Диссертация (1150883), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вопрос об антеннах и, вособенности, о токах долгое время оставался непроясненным. В ряде работ [38, 56] говори1В работе [52] история комплексификации решения в статическом случае возводится к заметке [32].6лось, что в результате комплексификации источник “удаляется в комплексную область”. Изработ [39,47] можно было бы сделать вывод, что источник “размазывается” по некоторой поверхности с краем в физическом пространстве, однако дело не зашло дальше качественногообсуждения.Комплексификация координаты точки источника была сделана и в нестационарной сферической волне, содержащей произвольную функцию [42,43]. Антенны и распределение токовна них не рассматривались.Другим, нежели теория “комплексного источника”, результатом развития теории приближенных гармонических решений методом параболического уравнения стало возникновениенестационарных точных решений, являющихся спецификациями комплексифицированныхрешений Бейтмена, также содержащих произвольную функцию [14, 15, 37, 48, 64].
До сих порв ее рамках рассматривались только функции без особенностей. Путем подходящего выбора этой произвольной функции строились решения волнового уравнения, описывающиегауссовски локализованные волновые пучки и волновые пакеты. Однако, возможно выбратьэту произвольную функцию так, чтобы она имела, например, полюс первого порядка. Тогдаволновое поле будет сингулярно в точке, бегущей со скоростью распространения вдоль некоторой пространственной прямой. Возникает вопрос, будет ли такое решение удовлетворятьнеоднородному уравнению с некоторым бегущим точечным источником или же оно будетудовлетворять однородному уравнению и служить иллюстрацией теории волновых фронтовХёрмандера [31].Цели и задачи диссертационной работы:1.
Явное описание антенн и токов для трехмерного гармонического по времени “комплексного источника” в общей ситуации.2. Явное описание антенн и токов для трехмерного нестационарного по времени “комплексного источника”. Построение гауссовского волнового пакета на основе “комплексного источника”.3. Явное описание антенн и токов для двумерного гармонического “комплексного источника”.4. Исследование бейтменовского решения однородного волнового уравнения, имеющегостепенную сингулярность в бегущей точке.Для решения поставленных задач использовались асимптотические методы, методы теории обобщенных функций и теории функций комплексной переменной.Научная новизна. В диссертационной работе впервые дано явное описание источниковв вещественном пространстве, соответствующих полям “комплексных источников”.
В рамках теории “комплексного источника” построены новые нестационарные решения волнового7уравнения, обладающие гауссовской локализацией. Построен пример решения однородноговолнового уравнения, имеющего степенную сингулярность в бегущей точке. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.Положения, выносимые на защиту:1. Получены явные описания антенн и выражения для токов на них, возбуждающих гармонические поля “комплексного источника” в случае трех пространственных переменных.2. Результаты, полученные для гармонического “комплексного источника”, обобщены нанестационарный режим.
В рамках теории “комплексного источника” построено решениеволнового уравнения с тремя пространственными переменными, описывающее гауссовский волновой пакет.3. Получены явные описания антенн и выражения для токов, возбуждающих гармонические поля “комплексного источника” в случае двух пространственных переменных.4. Исследовано построенное в рамках теории Бейтмена решение волнового уравнения,имеющее степенную сингулярность в бегущей точке.
Доказано, что это решение удовлетворяет однородному волновому уравнению.Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характери направлена на развитие теории локализованных решений волнового уравнения, имеющеймногочисленные приложения. Результаты диссертации вносят ясность в остававшиеся безнадлежащего внимания вопросы теории “комплексного источника”.
С практической точкизрения эти результаты позволяют в принципе, управляя распределением токов на антеннах,возбуждать гауссовски локализованные поля, в частности, излучать их преимущественнов одном направлении. Исследован также пример решения волнового уравнения, имеющийстепенную сингулярность в бегущей точке. Этот результат носит теоретический характер.Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и математической физики физического факультетаСПбГУ, на Санкт-Петербургском семинаре по теории дифракции и распространения волнв ПОМИ им. В.А.
Стеклова РАН, на Санкт-Петербургском семинаре по теоретической иприкладной акустике в ИПМАШ РАН, а также на следующих конференциях:– Международные конференции “Days on Diffraction” (Санкт-Петербург, 2008, 2009, 2010,2011, 2012, 2013, 2014);– Международные конференции “Progress in Electromagnetics Research Symposium(PIERS)” (Москва, 2009; Стокгольм, 2013);– Международная конференция “Optics, Photonics and Metamaterials” (Харьков, 2009);8– Международнаяконференция“Фундаментальныепроблемыоптики”(Санкт-Петербург, 2010);– Отраслевая научная конференция “Технологии информационного общества” (Москва,2011).Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованыв 9 печатных работах. В их числе 7 публикаций в журналах, входящих в список ВАК [4, 25–29, 59], и 2 публикации в сборниках трудов международных конференций [58, 60].Личный вклад.
Результаты второй, третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в совместных работах диссертанта c А.П. Киселевым и А.С. Благовещенским [26, 27, 59],в работе диссертанта [25] и в совместных работах диссертанта c А.П. Киселевым [28, 29].Определяющий вклад во все эти работы принадлежит диссертанту. Результаты пятой главыопубликованы в совместной работе диссертанта c А.П. Киселевым и А.С. Благовещенским [4].Эти результаты принадлежат соавторам в равной степени.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Полный объем диссертации составляет 70 страниц текста с 21иллюстрацией. Список литературы содержит 64 наименования.Первая глава посвящена краткому обзору методов построения простых локализованныхрешений волнового уравнения в гармоническом и нестационарном режимах. Обсуждаютсяточные и приближенные методы. Вводятся классические определения и приводятся основныеизвестные результаты теории локализованных решений волнового уравнения.Вторая глава посвящена исследованию “комплексного источника” в случае гармонической зависимости от времени для трех пространственных переменных.
Центральным объектом рассмотрения этой главы является комплексифицированная функция Грина * =exp(* )/* для трехмерного уравнения Гельмгольца. Как отмечалось в работах [38,39], *не является однозначной функцией r = (,,) ∈ R3 , поскольку в нее входит комплексный√︀корень * = 2 + 2 + ( − )2 , = > 0. В физическом пространстве R3 точкамветвления квадратного корня * соответствует окружность = {r : = 0, 2 + 2 = 2 }.При любом выборе ветви корня * функция * имеет скачок на некоторой поверхности ⊂ R3 с краем , вид которой определяется выбором разреза. Поэтому * удовлетворяетуравнению Гельмгольца (∆ + 2 )* = , ∆ = 2 /2 + 2 / 2 + 2 / 2 , с правой частью , сосредоточенной на поверхности , которую мы называем антенной.
В зависимости отфиксации разреза, поверхность может быть компактна или некомпактна и иметь одну илинесколько компонент связности.В Разделах 2.1 и 2.2 рассматриваются два характерных способа фиксации ветви корня в* , получившие в литературе название beam choice и source choice, соответственно [42]. Вычисляются соответствующие функции источника в уравнении Гельмгольца. В Разделе 2.3рассмотрения Разделов 2.1, 2.2 обобщаются на случай разреза, проведенного вдоль произвольной гладкой несамопересекающейся кривой на комплексной плоскости подкоренного вы-9ражения в * . Оказывается, что при выполнении условий Теоремы 2.3.1, соответствующаяантенна является гладкой поверхностью с краем , симметричной относительно оси .
Вычислению функции источника в общем случае посвящены Разделы 2.3.5–2.3.9. Результатывычислений сформулированы в Теореме 2.3.2.Волновое поле, излучаемое источниками, рассмотренными в Разделах 2.1, 2.2, 2.3, изучается в Разделах 2.4, 2.5, 2.6. Оказывается, что характер поля существенно различаетсядля случаев, когда антенна некомпактна или компактна.
В первом случае параксиальноеполе при больших представляет собой распространяющийся вдоль оси гауссовский пучок, приходящий с −∞ и уходящий на +∞. Во втором случае поле излучается антеннойпреимущественно в направлении оси .В третьей главе рассматривается гармонический “комплексный источник” в случаедвух пространственных переменных. Объектом рассмотрения является комплексифициро(1)ванная функция Грина g* = 0 (r* ) для двумерного уравнения Гельмгольца. Здесь√︀(1)r* = 2 + ( − )2 , а 0 — функция Ханкеля первого рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
