Диссертация (1150883), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. установили справедливость (5.2.7).Теорема 5.2.1 доказана.5.3Исследование вещественной и мнимой частей функции (5.2.1)0.222-0.10.3-0.20.40.61-0.511.0-1.02.0zz-2.0-1.00-0.50.02.501.51.00.00.2−1−1−2−20.60.40.2−3−2−10x123−3−2а)−10x123б)Рисунок 5.1: Сечения поверхностей уровня функций 1 (а) и 2 (б) плоскостью = 0 при = 1/2.Очевидно, что как вещественная, так и мнимая части функции (5.2.1) являются решениями однородного волнового уравнения (1.0.1).
Мы рассматриваем ниже их поведение вокрестности особой точки. Итак, =1= 1 + 2 ,2 + + где функции1 =2 + ,(2 + )2 + 2 2(5.3.1)−+ )2 + 2 2(5.3.2)и2 =(263вещественны. Окружим точку { = 0, = } ∈ R3 сферой малого радиуса : = cos , = sin , ∈ [0,].Тогда: sin2 + cos 2 sin2 + cos =.1 = 2 2( sin + cos )2 + 2 2 cos2 [( sin2 + cos )2 + 2 cos2 ]Как легко видеть,1 =⎧ −2 ,⎪⎪⎨ = /2, ∈ R,0,⎪⎪⎩(5.3.3) = 0 и = , = 0,(−1 ), ∈ (0,/2) ∪ (/2,), ̸= 0.Аналогично,2 =⎧⎨ 0, = /2,− cos =[( sin + cos )2 + 2 cos2 ] ⎩ (−1 ), ≠ /2.(5.3.4)2Оценки (5.3.4) и (5.3.4) не являются равномерными по углу . Более подробное исследованиеповедения функций (5.3.1) нетрудно провести анализируя их поверхности уровня 1 = и 2 = , изображенные на Рисунке 5.1.1010ρ=0ρ = 0.
55V1 (z)ρ=0ρ=1V2 (z)0−5−10−2ρ = 0. 55ρ=10−5−101zа)234−10−2−101z234б)Рисунок 5.2: 1 (а) и 2 (б) как функции от при фиксированных значениях и = 1/2.Очевидно, поверхности уровня касаются между собой в плоскости = в особой точке = 0, что согласуется с утверждением о неравномерности оценок (5.3.3) и (5.3.4).Из Рисунка 5.2 видно, что при → 0 функции 1,2 быстро меняются.645.4ОбобщенияПолученный результат легко обобщается на комплексифицированные решения Бейтмена,у которых форма волны имеет такую же сингулярность.Возьмем в (5.1.3)(︃ (B ) =(︃1exp 2 1 −B√︂1−B)︃)︃,(5.4.1)где > 0 фиксированный числовой параметр, а ветвь корня определена условием√︀Re 1 − B / > 0. Простая модификация приведенных выше рассуждений показывает, чтосоответствующая функция (5.1.3) тоже удовлетворяет однородному волновому уравнению(1.0.1).
Такое решение экспоненциально убывает при удалении от точки (5.1.4) как в продольном направлении (вдоль оси ), так и в поперечном направлении (вдоль ) (см. деталив [48]).Аналоги решения (1.2.1), (5.1.1) известны для волнового уравнения с любым > 2 числом пространственных переменных [16]. Фаза, которая в (5.1.1) зависит от одного параметра, может быть заменена функцией, характеризуемой ( − 1)/2 комплексным параметром,см. [17]. Полученные выше результаты без труда переносятся и на такие решения.65ЗаключениеСформулируем основные результаты диссертационной работы:1.
Получены явные описания антенн и выражения для токов на них, возбуждающих гармонические поля “комплексного источника” в случае трех пространственных переменных.2. Результаты, полученные для гармонического “комплексного источника”, обобщены нанестационарный режим. В рамках теории “комплексного источника” построено решениеволнового уравнения с тремя пространственными переменными, описывающее гауссовский волновой пакет.3. Получены явные описания антенн и выражения для токов, возбуждающих гармонические поля “комплексного источника” в случае двух пространственных переменных.4. Исследовано построенное в рамках теории Бейтмена решение волнового уравнения,имеющее степенную сингулярность в бегущей точке. Доказано, что это решение удовлетворяет однородному волновому уравнению.Полученные в работе результаты теории “комплексного источника” позволяют в принципе, управляя распределением токов на антеннах, возбуждать гауссовски локализованныеполя, в частности, излучать их преимущественно в одном направлении.
Явные выражениядля антенн и токов могут использоваться для строгой постановки задач дифракции полей“комплексного источника”. Эти результаты могут быть без большого труда обобщены намультипольные и другие обобщения комплексифицированных сферических волн. Представляется возможным также обобщение на систему уравнений Максвелла. Результаты пятойглавы могут быть распространены на системы уравнений математической физики, в частности на систему уравнений изотропной теории упругости и систему уравнений Максвеллаизотропной среды.66Список литературы1. Абрамочкин Е.
Г., Волостников В. Г. Современная оптика гауссовых пучков. — М.: Физматлит, 2010.2. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции короткихволн. — М.: Наука, 1972.3. Благовещенский А. С. Плоские волны, решения Бейтмена и источники на бесконечности// Зап. научн. семин.
ПОМИ. — 2014. — Т. 426 — С. 23–33.4. Благовещенский А. С., Киселев А. П., Тагирджанов А. М. Простые решения волновогоуравнения с сингулярностью в бегущей точке, основанные на комплексифицированномрешении Бейтмена // Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2015. — T. 438. — С.
73–82.5. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.: Советское радио,1966.6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981.7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними, Выпуск 1. —М.: Физматгиз, 1985.8. Грикуров В. Э., Киселев А. П. Гауссовы пучки на больших дальностях // Известиявысших учебных заведений. Радиофизика.
— 1986. — Т. 29, № 3. — C. 307–313.9. Дубровин В. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Том 1. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.10. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. — М.: Наука, 1984.11.
Еремин Ю. А. Представления полей в методе неортогональных рядов через источникив комплексной плоскости // Доклады АН СССР — 1983. — Т. 270, № 4. — С. 864–866.12. Изместьев А. А. Однопараметрические волновые пучки в свободном пространстве //Изв. вузов. Радиофизика — 1970. — Т. 13, № 9. — С. 1380–1388.13. Киселев А. П. Модулированные гауссовы пучки // Известия высших учебных заведений.Радиофизика.
— 1983. — Т. 26, № 8. — С. 1014–1020.6714. Киселев А. П. Локализованные световые волны: параксиальные и точные решения волнового уравнения (обзор) // Оптика и спектроскопия — 2007. — Т. 102, № 4. — С. 661–681.15. Киселев А. П., Перель М. В. Гауссовские волновые пакеты //Оптика и спектроскопия— 1999. — T. 86, № 3.
— C. 357–359.16. Киселев А. П., Перель М. В. Относительно неискажающиеся решения m-мерного волнового уравнения // Дифференциальные уравнения — 2002. — Т. 38, № 8. — С. 1128–1129.17. Киселев А. П., Плаченов А. Б. Точные решения m-мерного волнового уравнения из параксиальных. Дальнейшее обобщение решения Бейтмена // Зап. научн. сем.
ПОМИ. —2011. — Т. 393. — С. 167–177.18. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 2. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1945.19. Леонтович М. А. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитныхволн вдоль поверхности земли // Изв. АН СССР. Сер. Физ. — 1944. — Т. 8, № 1. — С. 16.20. Леонтович М. А., Фок В. А. Решение задачи о распространении электромагнитных волнвдоль поверхности земли по методу параболического уравнения // ЖЭТФ. — 1946. —Т.
16, № 7. — С. 557–573.21. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука,1987.22. Сапожников О. А. Точное решение уравнения Гельмгольца для квазигауссовского пучкав виде суперпозиции двух источников и стоков с комплексными координатами // Акустический журнал — 2012. — T. 58, № 1. — C. 49–56.23. Смирнов В.
И. Курс высшей математики, том 2. — М.: Наука, 1974.24. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том 3, часть 2. — М.: Наука, 1974.25. Тагирджанов А. М. “Комплексный источник” в двумерном пространстве // Зап. науч.семинаров ПОМИ. — 2012. — T. 409. — С. 176–186.26. Тагирджанов А. М., Благовещенский А. С., Киселев А. П. “Комплексный источник” ввещественном пространстве // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. — 2011.
—№11. — С. 82–84.27. Тагирджанов А. М., Благовещенский А. С., Киселев А. П. Гармонические по времениполя “комплексных источников” и их источники в вещественном пространстве // Запискинаучных семинаров ПОМИ. — 2014. — T. 422. — С. 131–149.28. Тагирджанов А. М., Киселев А. П. Гауссовский пакет на основе “комплексного источника” // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2014. — T. 426.
— С. 189–202.6829. Тагирджанов А. М., Киселев А. П. Комплексифицированные сферические волны и ихисточники. Обзор // Оптика и спектроскопия. — 2015. — T. 119, № 2. — С. 271–281.30. Хаус Х. Волны и поля в оптоэлектпонике. — М.: Мир, 1988.31. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. — М.: Мир, 1986.32. Appell P. E. Quelques remarques sur la théorie des potentiels multiformes. (Extrait d’unelettre adressée à Mr.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
