Диссертация (1150883), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ЗначокB(1.2.6)призван напоминать о Бейт-мене. В соответствующем выражении=1 (B ) − (1.2.7)форма волны предполагается функцией, аналитической в верхней полуплоскости своегоаргумента, гладкой на вещественной оси. При выполнении этих условий (1.2.7) удовлетворяетоднородному волновому уравнению (1.0.1) во всем пространстве-времени [48].Простейшим примером такого решения является решение Бриттингхама, известное в англоязычной литературе как focus wave mode. Это решение было построено Бриттингхамомпутем сведения к аналогу параболического уравнения (1.1.4) [37]. Как было замечено Ильоном [44], оно является частным случаем относительно неискажающегося решения (1.2.7) с1То, что функция (1.2.1), (1.2.4) удовлетворяет однородному волновому уравнению (1.0.1) во всемпространстве-времени R3 × R следует из недавней работы Благовещенского [3].15формой волны (B ) = exp(B ), = > 0,1exp= − (︂2 − )︂)︃(︃12≡exp Ψ −,̃︀ 2 − ∆⊥(1.2.8)̃︀ 2 — вещественная функция, имеющая смысл фазы волны.
Выражениегде Ψ = + 2 /∆⊥(1.2.8) описывает нестационарный гауссов пучок. Здесь√︂̃︀ ⊥ =∆ 2 + 2(1.2.9)характеризует поперечную ширину пучка.1.2.3Бейтменовский гауссовский пакетДругим важным примером относительно неискажающегося решения с фазой БейтменаИльона является простейший гауссовский пакет, отвечающий форме волны [15, 48][︃(︃√︂B1− (B ) = exp 2 1 −)︃]︃,(1.2.10)где ветвь корня имеет положительную вещественную часть, а постоянная , играющая рольволнового числа, положительна.
Решение локализовано вблизи пика — точки { = 0, = 0}.Условие (1.1.8) обеспечивает сильную локализацию пакета. В [48] обсуждались и другиеформы волны, отвечающие гауссовским пакетам.Асимптотическое поведение решения вблизи пика получается разложением фазы до чле̃︀ ⊥ , /∆̃︀ ‖ , /нов квадратичных относительно расстояния до пика при том условии, что /∆принимают значения порядка (1) при → +∞,(︃)︃122≈exp Ψ −−,̃︀ 2̃︀ 2 − ∆∆⊥‖(1.2.11)2Ψ = +,̃︀ 2∆(1.2.12)√︂̃︀∆‖ = 2(1.2.13)⊥где̃︀ ⊥ — продольная и поперечная ширины пакета, соответственно (подробнее см.
[15, 48]).и ∆̃︀ 2 в экспоненте в правой части формулы (1.2.11) обеспечивает гауссовскую лоЧлен −2 /∆⊥̃︀ 2 — гауссовскуюкализацию вблизи оси (то есть в поперечном направлении), а член −2 /∆‖локализацию в окрестности бегущей точки = (в продольном направлении).16В [48] выписаны асимптотики решения (1.2.7), (1.2.10) на больших расстояниях при условиях ≫ , ≫ || и ≪ −, ≪ −||, где = − , = + и =(1.2.14)√︀2 + 2 . При ≫ 1 асимптотики дальнего поля упрощаются вблизи пика. Для|| ≪ , ≪ 1, где = arctg(1.2.15)— азимутальный угол, асимптотика дальнего поля принимает вид(︃)︃122≈exp −−, ≪ 1,̃︀ 2̃︀ 22∆∆‖(1.2.16)̃︀ = √2∆(1.2.17)где— угловая ширина пакета.
Для || ≪ , − ≪ 1(︃)︃1( − )2 2≈exp − −−, − ≪ 1.̃︀ 2̃︀ 22∆∆‖(1.2.18)При условии (1.1.8), параксиальная формула (1.2.11) сшивается с дальним полем (1.2.16),(1.2.18) вблизи пика. Для гармонического случая это детально прослежено в [8].1.2.4Некоторые другие обобщения решения БейтменаФормула (1.2.7) обобщалась в разных направлениях. Рассматривались высшие моды, соответствующие осесимметрической фазе, т.е. решения с = (,,) (см., например, [14]).Изучались и неосесимметрические обобщения фазы (1.2.4) (см., например, [17,49]).
Отметим,что многие из частных бейтменовских решений были получены также методами интегральных преобразований, обзор которых дан в [36].1.2.5Комплексифицированные сферические волныНегармонические комплексифицированные сферические волны возникают2 путем замены → − в (1.2.3): = C := * − , = 1/*(1.2.19)где * определено в (1.1.13), в решении (1.2.1) с фазой и амплитудой, определенными в(1.2.3).
Значок2Cпризван напоминать о выражении complex source. Полученная таким обра-Эти решения в другой, менее явной, форме возникали в работах Фелсена и Хеймана, например, [42, 43].17зом функция= (C )*(1.2.20)удовлетворяет неоднородному волновому уравнению = ,(1.2.21)где нестационарное распределение токов сосредоточено на некоторой антенне , вид которой как и в гармоническом случае определяется выбором ветви комплексного корня, входящего в * . Изучению этого вопроса посвящен Раздел 4.1.Формула (1.2.20) обобщалась в разных направлениях.
Рассматривались высшие моды,соответствующие осесимметрической фазе, т.е. решения с = (,,) (см., например, [14]).Изучались и неосесимметрические обобщения фазы (1.2.4) (см., например, [17, 49]).Отметим, что в литературе нет вполне ясного понимания того, что решения с фазой B иC — это разные решения. Например, в заголовке важной работы [64], где впервые построенобейтменовское решение с конечной энергией, присутствуют слова “комплексный источник”,хотя фаза C там не фигурирует. Известны также и другие примеры нестационарных локализованных решений, не связанные с фазой Бейтмена-Ильона B или фазой “комплексногоисточника” C (см., например, обзор [14]). Их мы касаться не будем.1.3Нестационарные решения обладающие сингулярностью, локализованной в бегущей точкеСозданная Хёрмандером теория волновых фронтов допускает в применении к волновомууравнению (1.0.1) существование решений, имеющих в каждый момент времени сингулярность в одной пространственной точке r = (,,) ∈ R3 , причем сингулярность бежит соскоростью вдоль (пространственной) прямой.
Пример такого решения приведен в [31] (стр.328) и обсуждался более подробно в [3]. Как функция на R3 , зависящая от как от параметра,это решение бесконечно дифференцируемо за исключением одной точки (зависящей от ), вкоторой пределы по всем направлениям существуют и одинаковы, однако скорость стремления к пределу не равномерна по направлению, и функция в этой точке не непрерывна. Другим примером является функция, непрерывная всюду в R3 и бесконечно дифференцируемаяза исключением одной точки [10, 31].
Исследователи использовали достаточно абстрактныеподходы и не уделяли внимания аналитической структуре этих решений.18Глава 2Гармонический “комплексный источник”в трехмерном случаеВ этой главе мы будем рассматривать комплексифицированную функцию Грина *(1.1.12) для уравнения Гельмгольца (1.1.10)–(1.1.11), введенную в Главе 1. Мы отмечали,что (1.1.12) не является однозначной функцией r = (,,) ∈ R3 , за счет вхождения в неекомплексного корня * . В физическом пространстве R3 точкам ветвления квадратного корня * соответствует окружность = {r : = 0,√︀2 + 2 = }.(2.0.1)При любом выборе ветви корня * функция * имеет скачок на некоторой поверхности ⊂ R3 с краем , вид которой определяется выбором разреза. Поэтому * удовлетворяетуравнению (1.1.10) с правой частью , сосредоточенной на поверхности .
Мы будем называть антенной, а — распределением токов на антенне. Как мы увидим, антенна можетбыть компактна и некомпактна и иметь одну или несколько компонент связности. Мы считаем ее осесимметрической относительно оси , а разрез, соответственно, не зависящим отполярного угла. Изучению антенны для разных случаев фиксации ветви корня и вычислениютоков на ней посвящены Разделы 2.1, 2.2, 2.3.Ветвь корня (1.1.13) мы фиксируем всегда так, чтобы параксиальное поле (1.1.12) (см.,например, [14]) при → +∞ представляло собой уходящую волну, что достигается привыполнении условияRe * → +∞ при → +∞.(2.0.2)При этом характер волнового поведения (1.1.12) существенно зависит от того, компактна лиантенна .
Говоря грубо, если некомпактна, то поле гауссовски локализовано вблизи оси ,приходя с одной бесконечности по и уходя на другую [59]. Такая ситуация получила название beam choice [57]. Если компактна, то антенна излучает в одну сторону гауссов пучок,а излучение в противоположную сторону при условии (1.1.8) очень мало́. Это случай sourcechoice [57]. Термины beam choice и source choice введены в [57] для важных специальных19случаев, когда антенна лежит в плоскости = 0 и является, соответственно, плоскостью скруглым вырезом или бесконечно тонким диском. В Разделе 2.6 мы распространим эти термины на случаи более сложных разрезов. Изучению волнового поведения функции (1.1.12)посвящены Разделы 2.4, 2.5, 2.6.2.1Функция источника в случае beam choiceСначала рассмотрим простой случай, когда ветвь корня (1.1.13) фиксирована условиемIm * > 0.(2.1.1)Не составляет большого труда убедиться, что в этом случае выполняется (2.0.2).
АнтеннаzS0xaРисунок 2.1: Неограниченная антенна , отвечающая фиксации ветви (2.1.1). представляет собой плоскость с исключенным диском, = {r : > , = 0},(2.1.2)см. Рисунок 2.1. На антенне функция * имеет скачок, причем* |>,2.1.1=±0√︀= ± 2 − 2 =: ±0 (),0 () > 0.(2.1.3)Скачки поля на антеннеПри выполнении строгого неравенства > функцию * в окрестности можно считатькусочно-гладкой. Поскольку * удовлетворяет в R3 ∖ однородному уравнению Гельмгольца(△ + 2 )* = 0, (,,) ∈ R3 ∖ ,(2.1.4)применяя к * оператор Гельмгольца, мы получим[︂* = (△ + )* = [* ]=0 () +2′]︂(),=0 > ,(2.1.5)20где[* ]=0 := * |=+0 − * |=−0 = 2[︂*]︂= 2=0cos(0 ),0sin(0 )cos(0 )+ 22003(2.1.6)(2.1.7)— скачки * и ее нормальной производной на поверхности .
Заметим, что второе слагаемоев (2.1.7) имеет при = неинтегрируемую особенность и, таким образом, для рассмотрения(2.1.5) как обобщенной функции требуется регуляризация.2.1.2РегуляризацияБудем рассматривать как обобщенную функцию, действующую на основные (гладкиефинитные) функции = (,,). В силу (1.1.10) справедливо∫︁ ∫︁ ∫︁(︀)︀* △ + 2 .(,) =(2.1.8)R3Запишем интеграл (2.1.8) в виде предела∫︁ ∫︁ ∫︁(︀)︀* △ + 2 ,(, ) = lim lim→0 →0(2.1.9)Ω,где область интегрирования, Ω, получается вращением вокруг оси двумерной областиΩ*, , показанной на Рисунке 2.2.Ω*,0Рисунок 2.2: Сечение области интегрирования в (2.1.9).Вследствие (2.1.4) и финитности функции , применение к (2.1.9) формулы Грина дает∫︁ ∫︁(, ) = lim lim→0 →0(︂)︂ **− ,Ω,(2.1.10)21где := / — производная функции по внешней нормали к Ω, , — элементплощади Ω, .
Переходя к пределу при → 0, получим{︂∫︁+∞(︂[︂(, ) = lim 2→0+*∫︁ ∫︁]︂ − [* ]=0=0)︂(︂ **− ()+ +}︃)︂(2.1.11),где () — тор c радиусом образующей окружности , окружающий . Здесь * := * /— производная * по внутренней нормали к (), а — усреднение функции(,,) := ( cos , sin ,)(2.1.12)по полярному углу, введенному равенствами = cos , = sin , ∈ [0,2),1(,) :=2∫︁2(,, ).(2.1.13)0Подставив (2.1.6), (2.1.7) в (2.1.11), получим под знаком предела выражение∫︁ ∞cos(0 ) sin(0 ) + 4 +I = − 4002++(︂)︂∫︁ ∫︁∫︁ ∞cos(0 ) * +*+ 4− 03 ()+∫︁∞Интеграл∫︁∞+(2.1.14)cos(0 ) 03расходится при = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
