Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1150883), страница 7

Файл №1150883 Диссертация (Точные решения в теории локализованных волн) 7 страницаДиссертация (1150883) страница 72019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Выражение (2.4.3) совпадает, с точностью до постоянного множителя exp(), свыражением (1.1.6), описывающим фундаментальную осесимметрическую моду гауссовскогопучка.2.4.2Асимптотика в дальней зонеДальняя зона характеризуется условиями ≫ , ≫ 2 ,(2.4.5)где=√︀2 + 2 .(2.4.6)Из (2.1.1) следует, что в дальней зоне* ∼ ± ( − cos ) , ≷ 0,(2.4.7)где угол , 0 6 6 , определяется соотношениемcos = /.(2.4.8)При > 0 функция * имеет асимптотику* ∼ + (),06<,2(2.4.9)и описывает расходящуюся волну; при < 0* ∼− − (),< 6 ,2(2.4.10)и описывает сходящуюся волну.

Здесь± () = ± exp (± cos )(2.4.11)— диаграмма направленности. При = /2, т.е. на поверхности , асимптотика имеет скачок.В параксиальной области асимптотики (2.4.9)–(2.4.10) принимают вид, соответственно,(︃)︃2* ∼exp() exp − 2,∆≪1(2.4.12)38при ≫ 2 , и)︃(︃( − )2−,exp() exp − 2* ∼ −∆−≪1(2.4.13)при ≪ −2 .

Здесь√︂∆ =2(2.4.14)— угловая ширина пучка. Формулы (2.4.12)–(2.4.13) согласуются с параксиальной асимптотикой (2.4.3).Асимптотическое поведение * в случае source choice2.5Опишем асимптотическое поведение функции * при фиксации ветви функции * согласно (2.2.1). В этом случае антенна имеет вид (2.2.2).2.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне−0.2500.250.50.75−105 −5·1041505040403030z 20z 20101000−10−40−200x2040−10−40−20а)05·1040x2010540б)Рисунок 2.9: Re * при = 0 для а) = 0.3, = 5 и б) = 3, = 5 в случае ограниченнойантенны (2.2.2). Антенна находится при = 0, −5 6 6 5.Разложение * в параксиальной области (2.4.1) в случае source choice (2.2.1) дает22* ∼ ± − ++2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(︂)︂, ≷ 0.(2.5.1)Из (2.5.1) видно, что при > 0 асимптотика * в ближней зоне совпадает с выражением(2.4.3) и, таким образом, описывает гауссовский пучок.39При < 0 параксиальная асимптотика поля выглядит существенно иначе.

В ближнейзоне она имеет вид(︂)︂2exp(−)exp −Ψ + 2 , < 0,* ∼ − − ∆⊥(2.5.2)где Ψ — вещественная фаза, определенная в (2.4.4). Выражение (2.5.2) описывает не являющуюся пучком волну, которая распространяется против оси и растет при отдалении отнее. При выполнении условия ≫ 1 эта волна, однако, мала по сравнению с (2.4.3) за счетвходящего в выражение (2.5.2) множителя exp(−). Мы назовем эту волну “антипучком”.Подчеркнем, что рост амплитуды в “антипучке” с удалением от оси имеет место в ближней зоне.

Функция * в ближней зоне в случае ограниченной антенны (2.2.2) изображено наРисунке 2.9 для двух значений .2.5.2Асимптотика в дальней зонеИз (2.2.1) следует, что в дальней зоне* ∼ − cos (2.5.3)для всех 0 6 6 . Поэтому асимптотика дальнего поля для всех направлений описываетсявыражением (2.4.9).07π4π43π2π23π45π4πРисунок 2.10: Нормированная диаграмма направленности ограниченной антенны − + ()для = 3/2 (прерывистая линия) и = 50 (сплошная линия).Вблизи оси дальнее поле при ≫ 2 , ≪ 1 имеет вид (2.4.12), а при ≪ −2* ∼ −exp(−) exp(︃( − )2∆2)︃, − ≪ 1.Асимптотика (2.5.4) согласуется с параксиальной формулой (2.5.2).(2.5.4)40Диаграмма направленности + () для двух значений изображена на Рисунке 2.10.2.6Асимптотическое поведение * в случае произвольной антенныВ Разделе 2.3.3 мы фиксировали ветвь функции * так, чтобы функция * описываларасходящуюся волну при → +∞.

Волновое поведение при → −∞ зависит от того, компактна ли антенна . Компактность антенны определяется количеством пересечений разреза() с границей области Π (см. Раздел 2.3.2).2.6.1Некомпактная антеннаВ случае четного числа пересечений () с Π, антенна некомпактна. В параксиальной области (2.4.1) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеет вид (2.4.3).Будем мысленно двигаться против оси , начиная с достаточно больших .

При первом пересечении антенны функция * меняет знак, и асимптотика * принимает вид (2.5.2). Приследующем пересечении функция * снова меняет знак, и асимптотика * снова принимаетвид (2.4.3) и т.д.Условие (2.3.11), наложенное на разрез (), обеспечивает асимптотическую коничностьантенны при уходе на бесконечность. Угол раствора асимптотического конуса равен 0 .Асимптотика дальнего поля имеет вид (2.4.9) при 0 6 6 0 и (2.4.10) при 0 6 6 .Случай некомпактной антенны является обобщением случая beam choice.2.6.2Компактная антеннаВ случае четного числа пересечений () с Π, антенна компактна (см.

Раздел 2.3.1). Впараксиальной области (2.4.1) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеетвид (2.4.3) при > 0 и (2.5.2) при < 0. При пересечении асимптотика * имеет скачок.Асимптотика дальнего поля описывается выражением (2.4.9) при всех 0 6 6 .Случай компактной антенны является обобщением случая source choice.41Глава 3Гармонический “комплексный источник”в двумерном случаеДля двумерных полей “комплексного источника” соответствующие антенны и токи наних изучаются только в гармоническом случае, поскольку нестационарного аналога решения(1.2.1), содержащего произвольную функцию, для двумерного пространства не существует.Функция Грина для двумерного уравнения Гельмгольца, отвечающая расходящейся цилиндрической волне (для временно́й зависимости − ), имеет вид(1)g = 0 (r), r =√2 + 2 ,(3.0.1)(1)где 0 — функция Ханкеля.

Она удовлетворяет уравнению(∆ + 2 )g = (,),(3.0.2)где теперь ∆ = 2 /2 + 2 / 2 — двумерный оператор Лапласа, с точечным источником (,) = −4()().(3.0.3)Комплексифицируя (3.0.1) сдвигом на мнимую постоянную по переменной , получаем(1)g* = 0 (r* ),(3.0.4)гдеr* =√︀2 + ( − )2 ,(3.0.5)а > 0 — свободный параметр. Как и в трехмерном случае, рассмотренном в Главе 2, комплексифицированная функция Грина (3.0.4) не является однозначно определенной функциейотносительно (,) ∈ R2 . В физическом пространстве R2 точке ветвления функции g* соответствуют точки = ±, = 0.(3.0.6)42Введение разреза для r* приводит к тому, что функция g* имеет скачок на некоторой антенне, представляющей собой кривую , симметричную относительно оси .

Функция g*удовлетворяет уравнению (3.0.2) с функцией источника, сосредоточенной на этой антенне.Ветвь функции g* мы всегда будем выбирать так, чтобы при → +∞ поле g* соответствовало уходящей волне. Как и в трехмерном случае, существует две качественно различныеситуации с выбором разреза и ветви. В одном случае мы имеем уходящую волну, котораяописывает гауссов пучок при = +∞ и затухает при = −∞.

В другом случае — пучок,приходящий с = −∞ и уходящий на = +∞. Эти два случая также получили названияsource choice и beam choice, соответственно [42].3.1Функция источника в случае source choiceНачнем с вычисления функции источника в случае source choice. В этом случае ветвьфункции g* фиксируется условиемRe r* > 0,(3.1.1)что эквивалентно условию−6 arg r* 6 .22Соответствующая антенна принимает вид = {− 6 6 , = 0}.(3.1.2)Предельные значения g* на антенне (3.1.2) имеют видg* |||6,3.1.1(1)=±0= 0 (∓1 ), 1 :=√2 − 2 > 0.(3.1.3)РегуляризацияРассмотрим в (3.0.2) как обобщенную функцию, действующую на основные (гладкиефинитные) функции = (,).

В силу (3.0.2) справедливо∫︁ ∫︁(, ) =g* (∆ + 2 ) .(3.1.4))︀(︀g* △ + 2 ,(3.1.5)R2Представим (3.1.4) в виде предела∫︁ ∫︁lim lim→0 →0Ω,где область интегрирования Ω, показана на Рисунке 3.1. Применяя к (3.1.5) в области Ω,43z Ωε,ββ−aε 0xaРисунок 3.1: Область интегрирования Ω, .формулу Грина, получим∫︁(, ) = lim lim→0 →0Ω,где)︂(︂ g*− ,g*(3.1.6)обозначает дифференцирование по внешней нормали, а – элемент длины Ω, .Кривая Ω, обходится по часовой стрелке (см., например, [23]).

Переход к пределу при → 0 дает(, ) = lim⎧ −⎨ ∫︁ (︂[︂ g ]︂*→0 ⎩−+ − [g* ]=0=0(︂)︂∫︁ g*g*− +∫︁+ℬ (−))︂(︂g* g*−)︂ ,ℬ ()(3.1.7)⎫⎪⎬⎪⎭где ℬ (±) обозначает окружность радиуса с центром в = ±, = 0. Здесь [g* ]=0обозначает скачок функции g* при = 0.(1)Перейдем к вычислению скачков функций g* и g* /. Функция Ханкеля () допускает при = 0,1 и |arg | < представление(1) () = () + () =(︁ )︁ ∑︁2 () ln + + 2+ ,2>0(3.1.8)где и обозначают соответственно функцию Бесселя и Неймана со значком , а коэффициенты и не зависят от [24]. Поскольку при = 0∑︁>0⃒⃒ ⃒2 ⃒−=1∑︁>0⃒⃒ ⃒2 ⃒= 0,=−144то из (3.1.8) получается[g* ]=0 := g* |=+0 − g* |=−0(1)(1)= 0 (−1 ) − 0 (1 )(︂)︂)︂(︂2/2/2 1−/2 10 ( 1 ) ln() − ln()= −22)︂(︂1−1/2+ ln()−− ln()= 20 ( 1 )2222(3.1.9)= 20 (/2 1 ).(1)(1)Далее, замечая, что 0 ()/ = −1 (), имеемg*( − ) (1)= −1 (r* ),r*откуда[︂g*]︂=0⃒⃒g* ⃒⃒g* ⃒⃒−:= ⃒=+0 ⃒=−0)︁ (︁ (1)(1)= 1 (−1 ) + 1 (1 ) .1Поскольку при = 1∑︁ ⃒⃒⃒2+1 ⃒>0+=1∑︁ >0⃒⃒⃒2+1 ⃒==−1∑︁ (1 )2+1 (+/2 + −−/2 )>0=2∑︁ (1 )2+1 cos( +>0)2= 0,то[︂g*]︂=0(︂)︂ 2/2/2 1−/2−/2 1= 1 ( 1 ) ln() + 1 (1 ) ln()1 22(︂)︂/2 1−/2 1) − ln()= −2 1 (1 ) ln(122= −2 1 (1 ).1(3.1.10)Таким образом,[︂[g* ]=0 = 20 (1 ),]︂g*= −2 1 (1 ).1=0(3.1.11)Видно, что в отличие от трехмерного случая в первом слагаемом в правой части (3.1.7)сразу можно перейти к пределу при → 0.45Рассмотрим интегралы по окружностям ℬ (±).

Введем параметр ∈ (0,2) так, что = − cos , = sin .Тогда комплексифицированное расстояние запишется как r* =√︀ 2 − 2 . Интеграл поℬ () примет вид)︂∫︁2 (︂ g*−g*+ .(3.1.12)0(1)При малых значениях аргумента 0 имеет асимптотики [24](1)0 () =20 () ln + (1),(1)0 ()2(1)= −1 () =+ (ln ),откуда легко получаются оценкиg* = (ln ),r*g*(1)= −1 (r* )2 r*+ (ln )= r* − + = −2+ (ln )−2 + 21= − + (ln ).(3.1.13)Таким образом, интеграл по окружности ℬ () оценивается как∫︁(︂ g*g*−∫︁2)︂ = −( − cos , sin ) + ( ln )(3.1.14)0ℬ ()= −2(,0) + ( ln ),что при → 0 стремится к −2(,0), и, аналогично,∫︁(︂ g*g*−)︂ → −2(−,0).→0(3.1.15)ℬ (−)3.1.2Функция источникаПереходя в (3.1.7) к пределу при → 0 получим(︂)︂1 (1 )′ = 2 − + 0 (1 ) − ( − )() − ( + )()1(3.1.16)46где (,) := (( + ) − ( − ))(),′ (,) := = (( + ) − ( − )) ′ (),(3.1.17)(3.1.18)а () — функция Хевисайда, определенная в (2.3.67).3.2Функция источника в случае beam choiceЗафиксируем теперь ветвь функции g* условиемIm r* > 0,(3.2.1)0 6 arg r* 6 .(3.2.2) = { 6 −, = 0} ∪ { > , = 0}.(3.2.3)что эквивалентноСоответствующая антенна примет видПредельные значения g* на (3.1.2) имеют видg* |||>,(1)=±0= 0 (±0 ), 0 =√2 − 2 > 0.(3.2.4)В этом случае вычисление, аналогичное проведенному в Разделе 3.1, дает(︂)︂1 (0 )′ = 2 − + 0 (0 ) − ( − )() − ( + )() ,0(3.2.5)где теперь обозначено (,) := (( − ) + (− − ))(),′ (,) :=3.33.3.1 = (( + ) + ( − )) ′ (),(3.2.6)(3.2.7)Функция источника для произвольной антенныВыбор разрезаДля определения ветви функции (3.0.4) нам снова будет удобно обратиться к комплекснойплоскости переменной = + = 2 + 2 − 2 − 2.(3.3.1)Как функция вещественных и , принимает значения в области (2.3.2).

В отличие оттрехмерного случая, каждой точке = + в этой области взаимнооднозначно сопостав-47ляется пара точек в R2 , симметричная относительно оси . Из (3.3.1) легко получить ихкоординаты:√︀ = ± + 2 − (/2)2 , = −/2.(3.3.2)Точкам на границе области, ∈ Π, соответствует ось . Точке ветвления = 0 функции(3.0.4) соответствует пара точек, определенная в (3.0.6).Проведем в плоскости переменной разрез для функции (3.0.4) вдоль кривой (2.3.3),удовлетворяющей условиям, сформулированным в Разделе 2.3.1.3.3.2АнтеннаПараметризация кривой (2.3.3) определит следующую параметризацию антенны ,{︃r = r() =()e + ()e , ∈ , > 0,−()e + ()e , ∈ , < 0,(3.3.3)где множество определено в (2.3.6), e , e — орты и() =√︀() + 2 − (()/2)2 , () = −()/2.(3.3.4)Как и в Разделе 2.3, антенна может быть компактной или некомпактной, а также иметьодну или несколько компонент связности.Рассуждение, аналогичное проведенному в Разделе 2.3.2, показывает, что справедливаследующаяТеорема 3.3.1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,36 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее