Диссертация (1150883), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Как и в трехмерном случае, рассмотренном в Главе 2, функция g* не является однозначно определенной функциейотносительно (,) ∈ R2 . В физическом пространстве R2 точке ветвления функции g* соответствуют точки = { = −, = 0} ∪ { = , = 0}. Аналогично трехмерному случаю,функция g* удовлетворяет уравнению (∆ + 2 )g* = , ∆ = 2 /2 + 2 / 2 с функциейисточника , сосредоточенной на антенне, представляющей собой кривую , симметричнуюотносительно оси .
В Разделах 3.1 и 3.2 рассматриваются двумерные аналоги случаев beamchoice и source choice. В Разделе 3.3 рассматривается общий случай разреза, удовлетворяющего условиям Теоремы 2.3.1. Волновое поле, излучаемое источниками, рассмотренными вРазделах 3.1, 3.2, 3.3, изучается в Разделах 2.4, 2.5, 2.6.В четвертой главе результаты Главы 2 обобщаются на нестационарный “комплексныйисточник”.
Рассматривается выражение = (C )/* , где C = * − , удовлетворяющеенеоднородному волновому уравнению + + − −2 = с постоянной скоростьюраспространения = > 0. Как и в Главе 2, функция источника сосредоточена на некоторой поверхности, определяемой выбором ветви комплексного корня * . Явное выражениедля приводится в Разделе 4.1. В Разделах 4.2, 4.3 рассматривается специальная формаволны (C ), при которой описывает гауссовский волновой пакет.В пятой главе рассматривается комплексифицированное решение Бейтмена = (B )/( − ), в котором форма волны (B ) имеет полюс первого порядка. Здесь B = + 2 /( − ), = − , = + . Это решение описывает волну, имеющую сингулярностьв бегущей точке = . В Разделе 5.2 доказывается, что решение является локально абсолютно интегрируемой функцией в R4 и удовлетворяет однородному волновому уравнению + + − −2 = 0 в смысле обобщенных функций.
В Разделе 5.3 рассматриваетсяволновое поведение решения .10Глава 1Краткий обзор известных простыхсильно локализованных решенийИнтерес к построению локализованных решений волнового уравнения := + + − −2 = 0, = > 0,(1.0.1)прослеживается по крайней мере с работ Г. Бейтмена [33, 34] начала XX века. Первоначально этот интерес имел характер научной любознательности. В связи с возникновением в1960-е годы лазерных технологий, возник мощный запрос на теоретическое описание сильнолокализованных полей.
Тогда были получены первые приближенные формулы для гармонического по времени режима, давшие толчок построению точных решений. Кратко изложимсоответствующие результаты.1.11.1.1Гармонические по времени решенияМетод параболического уравнения. Приближенное параксиальное решениеПроизведем в (1.0.1) подстановку (,,,) = (,,), > 0.(1.1.1)В результате получается уравнение Гельмгольца∆ + 2 = 0, = /,где ∆ = + + — трехмерный оператор Лапласа.(1.1.2)11Выделим фазовый множитель, отвечающий плоской волне, бегущей вдоль оси , (,,) = (,,).(1.1.3)Отбросив в точном уравнении для , + + +2 = 0, вторую производную по ,получим уравнение, которое Леонтович [19] и Леонтович и Фок [20] назвали параболическим, + + 2 = 0.(1.1.4)Это уравнение описывает разнообразные волновые процессы связанные с параксиальнымраспространением волн, то есть распространением их под малыми углами к оси (см., например, [5, 14, 19, 20, 30] и др.).В известном (см., например, [6]) решении уравнения (1.1.4) сделаем сдвиг на мнимуюпостоянную → − , > 0, (см., например, [50]) и получим1exp = − (︂22( − ))︂, =√︀2 + 2 .(1.1.5)Соответствующее выражение(−) =(︂)︂21exp Ψ − 2 , = − ∆⊥(1.1.6)где Ψ = ( − ) + 2 /∆2⊥ , является приближенным решением уравнения (1.0.1) в окрестности оси (см., например, [5, 14, 30]).
Здесь√︂∆⊥ =2( 2 + 2 )(1.1.7)характеризует поперечную ширину пучка. Выражение (1.1.6) называется фундаментальнойосесимметрической модой гауссовского пучка (см., например, [30]). Анализ показывает, чтобезразмерным большим параметром здесь является величина ≫ 1.(1.1.8)Область пригодности (1.1.6) исследовалась во многих работах (см., например, [2,8]). Построению высших приближений посвящены, например, [2, 8].Известны обширные классы “высших мод”, т.е. решений вида ℎ(,,) с ℎ зависящими отхотя бы от одной из поперечных координат , (см., например, [1,2,14]).
Построены астигматические решения, в которых в фазе присутствуют достаточно произвольные положительноопределенные квадратичные формы от поперечных переменных [2, 17, 50]. Последние двакласса решений мы обсуждать не будем. Обобщению на неоднородные среды посвященабольшая литература (см., например, монографию [2]).121.1.2“Комплексный источник” в гармоническом случаеИзместьев [12] и Дешамп [38] независимо предложили точное решение уравнения (1.0.1),обладающее в окрестности оси асимптотикой (1.1.6). Отправной точкой в этих работахбыла классическая функция Грина=√︀exp (), = 2 + 2 + 2 .(1.1.9)Она удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца(∆ + 2 ) = (1.1.10) = −4()()()(1.1.11)с точечным источникоми описывает расходящуюся сферическую волну (предполагается зависимость от времени вида − ).Сдвиг на произвольно выбранную мнимую постоянную , > 0, переводит функцию(1.1.9) вexp (* ),*(1.1.12)√︀2 + 2 + ( − )2(1.1.13)* =где* =— “расстояние до комплексного источника”.Было замечено (см.
[12,38]), что (1.1.12) не является однозначной функцией r = (,,) ∈3R , поскольку в нее входит комплексный корень * . В [12, 38] отмечалось, что при некотором выборе ветви корня в * асимптотика функции − * , отличающейся от (1.1.12) лишьне зависящим от координат нормировочным множителем, совпадает в параксиальной области с фундаментальной осесимметрической модой гауссовского пучка (1.1.5). По аналогии спараксиальной теорией, основанной на параболическом уравнении, рассматривались такжемультипольные и двумерные решения [39, 54, 55, 57].Комплексифицированное решение (1.1.12) многие авторы (см. [12,22,38,42,45–47,56,62] идр.) интерпретировали как поле “комплексного источника”, т.е. источника, расположенногов комплексном пространстве. Приданию математического смысла эвристике, связанной систочниками в комплексном пространстве, посвящены довольно труднопроходимые работы[45, 46].При комплексификации решения (1.1.9), как впервые отмечено в [55], правая часть уравнения (1.1.10) распределяется по некоторой поверхности с краем в вещественном физическом пространстве.
Эту поверхность, которая является носителем правой части уравнения(1.1.10), мы называем антенной. Функция в (1.1.10), характеризующая распределение то-13ков на антенне, зависит от выбора ветви квадратного корня * . Выбор ветви * определяети асимптотическое поведение * .Одной из целей настоящей работы является явное вычисление функции источника длядостаточно общего вида антенны в случае трех пространственных переменных. Соответствующим рассмотрениям посвящена Глава 2. Аналогичная задача с двумя пространственнымипеременными рассмотрена в Главе 3.1.2Нестационарные решенияПервое точное нестационарное решение, т.е.
решение волнового уравнения (1.0.1), обладающее гауссовской локализацией по поперечным переменным, построил Бриттингхам [37](и одновременно, для двух пространственных переменных, Киселев [13]). Ввиду медленногоубывания по и , эти решения обладали бесконечной энергией. Был построен ряд простыхрешений с более быстрым степенным убыванием по и , например, [35, 64], и решения,описывающие гауссовские волновые пакеты, т.е. гауссовски убывающие по всем переменнымпри удалении от точки, бегущей со скоростью [15, 48]. Все эти решения удовлетворялиуравнению (1.0.1) во всем пространстве.Построение локализованных решений в работах [13,35–37,64] основывалось на различныхсоображениях.
Как заметил Ильон [44], все эти результаты могут быть получены при надлежащем выборе формы волны в относительно неискажающемся комплексифицированномрешении Бейтмена. Наблюдение Ильона было явно использовано в работах [15, 48].1.2.1Относительно неискажающиеся решенияОтносительно неискажающимся решением волнового уравнения (1.0.1), см., например,классический учебник Куранта и Гильберта [18], называется решение вида = ()(1.2.1)где фаза (“фазовая функция” в [18]) = (r,), r = (,,), и амплитуда (“коэффициентискажения” в [18]) = (r,) — фиксированные функции, а форма волны = () — произвольная функция одной переменной. Подразумевается, что это определение имеет локальныйхарактер, т.е.
допускается выполнение однородного уравнения (1.0.1) не при всех r,.Курант и Гильберт [18] ограничиваются примерами, известными с XVIII века. Это плоская волна с = − , ≡ 1(1.2.2)и сферическая волна с = − , = 1/.(1.2.3)14В [18] не приведено известное на тот момент (некомплексифицированное) решение Бейтмена[33] = + 2 /2, = 1/(1.2.4) = − , = + ,(1.2.5)гдене имевшее, впрочем, на тот момент никаких приложений.Во всех упомянутых случаях форма волны была произвольной функцией вещественного переменного, в частности, обобщенной функцией. В случаях (1.2.2), (1.2.4) функция (1.2.1)удовлетворят уравнению (1.0.1) во всем пространстве-времени1 R3 × R.
В случае (1.2.3) однородное уравнение (1.0.1) нарушается для пространственной точки r = 0 при временах ∈ supp .1.2.2Решение Бейтмена-Ильона. Focus wave modesДля нас важно осесимметрическое комплексифицированное решение Бейтмена (или, какего еще называют, решение Бейтмена-Ильона) [44], получаемое из (1.2.4) путем замены → − ,для которого, соответственно = B := +21, = − − где > 0 — произвольно фиксированная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
