Диссертация (1150883), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выделив стандартным способом сингулярность и группируя в (2.1.14)расходящиеся при → 0 слагаемые, представим (2.1.14) в видеI = I + I ,(2.1.15)где∫︁I = − 4∞cos(0 ) + 40+∫︁ ∞I∫︁∞+sin(0 ) +02 cos(0 ) − (,0)+ 4 ,03+(︂)︂∫︁ ∞∫︁ ∫︁ *= 4(,0)+*− .3+ 0 ()(2.1.16)(2.1.17)22Получим оценку I при → 0. Интеграл в первом слагаемом правой части (2.1.17)равен∫︁∞+⃒+∞1 ⃒⃒ =− ⃒,030 =+где 0 определено в (2.1.3), и мы приходим к следующей оценке первого слагаемого,√2 2 (,0) −1/2 + ( 1/2 ).(2.1.18)Рассмотрим второе слагаемое в правой части (2.1.17).
Введем на торе координаты (,)равенствами − = cos , = − sin , = , ∈ (−,), ∈ [0,2).Элемент поверхности тора примет вид = ( + cos ).Функцию * на торе можно представить в виде * =− 2 − 1* = √ 2 + (1),2(2.1.19)√︀2 + 2 , откуда1**− 2 − 3== − √ 2 + ( − 2 ).2 2(2.1.20)Подставив (2.1.19), (2.1.20) в рассматриваемый последний интеграл в правой части (2.1.17),получим∫︁ ∫︁(︂)︂√11*−* = −2(,0) 2 − 2 + ( 2 ).
()(2.1.21)Таким образом, как видно из (2.1.18) и (2.1.21), правая часть (2.1.17) оценивается какI = ( 1/2 ).2.1.3Функция источникаПереходя в (2.1.11) к пределу при → 0, получим = 1 () ′ () + 2 ()(),причем∫︁̃︀ = 2(1 ,)а∫︁̃︀ = 2(2 ,)∞∞cos(0 ) ̃︀() ,0sin(0 ) ̃︀() + 202∫︁∞̃︀ cos(0 ) − ()() ,03̃︀где ̃︀ = ()— основная функция, зависящая от одной переменной.(2.1.22)(2.1.23)(2.1.24)232.2Функция источника в случае source choiceРассмотрим теперь другой простой случай, когда ветвь корня (1.1.13) фиксирована условиемRe * > 0.(2.2.1)Несложно убедиться, что тогда выполняется (2.0.2), а антенна представляет собой бескоzSa x0Рисунок 2.3: Ограниченная антенна , отвечающая фиксации ветви (2.2.1).нечно тонкий диск = {r : 6 , = 0},(2.2.2)см.
Рисунок 2.3. Предельные значения * на антенне (2.2.2) имеют вид* |6,=±0= ∓1 , 1 =√︀2 − 2 > 0,(2.2.3)откуда[* ]=0 = 2[︂*]︂= −2=0ch(1 ),1sh(1 )ch(1 )+ 2.2113(2.2.4)(2.2.5)Вычисления, аналогичные проведенным в Разделе 2.1, дают для функции источника = 1 () ′ () + 2 (),∫︁ch(1 ) ̃︀(),110∫︁ ̃︀̃︀sh(1 ) ̃︀() ch(1 ) − ()̃︀()+2 − 2(),31201̃︀ = 2(1 ,)∫︁̃︀ = −2(2 ,)0(2.2.6)(2.2.7)(2.2.8)̃︀где ̃︀ = ()— основная функция, зависящая от одной переменной. Мы получим (2.2.6)–(2.2.8) в Разделе 2.3.10 из результатов для общего случая.242.32.3.1Функция источника для произвольной антенныВыбор разрезаРассмотрим комплексную плоскость подкоренного выражения в (1.1.13), + = = 2 + 2 − 2 − 2, > 0.(2.3.1)Поскольку и вещественны, принимает значения во внутренности параболы — замкнутой области, определяемой неравенством{︂Π=}︂1 22 : > 2 − .4(2.3.2)На комплексной плоскости переменной мы проведем разрез вдоль гладкой несамопересекающейся кривой, уходящей на бесконечность.
Пусть она задана параметрически = (), ∈ [0, + ∞),(2.3.3)причем (0) = 0. Здесь — параметр вдоль кривой, который мы примем равным длине дуги.Предположим, что выполнено условие регулярности (см., например, [21])2 () + 2 () > 0, ∈ [0, + ∞),(2.3.4)где () = Re (), () = Im (), = / и = /. Кроме того, мы предполагаем,что все пересечения кривой с границей{︂Π =1 : = 2 2 − 24}︂(2.3.5)замкнутой области Π (2.3.2) трансверсальны, т.е. угол между касательными к () и Π вточке их пересечения отличен от нуля.С точки зрения описания антенны представляет интерес поведение () в области Π,соответствующей вещественным и , т.
е. физическому пространству R3 . Рассмотрим = { : () ∈ Π}(2.3.6)— множество значений параметра , при которых кривая (2.3.3) лежит в Π. Потребуем, чтобыразрез () пересекал параболу Π конечное число раз, допуская = 0. Тогда отрезок⌉︀⌈︀кривой {(), ∈ [0, + ∞)} ∩ Π (и, соответственно, антенна ) имеет = 2+1 компонентсвязности, где ⌈⌉ = min{ ∈ Z : > } — округление до ближайшего целого числа вбольшую сторону.
Пусть { }=1,..., , < +1 , ( ) = 0 (см. (2.3.10)) — значения параметра, соответствующие пересечениям c Π. Тогда множество представляет собой объединение25w∂ΠzS2Π−a2BAS1A00axBw(t)б)а)Рисунок 2.4: Пример разреза () и соответствующей ему антенны . Точкам , ∈ Πотвечают точки ,ℬ ∈ . В точке = (1 ) (и, соответственно, = (1 ) = 0, = (1 )); вточке = (2 ), (и = (2 ) = 0, = (2 )).непересекающихся интервалов. Если нечетно, = 2 + 1, то = [0,1 ] ∪ [2 ,3 ] ∪ ... ∪ [2 ,2 +1 ], 2 +1 < +∞,(2.3.7)и антенна компактна. Если четно, = 2 , то = [0,1 ] ∪ [2 ,3 ] ∪ ... ∪ [2 , + ∞), или = [0, + ∞),(2.3.8)и антенна некомпактна.2.3.2АнтеннаИз (2.3.1) вытекает, что поверхность ⊂ R3 , соответствующая разрезу, задается параметрически в видеr = r(,) = () cos e + () sin e + () e , ∈ , ∈ [0,2),(2.3.9)где e , e , e — орты декартовых координат, и() = −()/2, () =√︀() + 2 − (()/2)2 .(2.3.10)Соответствие между разрезом и антенной поясняет Рисунок 2.4.В случае, когда антенна уходит на бесконечность (т.е.
когда имеет вид (2.3.8)), мы будемтребовать чтобы она была асимптотически конической. Для этого введем дополнительное26условие на разрез. А именно, мы предположим, что существует предел().→+∞ ()0 = lim(2.3.11)Скорость стремления к пределу в (2.3.11) значения не имеет.Теорема 2.3.1. Поверхность ∖ ⊂ R3 является гладкой и регулярной.Доказательство. Вне точек пересечения с осью , т.е. для ∈ таких, что () > 0,параметризация (2.3.9) очевидно является гладкой. Это непосредственно следует из (2.3.9),(2.3.10) и гладкости кривой (2.3.3). Условие регулярности поверхности имеет вид (см.,например, [9, 21])|r × r | ≡√︂(︁ )︁2 (︁ )︁2 2− 2 + > 0,242(2.3.12)где r = r/, r = r/, а × обозначает векторное произведение.
Справедливость (2.3.12)при () > 0 следует из (2.3.4).В точках пересечения с осью параметризация (2.3.9), вообще говоря, перестает бытьгладкой. Таким точкам соответствуют точки пересечения кривой (2.3.3) с границей (2.3.5)области (2.3.2). В окрестности точки пересечения (0 ,0 ) ∈ Π зададим кривую (2.3.3) неявноуравнением Φ(,) = 0, где Φ(,) — гладкая вещественнозначная функция. Условие трансверсальности пересечения кривой (2.3.3) с Π примет вид (см., например, [21])⃒⃒⃒ 0 Φ⃒Φ⃒⃒ > 0.(,)+(,)0000⃒ 22 ⃒(2.3.13)Точке (0 ,0 ) ∈ Π соответствует некоторая точка в R3 с координатами = = 0, = 0 .
Вокрестности этой точки поверхность ⊂ R3 описывается уравнением̃︀Φ(,,)= 0,(2.3.14)̃︀Φ(,,):= Φ((,,),(,,)) = Φ(2 + 2 + 2 − 2 , − 2).(2.3.15)гдеУсловие регулярности поверхности имеет вид (см., например, [9])̃︀ > 0.|∇r Φ|(2.3.16)Из (2.3.15)⃒̃︀ ⃒⃒Φ⃒ ⃒==0,=0(︂)︂⃒Φ(,)Φ(,) ⃒⃒= 20− 2,⃒ 2 2= − ,=−20(2.3.17)0что, как следует из (2.3.13), отлично от нуля. Таким образом, в точке пересечения поверхности с осью выполнено условие (2.3.16).
Теорема доказана.27Соотношение (2.3.12) позволяет определить нормаль к ∖ какn(,) :=2.3.3− cos e − sin e + er × r√︀=.|r × r |2 + 2(2.3.18)Фиксация ветви корняЗафиксируем ветвь корня (1.1.13) так, чтобы при уходе на бесконечность вдоль кривой Πв нижней полуплоскости переменной выполнялось условие Re * → +∞. Это условие, каклегко понять из (2.3.5), равносильно условию (2.0.2), поскольку Π в нижней полуплоскостипеременной соответствует положительной полуоси в R3 .Формулы (2.3.9), (2.3.18) позволяют ввести вблизи поверхности локальные координаты(,,),r(,,) := r(,) + n,(2.3.19)где — расстояние до поверхности, которое может быть обоих знаков.
Обозначим граничноезначение функции * при = −0 через0 () := * (r(,,))|=−0 = −* (r(,,))|=+0 .(2.3.20)Таким образом, 0 () — это предельное значение * на левом берегу разреза () (мы считаемкривую = () ориентированной в направлении роста параметра ).Особую роль в дальнейшем будет играть первая компонента связности 1 , ⊂ 1 , антенны — компонента связности, содержащая границу . Как следует из (2.3.7)–(2.3.8), 1соответствует значениям параметра из промежутка ∈ [0,* ], где * определяется как* = +∞,* = 1 ,если { : = ()} ∩ Π = ∅,если { : = ()} ∩ Π ̸= ∅.(2.3.21)(2.3.22)В случае (2.3.21) 1 не пересекает ось , а в случае (2.3.22) — пересекает ее. В точке *запишем 0 в виде0 (* ) =√︀√︀|(* )| 2 arg(* )+ = |(* )| 2 arg(* ) ,(2.3.23)где значение = 0,1 и, соответственно, значение = ±1 однозначно определяются для каждого разреза сделанным выше выбором ветви (в случае (2.3.21) выражение (2.3.23) следуетпонимать в смысле предела при * → +∞).Поясним правило определения в зависимости от вида разреза.
В случае (2.3.21), поскольку 0 есть предельное значение * на левом берегу разреза, из (2.3.23) сразу следует,что = −1.28∂ΠA +− 0B +C−D+Рисунок 2.5: К определению в случае (2.3.22).В случае (2.3.22) ответ зависит от характера пересечений разреза и параболы Π. Рассмотрим точки пересечения ( ) разреза с параболой, для которых ( ) > (* ) (точки , ,, на Рисунке 2.5, иллюстрирующем наше рассмотрение на частном примере). Очевидно,√что в точках ∈ Π (что соответствует оси ) * = принимает значения* = ±( − ).(2.3.24)Для точек на Π, отвечающих значениям > max ( ) сделанный нами выбор ветви дает=1,...,* = − . Будем двигаться вдоль параболы Π от точки, отвечающей = max ( ),=1,...,(точка на Рисунке 2.5) к точке (* ) (точка на Рисунке 2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
