Диссертация (1150781), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поскольку( ) = ( )(1 + (1)) при → ∞, имеем∫︁1 )︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) · ln()̃︀̃︀ (ln )=(lñ︀ )(︁∫︁=1(︁ )︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) ln()̃︀̃︀ (ln )(1 + (1)).(lñ︀ )По Лемме 2 интеграл в правой части можно оценить как (( )), а значит∫︁ (︁ (︁)︁(︁ )︁)︁ (︁ )︁(̃︀(ln )) ·− ln()̃︀̃︀ (ln )= (( )),(lñ︀ ) → ∞.1(3.21)Из (3.19), (3.20), (3.21) следует, что(ln + ) − (ln ) = (1), → ∞.Совершенно аналогично получается, что(ln + ̃︀) − (ln ) = (1), → ∞.67Значит для произвольных 1 , 2 ∈ Z выполняется(ln + 1 + 2 ̃︀) − (ln ) = (1), → ∞.Поскольку периоды несоизмеримы, множество {1 + 2 ̃︀|1 , 2 ∈ Z} плотно вR, а значит, из равномерной непрерывности для любого ∈ R имеем(ln + ) − (ln ) = (1), → ∞.Отсюда, учитывая, что ограничена и отделена от нуля, получаем, что функция( ) := (ln( )) является медленно меняющейся.При некоторых дополнительных условиях можно показать, что = .Теорема 11.
Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 10.Потребуем дополнительно, чтобы для функций и ̃︀ были ограничены следующие величины:⃒⃒⃒ ln()′ () ⃒⃒ 6 ,⃒⃒⃒()⃒⃒′⃒ ln()⃒̃︀()⃒⃒ 6 ,⃒⃒()̃︀ > 1.(3.22)ТогдаC(1/), → +0,1/где () = ( * )(),̃︀а константа C определена в (3.4).⊗ () ∼Доказательство. Мы хотим получить оценку( * ̃︀̃︀)( ) ∼ C( ), → ∞.(3.23)Оценим сперва [, ̃︀̃︀]( ). Для этого проинтегрируем по частям и применимЛемму 6.√⎛ ⎞∫︁ (︁ )︁∫︁(̃︀(ln )) ⎠⎝ (ln )̃︀[, ̃︀̃︀]( ) = ()̃︀(ln )=(lñ︀ )1168√√√= ( )(̃︀ )∫︁ 1(̃︀(ln ))(ln )̃︀(ln )−(lñ︀ )√∫︁ (︁ (︁ )︁∫︁)︁′(̃︀(ln ))−()̃︀(ln )̃︀(ln ) =(lñ︀ )11√∫︁ (︁ (︁ )︁)︁′√√√()̃︀= ( )(̃︀ )(C + (1)) ln( ) −(C + (1)) ln .1Преобразуем главный член асимптотики обратным интегрированием по частям:√∫︁ (︁ (︁ )︁(︁ √)︁′)︁√√C ( )(̃︀ ) ln( ) −()̃︀ln = Cℎ,̃︀ ( ).1Оценим теперь добавки, вносимые каждым из (1).√∫︁ (︁ (︁ )︁)︁′()̃︀Cℎ,ln · (1) =̃︀ ( ) +1√∫︁ [︁ (︁]︁ (︁ )︁ ln()̃︀′ () ln(1/) ( /) ln( /)′ ( /) )︁1++·(1) ·()̃︀==C()̃︀ln( /)( /)1= (C + (1))ℎ,̃︀ ( ).по п.2 Предложения 6, т.
к. выражение в круглых скобках ограничено благодарядополнительным условиям (3.22). По той же причине имеем√∫︁ (︁ (︁ )︁(︁)︁′)︁√√√( )(̃︀ ) ln( )·(1) = (1)· ℎ,()̃︀ln = (ℎ,̃︀ ( )+̃︀ ( )).1Получаем оценку[, ̃︀̃︀]( ) = (C + (1))ℎ,̃︀ ( ).(3.24)69Аналогично, учитывая Лемму 3, получаем1 [, ̃︀̃︀]( ) = [̃︀̃︀, ]( )(1 + (1)) = (C + (1))ℎ,̃︀( ).(3.25)Из асимптотик (3.24) и (3.25) получаем искомую асимптотику (3.23).Замечание 11.
Из дополнительных ограничений (3.22) следует, что для некоторой > 0 выполняются оценки()(ln )− 6 () 6 ()(ln ) ,()(lñ︀)− 6 ()̃︀6 ()(lñ︀)при > . Дополнительные ограничения очевидно имеют место для медленноменяющихся функций вида (1 + ln( ))κ . В общем случае вопрос о постоянствефункции в Теореме 10 остается открытым.Рассмотрим теперь случаи, когда один или оба интеграла медленно меняющихся функций конечны.Теорема 12. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8,и пусть∫︁∞( )< ∞,∫︁∞(̃︀ )= ∞,11а периоды и ̃︀ совпадают и равны . Кроме того, пусть для (, )̃︀ выполняется п.4 Предложения 6. Тогдаℎ,̃︀· ̃︀* (ln(1/))˜ (1/) · ⊗ (ln(1/)) + (1/)⊗ () ∼,1/где ⊗ определена в (3.15), а̃︀* ( ) =∑︁(̃︀ + ln( ))1/(ср. (3.9)).Замечание 12.
Сумма в (3.26) сходится по Предложению 7.Доказательство. Фиксируем > 0. По п.1 Предложения 6 получаем(, ) = (ℎ,̃︀ (1/)), → +0.(3.26)70По п.4 Предложения 5 имеем̃︀ ) ∼ (1/)(,̃︀·(︁ ∑︁(lñ︀ +1/ln ))︁+ () ,где () → 0 при → +0. Остается оценить интегральное слагаемое.∫︁(︁ )︁∓ ()/√∫︁ = )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )=(lñ︀ ) )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )−(lñ︀ )(︁ )︁1∓∫︁()/−√1(︁(︁ )︁ )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )+(lñ︀ )∫︁+(︁()̃︀(︁ )︁(︁(ln )̃︀(ln( /))1/(̃︀(ln( /))).(ln(̃︀/))Первое слагаемое оценивается по Лемме 5. Второе слагаемое можно оценитькак (( )) = (ℎ,̃︀ ( )) при → ∞.
Остается лишь третье слагаемое, котороеоценивается аналогично п.4 Предложения 6:√∫︁∞∫︁ (︁ )︁(̃︀(ln( /)))()̃︀(ln )̃︀(ln( /))6 (̃︀ ) () ,(ln(̃︀/))1/Здесь → ∞.1/∫︁∞()→ 0, → 0,1/а значит, это слагаемое не вносит вклада в асимптотику.Замечание 13. Аналогично Теореме 10, если периоды и ̃︀ несоизмеримы,вместо ⊗ (ln( )) в асимптотике возникает ограниченная и отделенная от нулямедленно меняющаяся функция, равная константе в тех же частных случаях,что и в Теореме 11.71Теорема 13.
Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8,и пусть∫︁∞( ) < ∞,1∫︁∞(̃︀ )< ∞,1а для (, )̃︀ и (,̃︀ ) выполняется п.4 Предложения 6. Тогда(1/) · * (ln(1/)) + (1/)̃︀· ̃︀* (ln(1/)),⊗ () ∼1/где * определена в (3.9), ̃︀* определена в (3.26).Эта теорема доказывается аналогично предыдущей.Замечание 14. В отличие от предыдущих теорем, асимптотика в последнихдвух случаях содержит два слагаемых.
Одно из них может подавляться другим,в этом случае получается снова почти регулярная асимптотика, однако в общемслучае нельзя предсказать их поведение, и возможна ситуация, когда ни одноиз слагаемых не превалирует. В этом случае асимптотика может не являтьсяпочти регулярной.Пример 1. Пусть при → +0lnκ1 (1/) · (ln(1/))lnκ2 (1/) · (ln(1/))̃︀̃︀ (, ) ∼,(,)∼.1/1/Не умаляя общности, можно считать, что ( ) = (1 + ln( ))κ1 , (̃︀ ) = (1 +ln( ))κ2 . Асимптотика меллиновской свертки в этом случае посчитана в Примере 1 работы [51].
Рассмотрим все возможные случаи.Случай 1. κ1 > −1, κ2 > −1. В этом случае применимы Теорема 9, если упериодических функций есть общий период, и Теорема 11 иначе.Если у функций и ̃︀ есть общий период , то⊗ () ∼(1/) · ⊗ (ln(1/)),1/ → +0,72где функция ⊗ определена в (3.15),( ) =⎧⎪⎪B(κ1 + 1, κ2 + 1)(1 + ln( ))κ1 +κ2 +1 , κ1 > −1, κ2 > −1,⎪⎨ln(ln( )) · (1 + ln( ))κ2 ,⎪⎪⎪⎩2 ln(ln( )) · (1 + ln( ))−1 ,κ1 = −1, κ2 > −1,κ1 = κ2 = −1,где B — бета-функция Эйлера. Отметим, что получившаяся асимптотика такжепочти регулярна.Если же периоды и ̃︀ несоизмеримы, то⊗ () ∼C(1/),1/ → +0,где константа C определена в (3.4), и получившаяся асимптотика регулярна.Случай 2.
κ1 < −1 6 κ2 . В этом случае применима Теорема 12, причемпрямым вычислением можно убедиться, чтоℎ,̃︀ )),˜ ( ) = (( → ∞,а значит,lnκ2 (1/) · ̃︀* (ln(1/)),(3.27)1/где ̃︀* определена в (3.26), и получившаяся асимптотика вновь почти регулярна.⊗ () ∼Случай 3. κ1 < κ2 < −1.
В этом случае применима Теорема 13, причем( ) = ((̃︀ )), → ∞,значит, снова имеет место асимптотика (3.27).Случай 4. κ1 = κ2 < −1. В этом случае применима Теорема 13, причем обаслагаемых имеют одинаковый порядок роста, а значит,(︀)︀lnκ1 (1/) * (ln(1/)) + ̃︀* (ln(1/))⊗ () ∼,1/73где * определена в (3.9), ̃︀* определена в (3.26). В случае, когда у функций и ̃︀ есть общий период, эта асимптотика оказывается почти регулярной, однаков случае, когда периоды несоизмеримы, получается почти регулярная асимптотика с квазипериодической компонентой.§ 3.Приложение к задаче об асимптотике малых уклоненийслучайных гауссовских процессовИзучение задачи малых уклонений было инициировано в работе [27] ипродолжено множеством других исследователей. Истории задачи и основнымрезультатам посвящены обзоры [56] и [55].
Сcылки на недавние результаты вобласти малых уклонений случайных процессов можно найти на сайте [66].Изучение малых уклонений гауссовских полей типа тензорного произведения было начато в классической работе [32], где логарифмическая асимптотика2 -малых уклонений была получена для броуновского листаW (1 , . . .
, ) = 1 (1 ) ⊗ 2 (2 ) ⊗ . . . ⊗ ( )в единичном кубе (здесь — независимые винеровские процессы). Этот результат был позже обобщен в работе [54] на некоторые другие маргинальныепроцессы. В работах [51] и [50] результаты о малых уклонениях широких классов гауссовских полей типа тензорного произведения были получены как следствие результатов о спектральной асимптотике соответствующих операторов.Мы хотим аналогичным образом вывести из доказанных в § 2 этой главырезультатов о спектральной асимптотике тензорных произведений оператороврезультаты о малых уклонениях соответствующих им гауссовских полей. Мырассмотрим общий случай = () :=() · (ln()),(3.28)74где > 1, а функция равномерно непрерывна на R, ограничена, отделена отнуля, причем функция () монотонна на R.
Для этого используется предложение 8.Начнем с анализа асимптотики ′ () при → +∞. В нашем случае′ () = −∞∑︁=1()(ln())→ −∞,+ 2()(ln()) → +∞.Поскольку () — убывающая функция, можно оценить∞∑︁=1()(ln())> + 2()(ln())>∫︁∞()(ln()) > + 2()(ln())1∞∑︁()(ln())∼ −′ (), + 2()(ln())=2и потому′ () ∼ 1 () := −∫︁∞()(ln()) .
+ 2()(ln())1Заменив промежуток интегрирования на (0, ∞) и выполнив подстановку = () := −1 (1/) = (),() := −1 (1/) ∼ 1/ ()(ln()), → ∞,где — медленно меняющаяся, а — равномерно непрерывная, ограниченная,отделенная от нуля функция, получим∫︁∞1 () = −() ·0+ (1),(())2 + ·(())(ln(()))Из выражения 1/ = (()) мы получаем формулу(()) / = (()/)(ln(()/)). → ∞.75Подставляя ее в интеграл и учитывая определение (), получаем∫︁∞1 () = −() ·0+ (1),(())(ln(()))2+ ·(())(ln(())) → ∞.Легко видеть, что(ln(())) = (︁ ln())︁+ ln() (1 + (1)), → ∞.Заметим также, что согласно п.2 Предложения 5, для любого > 0 отношение()/ убывает при больших , а значит при > 11 () ()()()= · ·> .() ()Это дает нам мажоранту, позволяющую использовать теорему Лебега. В результате имеем1 () = −1/ () ·∫︁∞0+ (1),(ln()/)2 + ·(ln()/ + ln()) → ∞.(3.29)Поскольку интеграл — равномерно непрерывная, ограниченная и отделеннаяот нуля функция ln(), получаем′ () ∼ −−−1()1 (ln()), → ∞,(3.30)где — медленно меняющаяся функция из асимптотики , а 1 — равномернонепрерывная, ограниченная и отделенная от нуля функция.Аналогично получаем2′′∫︁∞ () ∼ 21(()(ln()))2 ≍ 1/ (),2( + 2()(ln()))(3.31)761() ∼ − 1/ ()(ln()) ·2∫︁∞(︂2(ln()/ + ln())ln 1 + (ln()/))︂.0Поскольку ′′ () > 0, уравнение ′ () + = 0 имеет для достаточно малых единственное решение (), такое, что () → ∞ при → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
