Диссертация (1150883), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Выражение (2.4.3) совпадает, с точностью до постоянного множителя exp(), свыражением (1.1.6), описывающим фундаментальную осесимметрическую моду гауссовскогопучка.2.4.2Асимптотика в дальней зонеДальняя зона характеризуется условиями ≫ , ≫ 2 ,(2.4.5)где=√︀2 + 2 .(2.4.6)Из (2.1.1) следует, что в дальней зоне* ∼ ± ( − cos ) , ≷ 0,(2.4.7)где угол , 0 6 6 , определяется соотношениемcos = /.(2.4.8)При > 0 функция * имеет асимптотику* ∼ + (),06<,2(2.4.9)и описывает расходящуюся волну; при < 0* ∼− − (),< 6 ,2(2.4.10)и описывает сходящуюся волну.
Здесь± () = ± exp (± cos )(2.4.11)— диаграмма направленности. При = /2, т.е. на поверхности , асимптотика имеет скачок.В параксиальной области асимптотики (2.4.9)–(2.4.10) принимают вид, соответственно,(︃)︃2* ∼exp() exp − 2,∆≪1(2.4.12)38при ≫ 2 , и)︃(︃( − )2−,exp() exp − 2* ∼ −∆−≪1(2.4.13)при ≪ −2 .
Здесь√︂∆ =2(2.4.14)— угловая ширина пучка. Формулы (2.4.12)–(2.4.13) согласуются с параксиальной асимптотикой (2.4.3).Асимптотическое поведение * в случае source choice2.5Опишем асимптотическое поведение функции * при фиксации ветви функции * согласно (2.2.1). В этом случае антенна имеет вид (2.2.2).2.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне−0.2500.250.50.75−105 −5·1041505040403030z 20z 20101000−10−40−200x2040−10−40−20а)05·1040x2010540б)Рисунок 2.9: Re * при = 0 для а) = 0.3, = 5 и б) = 3, = 5 в случае ограниченнойантенны (2.2.2). Антенна находится при = 0, −5 6 6 5.Разложение * в параксиальной области (2.4.1) в случае source choice (2.2.1) дает22* ∼ ± − ++2( 2 + 2 ) 2( 2 + 2 )(︂)︂, ≷ 0.(2.5.1)Из (2.5.1) видно, что при > 0 асимптотика * в ближней зоне совпадает с выражением(2.4.3) и, таким образом, описывает гауссовский пучок.39При < 0 параксиальная асимптотика поля выглядит существенно иначе.
В ближнейзоне она имеет вид(︂)︂2exp(−)exp −Ψ + 2 , < 0,* ∼ − − ∆⊥(2.5.2)где Ψ — вещественная фаза, определенная в (2.4.4). Выражение (2.5.2) описывает не являющуюся пучком волну, которая распространяется против оси и растет при отдалении отнее. При выполнении условия ≫ 1 эта волна, однако, мала по сравнению с (2.4.3) за счетвходящего в выражение (2.5.2) множителя exp(−). Мы назовем эту волну “антипучком”.Подчеркнем, что рост амплитуды в “антипучке” с удалением от оси имеет место в ближней зоне.
Функция * в ближней зоне в случае ограниченной антенны (2.2.2) изображено наРисунке 2.9 для двух значений .2.5.2Асимптотика в дальней зонеИз (2.2.1) следует, что в дальней зоне* ∼ − cos (2.5.3)для всех 0 6 6 . Поэтому асимптотика дальнего поля для всех направлений описываетсявыражением (2.4.9).07π4π43π2π23π45π4πРисунок 2.10: Нормированная диаграмма направленности ограниченной антенны − + ()для = 3/2 (прерывистая линия) и = 50 (сплошная линия).Вблизи оси дальнее поле при ≫ 2 , ≪ 1 имеет вид (2.4.12), а при ≪ −2* ∼ −exp(−) exp(︃( − )2∆2)︃, − ≪ 1.Асимптотика (2.5.4) согласуется с параксиальной формулой (2.5.2).(2.5.4)40Диаграмма направленности + () для двух значений изображена на Рисунке 2.10.2.6Асимптотическое поведение * в случае произвольной антенныВ Разделе 2.3.3 мы фиксировали ветвь функции * так, чтобы функция * описываларасходящуюся волну при → +∞.
Волновое поведение при → −∞ зависит от того, компактна ли антенна . Компактность антенны определяется количеством пересечений разреза() с границей области Π (см. Раздел 2.3.2).2.6.1Некомпактная антеннаВ случае четного числа пересечений () с Π, антенна некомпактна. В параксиальной области (2.4.1) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеет вид (2.4.3).Будем мысленно двигаться против оси , начиная с достаточно больших .
При первом пересечении антенны функция * меняет знак, и асимптотика * принимает вид (2.5.2). Приследующем пересечении функция * снова меняет знак, и асимптотика * снова принимаетвид (2.4.3) и т.д.Условие (2.3.11), наложенное на разрез (), обеспечивает асимптотическую коничностьантенны при уходе на бесконечность. Угол раствора асимптотического конуса равен 0 .Асимптотика дальнего поля имеет вид (2.4.9) при 0 6 6 0 и (2.4.10) при 0 6 6 .Случай некомпактной антенны является обобщением случая beam choice.2.6.2Компактная антеннаВ случае четного числа пересечений () с Π, антенна компактна (см.
Раздел 2.3.1). Впараксиальной области (2.4.1) при достаточно больших значениях || асимптотика * имеетвид (2.4.3) при > 0 и (2.5.2) при < 0. При пересечении асимптотика * имеет скачок.Асимптотика дальнего поля описывается выражением (2.4.9) при всех 0 6 6 .Случай компактной антенны является обобщением случая source choice.41Глава 3Гармонический “комплексный источник”в двумерном случаеДля двумерных полей “комплексного источника” соответствующие антенны и токи наних изучаются только в гармоническом случае, поскольку нестационарного аналога решения(1.2.1), содержащего произвольную функцию, для двумерного пространства не существует.Функция Грина для двумерного уравнения Гельмгольца, отвечающая расходящейся цилиндрической волне (для временно́й зависимости − ), имеет вид(1)g = 0 (r), r =√2 + 2 ,(3.0.1)(1)где 0 — функция Ханкеля.
Она удовлетворяет уравнению(∆ + 2 )g = (,),(3.0.2)где теперь ∆ = 2 /2 + 2 / 2 — двумерный оператор Лапласа, с точечным источником (,) = −4()().(3.0.3)Комплексифицируя (3.0.1) сдвигом на мнимую постоянную по переменной , получаем(1)g* = 0 (r* ),(3.0.4)гдеr* =√︀2 + ( − )2 ,(3.0.5)а > 0 — свободный параметр. Как и в трехмерном случае, рассмотренном в Главе 2, комплексифицированная функция Грина (3.0.4) не является однозначно определенной функциейотносительно (,) ∈ R2 . В физическом пространстве R2 точке ветвления функции g* соответствуют точки = ±, = 0.(3.0.6)42Введение разреза для r* приводит к тому, что функция g* имеет скачок на некоторой антенне, представляющей собой кривую , симметричную относительно оси .
Функция g*удовлетворяет уравнению (3.0.2) с функцией источника, сосредоточенной на этой антенне.Ветвь функции g* мы всегда будем выбирать так, чтобы при → +∞ поле g* соответствовало уходящей волне. Как и в трехмерном случае, существует две качественно различныеситуации с выбором разреза и ветви. В одном случае мы имеем уходящую волну, котораяописывает гауссов пучок при = +∞ и затухает при = −∞.
В другом случае — пучок,приходящий с = −∞ и уходящий на = +∞. Эти два случая также получили названияsource choice и beam choice, соответственно [42].3.1Функция источника в случае source choiceНачнем с вычисления функции источника в случае source choice. В этом случае ветвьфункции g* фиксируется условиемRe r* > 0,(3.1.1)что эквивалентно условию−6 arg r* 6 .22Соответствующая антенна принимает вид = {− 6 6 , = 0}.(3.1.2)Предельные значения g* на антенне (3.1.2) имеют видg* |||6,3.1.1(1)=±0= 0 (∓1 ), 1 :=√2 − 2 > 0.(3.1.3)РегуляризацияРассмотрим в (3.0.2) как обобщенную функцию, действующую на основные (гладкиефинитные) функции = (,).
В силу (3.0.2) справедливо∫︁ ∫︁(, ) =g* (∆ + 2 ) .(3.1.4))︀(︀g* △ + 2 ,(3.1.5)R2Представим (3.1.4) в виде предела∫︁ ∫︁lim lim→0 →0Ω,где область интегрирования Ω, показана на Рисунке 3.1. Применяя к (3.1.5) в области Ω,43z Ωε,ββ−aε 0xaРисунок 3.1: Область интегрирования Ω, .формулу Грина, получим∫︁(, ) = lim lim→0 →0Ω,где)︂(︂ g*− ,g*(3.1.6)обозначает дифференцирование по внешней нормали, а – элемент длины Ω, .Кривая Ω, обходится по часовой стрелке (см., например, [23]).
Переход к пределу при → 0 дает(, ) = lim⎧ −⎨ ∫︁ (︂[︂ g ]︂*→0 ⎩−+ − [g* ]=0=0(︂)︂∫︁ g*g*− +∫︁+ℬ (−))︂(︂g* g*−)︂ ,ℬ ()(3.1.7)⎫⎪⎬⎪⎭где ℬ (±) обозначает окружность радиуса с центром в = ±, = 0. Здесь [g* ]=0обозначает скачок функции g* при = 0.(1)Перейдем к вычислению скачков функций g* и g* /. Функция Ханкеля () допускает при = 0,1 и |arg | < представление(1) () = () + () =(︁ )︁ ∑︁2 () ln + + 2+ ,2>0(3.1.8)где и обозначают соответственно функцию Бесселя и Неймана со значком , а коэффициенты и не зависят от [24]. Поскольку при = 0∑︁>0⃒⃒ ⃒2 ⃒−=1∑︁>0⃒⃒ ⃒2 ⃒= 0,=−144то из (3.1.8) получается[g* ]=0 := g* |=+0 − g* |=−0(1)(1)= 0 (−1 ) − 0 (1 )(︂)︂)︂(︂2/2/2 1−/2 10 ( 1 ) ln() − ln()= −22)︂(︂1−1/2+ ln()−− ln()= 20 ( 1 )2222(3.1.9)= 20 (/2 1 ).(1)(1)Далее, замечая, что 0 ()/ = −1 (), имеемg*( − ) (1)= −1 (r* ),r*откуда[︂g*]︂=0⃒⃒g* ⃒⃒g* ⃒⃒−:= ⃒=+0 ⃒=−0)︁ (︁ (1)(1)= 1 (−1 ) + 1 (1 ) .1Поскольку при = 1∑︁ ⃒⃒⃒2+1 ⃒>0+=1∑︁ >0⃒⃒⃒2+1 ⃒==−1∑︁ (1 )2+1 (+/2 + −−/2 )>0=2∑︁ (1 )2+1 cos( +>0)2= 0,то[︂g*]︂=0(︂)︂ 2/2/2 1−/2−/2 1= 1 ( 1 ) ln() + 1 (1 ) ln()1 22(︂)︂/2 1−/2 1) − ln()= −2 1 (1 ) ln(122= −2 1 (1 ).1(3.1.10)Таким образом,[︂[g* ]=0 = 20 (1 ),]︂g*= −2 1 (1 ).1=0(3.1.11)Видно, что в отличие от трехмерного случая в первом слагаемом в правой части (3.1.7)сразу можно перейти к пределу при → 0.45Рассмотрим интегралы по окружностям ℬ (±).
Введем параметр ∈ (0,2) так, что = − cos , = sin .Тогда комплексифицированное расстояние запишется как r* =√︀ 2 − 2 . Интеграл поℬ () примет вид)︂∫︁2 (︂ g*−g*+ .(3.1.12)0(1)При малых значениях аргумента 0 имеет асимптотики [24](1)0 () =20 () ln + (1),(1)0 ()2(1)= −1 () =+ (ln ),откуда легко получаются оценкиg* = (ln ),r*g*(1)= −1 (r* )2 r*+ (ln )= r* − + = −2+ (ln )−2 + 21= − + (ln ).(3.1.13)Таким образом, интеграл по окружности ℬ () оценивается как∫︁(︂ g*g*−∫︁2)︂ = −( − cos , sin ) + ( ln )(3.1.14)0ℬ ()= −2(,0) + ( ln ),что при → 0 стремится к −2(,0), и, аналогично,∫︁(︂ g*g*−)︂ → −2(−,0).→0(3.1.15)ℬ (−)3.1.2Функция источникаПереходя в (3.1.7) к пределу при → 0 получим(︂)︂1 (1 )′ = 2 − + 0 (1 ) − ( − )() − ( + )()1(3.1.16)46где (,) := (( + ) − ( − ))(),′ (,) := = (( + ) − ( − )) ′ (),(3.1.17)(3.1.18)а () — функция Хевисайда, определенная в (2.3.67).3.2Функция источника в случае beam choiceЗафиксируем теперь ветвь функции g* условиемIm r* > 0,(3.2.1)0 6 arg r* 6 .(3.2.2) = { 6 −, = 0} ∪ { > , = 0}.(3.2.3)что эквивалентноСоответствующая антенна примет видПредельные значения g* на (3.1.2) имеют видg* |||>,(1)=±0= 0 (±0 ), 0 =√2 − 2 > 0.(3.2.4)В этом случае вычисление, аналогичное проведенному в Разделе 3.1, дает(︂)︂1 (0 )′ = 2 − + 0 (0 ) − ( − )() − ( + )() ,0(3.2.5)где теперь обозначено (,) := (( − ) + (− − ))(),′ (,) :=3.33.3.1 = (( + ) + ( − )) ′ (),(3.2.6)(3.2.7)Функция источника для произвольной антенныВыбор разрезаДля определения ветви функции (3.0.4) нам снова будет удобно обратиться к комплекснойплоскости переменной = + = 2 + 2 − 2 − 2.(3.3.1)Как функция вещественных и , принимает значения в области (2.3.2).
В отличие оттрехмерного случая, каждой точке = + в этой области взаимнооднозначно сопостав-47ляется пара точек в R2 , симметричная относительно оси . Из (3.3.1) легко получить ихкоординаты:√︀ = ± + 2 − (/2)2 , = −/2.(3.3.2)Точкам на границе области, ∈ Π, соответствует ось . Точке ветвления = 0 функции(3.0.4) соответствует пара точек, определенная в (3.0.6).Проведем в плоскости переменной разрез для функции (3.0.4) вдоль кривой (2.3.3),удовлетворяющей условиям, сформулированным в Разделе 2.3.1.3.3.2АнтеннаПараметризация кривой (2.3.3) определит следующую параметризацию антенны ,{︃r = r() =()e + ()e , ∈ , > 0,−()e + ()e , ∈ , < 0,(3.3.3)где множество определено в (2.3.6), e , e — орты и() =√︀() + 2 − (()/2)2 , () = −()/2.(3.3.4)Как и в Разделе 2.3, антенна может быть компактной или некомпактной, а также иметьодну или несколько компонент связности.Рассуждение, аналогичное проведенному в Разделе 2.3.2, показывает, что справедливаследующаяТеорема 3.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
