Диссертация (1150781), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Асимптотика может быть переписана следующим образом:(ln(1/)) ()=(1 + ()),(1/)1/() → 0 при → +0.Сделав замену на − , получаем(ln(1/)) (− )=(1 + (− )).−1/( /)( )Отсюда(ln(1/)) (− )− =lim,→+∞( /)1/57причем сходимость равномерна на отрезке [1, ]. Таким образом, для фиксиро­ванного > 0 мы получаем выражение(ln(1/)) = 1 +− − (− ).· lim→+∞ ( /)− ( /)Заметим, что числитель дроби монотонно убывает по , а функция в знамена­теле монотонно растет по при достаточно больших значениях по п.2 Пред­ложения 5.

Введем обозначение− − (− ) (ln(1/)) := lim.→+∞ ( /)− ( /)Как равномерный предел монотонных функций, монотонна. Функция имеетвид1( ) = −( +) ( ).Перейдя к пределу по → 0 и обозначив ( ) := lim ( ), получаем выражение→0( ) = − / ( ),где — тоже монотонная функция.Замечание 8. Для некоторых гриновских интегральных операторов с сингу­лярной арифметически самоподобной весовой мерой (теоремы A, 3, 6), удаетсяпоказать, что ( ) — непрерывная чисто сингулярная функция, то есть ее обоб­щенная производная есть мера, сингулярная относительно меры Лебега.Далее считаем, что все возникающие в асимптотиках периодические функ­ции непрерывны (таким образом выполняются все предварительные требования§ 3), а согласно п.3 Предложения 5, все медленно меняющиеся функции можносчитать 2 -гладкими.Теорема 7.

Пусть оператор в пространстве ℋ имеет спектральную̃︀ имеет асимптотикуасимптотику (0.10), а оператор ̃︀ в пространстве ℋ̃︀ () := (, ̃︀ ) = (−1/̃︀ ), → 0+,̃︀ > .58̃︀ имеет асимптотикуТогда оператор ⊗ ̃︀ в пространстве ℋ ⊗ ℋ(1/) · * (ln(1/))̃︀⊗ () := (, ⊗ ) ∼,1/ → +0,(3.8)где* ( ) :=∑︁̃︀ )) · ̃︀1/( + ln((3.9)— периодическая функция с периодом (ряд сходится, поскольку ̃︀ > ).Доказательство. Поскольку собственные числа тензорного произведения опе­раторов равны произведениям их собственных чисел, имеем̃︀ > } =⊗ () = #{, : ∑︁̃︀ } =#{ : > /∑︁̃︀ ).

(/Таким образом,∑︁1/ ∑︁̃︀ (/ ) =(1/)(︃̃︀ )1/ (/̃︀ )(/̃︀ /)(ln(̃︀ /))()︃ (︃̃︀ /)((1/))︃̃︀ /))̃︀1/ .(ln(Первый множитель равномерно ограничен и стремится к единице при → 0+ввиду (0.10). Второй множитель также стремится к единице, кроме того, по­скольку для любого функция ( ) возрастает при > 0 () по п.2 Предло­жения 5, имеет место оценка ( ) ( ) ( )=61( ) ( )при > 0 (), < 1.Таким образом, для любого > 0 равномерно по < 1 выполняется оценка̃︀ /)(̃︀− ,6 ()(1/)откуда̃︀ /) 1/(̃︀ 6 () · −̃︀(1/−) ,(1/) 59что при выборе достаточно малого (т.ч. (1/̃︀− ) > 1) дает нам оценку,необходимую для применения теоремы Лебега о мажорированной сходимости.Переходя к пределу, получаем (3.8).Замечание 9.

При произвольном выборе функции и оператора ̃︀ функция* ( ), вообще говоря, может вырождаться в константу. Мы можем, например,потребовать ( ) + ( + /2) = 1, = 2 ln 2, а оператор ̃︀ взять конечномер­ным с тремя собственными числами 2 , 2 и 22 . Тогда* ( ) = ( + ln 2) · 2 + ( + ln 2) · 2+( + 2 ln 2) · 22 == 4(( ) + ( + /2)) = .Однако, если ( ) = exp(− /)( ), где ( ) — неубывающая чисто сингу­лярная функция (как в Замечании 8), то никакая линейная комбинация сдвиговне будет постоянной. Более того, можно отметить, что в этом случае функция* ( ) тоже имеет вид** ( ) = exp(− /) ( ),* ( ) =∑︁̃︀ ),( + ln и * ( ) является чисто сингулярной функцией в силу монотонности ( ).Рассмотрим теперь случай, когда операторы имеют совпадающие степен­ные показатели спектральной асимптотики.Теорема 8. Пусть оператор имеет спектральную асимптотику (0.10), аоператор ̃︀ — асимптотику̃︀· (ln(1/))̃︀̃︀ () := (1/), (, ̃︀ ) ∼ 1/ → +0.(3.10)Здесь ̃︀ — медленно меняющаяся функция, ̃︀ имеет период ̃︀.

Тогда для любого > 0 выполняются оценки⎡± () ⎢̃︀ ) +⊗ () ≶ 1/ · ⎣(,) + (,∫︁∓ ()/⎤(︁ )︁ )︁(̃︀(ln )) ⎥()̃︀ln(lñ︀ )⎦(lñ︀ )(︁60равномерно по > 0. Здесь интеграл понимается как интеграл Лебега-Стилтьеса, = ± ()/. При < ∓ ()/ интеграл считаем равным нулю. Коэф­̃︀ ) имеют следующиефициенты ± () → 1 при → 0, а функции (, ), (,асимптотики при → +0:(, ) ∼ (1/) ·∑︁1/̃︀ ))̃︀ ,(ln(1/) + ln(̃︀ >̃︀ ) ∼ (1/)(,̃︀·(︁ ∑︁)︁1/(ln( ))(ln(̃︀) + ln( )) + (1/)(ln(1/))̃︀.

(3.11) >Доказательство. Доказательство следует схеме Теоремы 3.3 в [51]. Докажемоценку сверху, оценка снизу может быть получена аналогично.1/⊗ () = 1/∑︁̃︀ ) + (, ), (/̃︀ <где(, ) = 1/∑︁̃︀ ). (/̃︀ >Асимтотика (, ) получается из Теоремы 7 для конечномерного оператора ̃︀ .̃︀ /̃︀̃︀ .

Тогда Обозначим за ̃︀ обратную функцию к () → 1 при → ∞,а значит̃︀ 6 + ()̃︀− ()̃︀() 6 ()̃︀ < при для некоторых ± (), причем ± () → 1 при → 0.Пользуясь монотонностью , получаем∑︁̃︀ <−1()<̃︀− ()а из монотонности функции ↦→ 1/∑︁̃︀ <(︀)︁,+ ()̃︀()(︁∑︁̃︀ ) 6 (/+ ()̃︀())︀получается−1()∫︁−(︁ () )︁−̃︀ ) 6 1/ (/+ 1/+ ()0 )︁̃︀ ()). (3.12)(−+ ()(︁61Первое слагаемое оценивается как (1/ (1/)), а потому, добавляя его к слага­̃︀ () как меруемому (, ), получаем + ()(, ). Далее, рассматриваем −Лебега-Стилтьеса, и записываем(︁ −(̃︀1̃︀ ′ (1/) )︁(ln(1/))) ̃︀− () = (1/)̃︀̃︀(ln(1/))+ .(ln(1/))̃︀(1/)̃︀(3.13)Плотность второго слагаемого стремится к нулю при → 0, тогда как первоеслагаемое(ln(1/))−(̃︀(ln(1/))) ̃︀== (ln(̃︀())),(ln(1/))̃︀(ln(1/))̃︀где = ln(1/), является положительной периодической мерой, так какln(( + )) = ln(( )) +.Значит, при малых значениях вклад второго слагаемого в (3.13) в интегрализ (3.12) пренебрежимо мал, и этот интеграл можно оценить через+ ()1/−1∫︁−() )︁(1/)(−(̃︀̃︀(ln(1/)))).+ ()(︁0Разбивая на два интеграла и заменяя переменные, получаем оценку+ ()1/∫︁+∞∫︁ ()(̃︀ )(̃︀(ln( ))) + + ()1/ (/ )()(̃︀̃︀(ln )).− ()/Замена во втором интеграле на + () дает в точности третье слагаемое̃︀ ).

Кроме того,желаемой оценки. Первый же интеграл дает слагаемое (,(̃︀ + ()/)→1(1/)̃︀при → 0раномерно по ∈ [, 1 ( )]. Таким образом,∫︁+∞̃︀ ) ∼ (1/)(,̃︀ ()(̃︀(ln( ))1/ ).62Ясно, что () = 0 при > 1 ( ). Интегрируя по частям, получаем асимпто­тику (3.11).В Теоремах 3-5 мы предполагаем, что∫︁∞( ) =1∫︁∞(̃︀ )= ∞.(3.14)1Теорема 9. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8.Пусть, кроме того, выполняется соотношение (3.14), а периоды и ̃︀ соизме­римы, и наименьший общий период этих функций равен . Тогда⊗ () ∼(1/) · ⊗ (ln(1/)),1/ → +0,где () := ( * )()̃︀— медленно меняющаяся функция,( ⋆ )()̃︀1⊗ () =+ ( ⋆ )̃︀ ′ () = −/∫︁( − )̃︀()(3.15)0— непрерывная положительная -периодическая функция.Доказательство.

Фиксируем > 0 и рассматриваем полученную в Теореме 8оценку. Согласно п.1 Предложения 6 имеем(, ) = ((1/)),̃︀ ) = ((1/)),(, → +0.Далее, можем расширить промежуток интегрирования, поскольку, учитывая = ± ()/ и пользуясь п.1 Предложения 6, имеем∫︁ )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )∼(lñ︀ )(︁ )︁(︁∫︁1/(̃︀(ln( /)))∼ (̃︀ ) ()(ln )̃︀(ln( /))= ((1/)),(ln(̃︀/))1 → +0,63∓∫︁()/1(︁ )︁ )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )∼(lñ︀ )(︁∓∫︁()/∼ ( )1 )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )= ((1/)),(lñ︀ )(︁ → +0.Таким образом± ()( * ̃︀̃︀)( )(1 + (1)).1/Применяя теперь Лемму 5, получаем⊗ () ≶)︁( ) (︁ ( ⋆ )̃︀′⊗ () ≶ ± () 1/+ ( ⋆ )̃︀ (ln( ))(1 + (1)),(3.16) → +0.Заметим, кроме того, что ( ) = (1/)(1 + (1)) при → +0.

Отсюда)︂−1⊗ (ln(+ ()) + ln(1/))(1/) · ⊗ (ln(1/))6()·sup,lim sup ⊗ ()+⊗ (ln(1/))1/→+0∈[1, ])︂−1(︂⊗ (ln(− ()) + ln(1/))(1/) · ⊗ (ln(1/))>()·inf.lim inf ⊗ ()−→+0⊗ (ln(1/))∈[1, ]1/(3.17)(︂Функция ⊗ равномерно непрерывна на отрезке, значит, супремум и инфимумв правых частях (3.17) стремятся к единице с уменьшением . Переходим кпределу по → +0, и теорема доказана.Замечание 10. Вопрос о непостоянстве ⊗ остается открытым. Даже еслипредположить, что ( ) = exp(− /)( ), (̃︀ ) = exp(− /)̃︀( ), а функции и ̃︀ чисто сингулярны, мы имеем ⊗ ( ) = exp(− /)⊗ ( ), где1⊗ ( ) =∫︁( − )̃︀().0Ясно, что ′⊗ = ′ ⋆ ̃︀ ′ — свертка сингулярных мер.

Однако свертка сингулярныхмер часто оказывается абсолютно непрерывной относительно меры Лебега (см.,например, [33]).64Теорема 10. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8.Пусть, кроме того, выполняется соотношение (3.14), а периоды и ̃︀ функ­ций и ̃︀ несоизмеримы. Тогда⊗ () ∼(1/)(1/),1/ → +0,где () = ( * )(),̃︀() — некоторая ограниченная и отделенная от нулямедленно меняющаяся функция.Доказательство. Повторим доказательство Теоремы 9 до выражения (3.16).Далее, получим оценку, которую можно применить вместо Леммы 5.Введем функцию ( ) согласно следующему равенству:( * ̃︀̃︀)( ) = ( )(ln ).Функция ограничена и отделена от нуля по Лемме 2.

Убедимся в том, что онаравномерно непрерывна. Имеем)︁(︁ ( )−1 +(ln + ) − (ln ) = (ln + )( ))︃∫︁ (︃ (︁ )︁ (︁ )︁)(ln)((̃︀(ln ))1(︀ )︀ (︀ )︀ − 1 · ln()̃︀̃︀ (ln )++( )(lñ︀ ) ln 1∫︁ (︁ )︁ (︁ )︁(̃︀(ln ))1+· ln()̃︀̃︀ (ln ).( )(lñ︀ )Покажем, что каждое слагаемое здесь стремится к нулю при → 0 равномернопо . Не умаляя общности считаем, что 0 < 6 0 для некоторого 0 . Дляпервого слагаемого напишем формулу конечных приращений:( ) − ( )′ () () ′ ()= ( − )= ( − 1) · ··,( )( ) ( ) ()65где ∈ [, ].

Множительсуществуют пределыограничен. Для последних двух множителей′ ()→ 0,()()→ 1,( ) → ∞,поэтому они тоже ограничены. Таким образом,⃒⃒⃒ ( )⃒⃒⃒ 6 ( − 1) → 0,−1⃒ ( )⃒→0равномерно по ∈ R+ .Аналогично показывается, что во втором слагаемом равномерно стремит­ся к нулю выражение( )(ln ))︀ − 1,(︀ )︀ (︀ ln так как — медленно меняющаяся, — непрерывная, периодическая, ограни­ченная и отделенная от нуля. Остальные сомножители во втором слагаемомдают ограниченную поправку согласно Лемме 2.В третьем слагаемом аналогично Лемме 2 получаем оценку∫︁ (︁ )︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) ln()̃︀̃︀ (ln )= (( ) − ( )),(lñ︀ ) → ∞,и потому оно стремится к нулю так же, как первое.

Таким образом, равномернаянепрерывность доказана.Докажем теперь, что (ln ) — медленно меняющаяся функция. Из опре­деления имеем∫︁ (︁)︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) (ln + )( ) − (ln )( ) = · ln()̃︀̃︀ (ln )+(lñ︀ )∫︁ (︁ (︁)︁(︁ )︁)︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) + ·− ln()̃︀̃︀ (ln ).(lñ︀ )1(3.18)66Левая часть (3.18) с учетом соотношения ( ) = ( )(1 + (1)) переписыва­ется(︀)︀(ln + )( ) − (ln )( ) = (ln + ) − (ln ) ( ) + (( )), → ∞.(3.19)В правой части (3.18) при → ∞ первый интеграл допускает оценку∫︁ (︁)︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) ln()̃︀̃︀ (ln )∼ ·(lñ︀ )∫︁∼ (̃︀ )1(3.20)(︂)︂1(̃︀(ln( )))(ln(̃︀))= (( )).( ) ln(ln(̃︀))Для оценки второго интеграла используется Предложение 9.

Характеристики

Список файлов диссертации