесь 0 ∈ (−2,0] — значение , задающее в системе координат(,) окружность ∩ , по которой пересекаются и . В системе координат (,) наповерхности , эта окружность соответствует некоторому = , зависящему от , причем → 0 при → 0. Из (2.3.20), (2.3.42) следует, что* |=0 = 0 ( ).(2.3.43)Из (2.3.23), (2.3.42) видно, что* =√︀√12 + 2 = 2 2 2 + (),(2.3.44)откуда легко получаются оценки1− 2* = √ − 2 + (1),231**− 2== − √ − 2 + ( − 2 ).2 2(2.3.45)Подставляя (2.3.45) в (2.3.41), получимI = −2−1/2∫︁2+001− 2√ ( + cos , − sin ) + ( 2 ) =2 2√011= 2 2(,0)− 2 − 2 + ( 2 ),где определено в (2.1.13). Используя (2.3.36), (2.3.43), (2.3.44), мы можем переписать этовыражение в виде114(,0)̃︀+ ( 2 ) = 4 (0,0)+ ( 2 ),I = √ 20 120 ( ) 2 (2.3.46)где1̃︀(,):=2∫︁2̃︀(,,).0(2.3.47)332.3.8Интеграл по антенне без окрестности краяРассмотрим теперь второй интеграл в правой части (2.3.40),∫︁ ∫︁I1 ∖ := 21 ∖̃︀(0,0,)(r* · n)Σ.30(2.3.48)Из (2.3.9), (2.3.18) и (2.3.38) видно, что(r* · n) =( − ) − √︀,2 + 2Σ = |r × r | = √︀2 + 2 .Поверхности 1 ∖ соответствуют значения параметра ∈ [ ,* ], где = отвечает линиипересечения поверхности с тором , а * определено в (2.3.21)–(2.3.22).

Интеграл (2.3.48)принимает вид∫︁I1 ∖*̃︀= 4 (0,0)( − ) − 2 ,03(2.3.49)̃︀определена в (2.3.47).где функция (,)Заметим, что̃︀I1 ∖ = 4 (0,0)((* ) − ( )) ,(2.3.50)⃒* ⃒⃒() − () := −=−. ⃒=−00 ()(2.3.51)гдеВ точке = (поскольку (0) = 0) из (2.3.51) следует( ) =(1 + ( )) .0 ( )(2.3.52)В точке = * возможны две ситуации. В случае (2.3.22), когда пересекает ось ,√︀0 (* ) = ((1 ) − )2 = ((1 ) − ), где определено в Разделе 2.3.3 Тогда(1 ) = −.(2.3.53)В случае (2.3.21), когда не пересекает ось , записывая (2.3.51) в виде1() − = − √︀,() = − √︀2 () + (() − )21 + 2 ()/(() − )2и устремляя к бесконечности, получим(+∞) = − √︀,1 + 20(2.3.54)34где 0 определено в (2.3.11). В частности, для подробно рассмотренного в Разделе 2.1 случаяплоскости с отверстием, 0 = ∞ и (+∞) = 0.Таким образом, (2.3.50) принимает вид1/2̃︀̃︀ (0,0)+ ( ),I1 ∖ = −4 (0,0)( ) + 4̃︀(2.3.55)где̃︀ =⎧⎪⎨если > 1,⎪⎩ √︀1 + 20если = 0,(2.3.56)а — число пересечений антенны с осью (см.

(2.3.7)–(2.3.8)).Подставляя в (2.3.40) выражения (2.3.46) и (2.3.55), полученные нами для первого и второго слагаемых (2.3.40), мы немедленно замечаем, что первое слагаемое в правой части (2.3.55)сокращается с (2.3.46), и выражение для I принимает вид1/2̃︀I = −4̃︀ (0,0)+ ( ).(2.3.57)Переходя в (2.3.34) к пределу при → 0, получим∫︁ ∫︁cos(0 ) ̃︀̃︀(,) = −4̃︀ (0,0) Σ++20∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁sin(0 )cos(0 )+2(r* · n)̃︀ Σ + 2(r* · n)̃︀ Σ+2003∖1∫︁ ∫︁̃︀̃︀cos(0 )(,0,)− (0,0,)(r* · n)Σ.+20312.3.9(2.3.58)Явный вид токовВведем обобщенные функции (r) и((r) ), известные как простой и двойной слоина поверхности с плотностями и , соответственно, (см., например, [6]):(︂∫︁ ∫︁( (r) ,(r)) :=)︂∫︁ ∫︁((r) ) ,(r) := − Σ.

Σ,(2.3.59)Пусть — дельта-функция, сосредоточенная на окружности ,∫︁( ,(r)) :=2( cos , sin ,0),(2.3.60)0а обобщенная функция(︃{︂(r* · n)03{︁}︁(r* ·n)031определена формулой)︃}︂,(r)1∫︁ ∫︁:=1(r(,0,)) − (r(0,0,))(r* · n)Σ.03(2.3.61)35В результате доказана следующаяТеорема 2.3.2.

Пусть разрез комплексного корня, входящего в функцию * выбран вдольгладкой несамопересекающейся кривой (2.3.3), для которой выполнены условия (2.3.4),(2.3.11) и, в случае (2.3.8), условие (2.3.13). Тогда функция источника в (1.1.10) сосредоточена на гладкой регулярной поверхности ⊂ R3 , имеющей вид (2.3.9)–(2.3.10), и равнаcos(0 ) sin(0 ) + 2(r* · n) +002}︂{︂cos(0 )(r* · n)+2,(r* · n)∖1 + 2cos(0 )03031 = −2̃︀ − 2(2.3.62)где параметр ̃︀ определен в (2.3.56), функция 0 определена в (2.3.20), а (r* · n) — скалярноепроизведение вектор-функции{︁ r*}︁(см. (2.3.38)) и вектора нормали (см. (2.3.18)).

Обобщенные функции , определены в (2.3.59)–(2.3.61). , , (r* ·n)310Замечание 2.3.1. Выражение (2.3.62) не зависит от выбора направления нормали к ,поскольку при замене n на −n изменяется знак 0 .2.3.10Примеры. Токи на простейших антеннахЗапишем распределения токов для антенн, рассмотренных в Разделе 2.3.4.Случай beam choice соответствует выбору разреза (2.3.25). Из (2.3.20), (2.3.27) получим0 = * |=−0 = * |=−0 = −0 ,где 0 =(2.3.63)√︀2 − 2 > 0 определено в (2.1.3).Как видно из (2.3.11), (2.3.26), (2.3.28), (2.3.56), в этом случае ̃︀ = 0.

Из (2.3.26), (2.3.27),(2.3.38) следует, что (r* · n) = −. Тогда выражение (2.3.62) принимает видsin(0 )cos(0 ) + 2 =2 + 2cos(0 )002{︂103}︂,(2.3.64)где = ( − )(), = ( − ) ′ (),(︂{︂∞103}︂)︂ ∫︁,(r) =(,0) − (,0) .03(2.3.65)(2.3.66)Здесь⎧⎨0, если 6 0,() =⎩1, если > 0,(2.3.67)36— функция Хевисайда, а функция (,) определена в (2.1.12)–(2.1.13). Несложно видеть,что выражение (2.3.64) совпадает с (2.1.22)–(2.1.24), полученным независимым образом вРазделе 2.1.Случай source choice соответствует выбору разреза (2.3.29). Из (2.3.20), (2.3.31) получим0 = * |=−0 = * |=+0 = −1 ,где функция 1 =√︀(2.3.68)2 − 2 > 0 определена в (2.2.3).Как видно из (2.3.32), (2.3.56), в этом случае ̃︀ = = 1.

Из (2.3.30), (2.3.31), (2.3.38)следует, что (r* · n) = . Теперь выражение (2.3.62) принимает видch(1 ) sh(1 ) = −2 + 2 − 2 + 2ch(1 )1 12{︂113}︂,(2.3.69)где = ( − ) ′ (). = ( − )(),(︂{︂103}︂)︂ ∫︁,(r) =0(,0) − (,0) ,03(2.3.70)(2.3.71)а = (−)(), см. (2.3.60). Полученное выражение совпадает с выражением (2.2.6)–(2.2.8)из Раздела 2.2.2.4Асимптотическое поведение * в случае beam choiceОпишем асимптотическое поведение функции * при фиксации ветви функции * согласно (2.1.1). Напомним, что в этом случае антенна имеет вид (2.1.2).2.4.1Параксиальная асимптотика в ближней зонеПараксиальная область характеризуется условиями [14, 51] ≪ | − |, 4 ≪ | − |3 .(2.4.1)Как очевидно из (2.1.1), разложение корня * в параксиальной области до квадратичных по/| − | членов дает* ∼ − +22+,2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(2.4.2)откуда(︂)︂exp()2* ∼exp Ψ − 2 , − ∆⊥(2.4.3)Ψ = + 2 /∆2⊥(2.4.4)где37— вещественная фаза, а функция ∆⊥ , определенная в (1.1.7) характеризует поперечную ширину пучка.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,36 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее