Диссертация (1150781), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть мера принадлежит классу самоподобных мер с условиями (0.2). Тогда коэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.(1)(2)∞∞Доказательство. Пусть { }∞=0 , { }=0 и { }=0 — последовательностьзанумерованных в порядке возрастания собственных значений уравнения (1.3),32отвечающих граничным условиям : ′ (0) = ′ (1) = 0,′(1)′(1)(1) : (0) − (0) = (1) + (1) = 0,′(2)′(2)(2) : (0) − (0) = (1) + (1) = 0,где параметры (1) and (2) введены в Теореме 2.Положим () := − ( + ), где — считающая функция . Заме(︀)︀тим, что из соотношений (3) и (0.4) следует () = ()+(1) при → +∞,а значит при всех ∈ [0, ] существует предел () = lim ().→∞Очевидно, что () монотонна как предел монотонных функций.
Утверждение Теоремы 3, таким образом, сводится к утверждению о сингулярностифункции ().Докажем, что () и +1 () для всех ∈ [0, ] различаются не более чемна − . Действительно, в силу (0.4) мы имеем| () − +1 ()| = −−1 | ( + ) − ( −1 + )|.Для < + 6 +1 верно ( + ) = + 1, а из (1.2) можно увидеть, что + 1 6 ( −1 + ) 6 ( + 1). Отсюда значение модуля в правой части непревышает , и утверждение доказано.Далее, в силу равенства (1.2) независимо от выбора индекса ∈ N длявсех ∈ [0, ], удовлетворяющих при некотором ∈ N неравенствам(+1)−1 < (+1) + < (+1) ,(1.4)значения функций и +1 совпадают. Оценим меру множества всех прочих. Если для ∈ [0, ] не выполняется (1.4), то для него верно следующее:∞(︁ ⋃︁[︀]︀ )︁( + 1) + ∈ln , ln (+1)−1 ∩ [( + 1), ( + 2) ].=033Оценим последовательность частичных сумм ряда∞∑︁| ln (+1)−1 − ln | 6=1+∞∑︁=1∞∑︁(2)| ln (+1)−1 − ln (+1)−1 | +(2)| ln (+1)−1 − ln |.=1Оценим отдельно каждую сумму.∞∑︁| ln (+1)−1 −(2)ln (+1)−1 |=16∞∑︁| ln − ln (2) | 6 .=1Здесь первое неравенство получается расширением множества слагаемых, а второе — применением Предложения 3.∞∑︁(2)| ln (+1)−1− ln | ==16∞∑︁=1∞∑︁(2)ln (+1)−1 − ln 6ln (1)− ln ==1∞∑︁| ln (1) − ln | 6 .=1Здесь первое неравенство следует из Теоремы 2, второе из Предложения 3, равенства верны в силу соотношений(2)(+1)−1 > (2) > ,(1) > .∞ [︀]︀⋃︀Таким образом мы показали, что мера множестваln , ln (+1)−1 огра=0ничена, а это значит, что после пересечения с уходящими на бесконечностьотрезками [( + 1), ( + 2) ] мы получим, чтоmes { ∈ [0, ] : +1 () ̸= ()} = (1),Соответственно, справедливы оценки‖+1 − ‖2 [0, ] = (− ), → ∞.34а тогда и вытекающая из них асимптотика‖ − ‖2 [0, ] = (− ).Убедимся, что число точек разрыва функций допускает при → ∞ оценку( ).
Используя соотношение (1.2), получим следующее неравенство:+ + 1 = (+ ) = ( −− 1 ) > ( + )для любого целого > (1 − −1 ln 1 ). Остается заметить, что число разывовфункции () на отрезке не превосходит ее значения на правом конце.Таким образом, функция вместе с последовательностью кусочно постоянных приближений удовлетворяют всем условиям Предложения 4, что идоказывает утверждение теоремы.35Глава 2. Задача Штурма-Лиувилля с арифметически самоподобнымвесом.
Асимптотика спектра в случае общего резонанса§ 1.Вспомогательные свойства спектраОбозначим через ([,]), > 0, собственные числа задачи{︃− ′′ = , ′ () = ′ () = 0,а через (, [,]) = #{ : ([,]) < }их считающую функцию. Заметим, что во всех случаях 0 ([,]) = 0.Из самоподобия меры следует такое утверждение.Лемма 1. ( ) = − ([0,1]), (, ) = ( , [0,1]).Доказательство. Второе утверждение напрямую следует из первого.
Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим отвечающую собственному числу ( )собственную функцию и построим функцию на [0,1] по следующей формуле: = ∘ ,где — определенное в § 1 главы 0 аффинное сжатие. Ясно, что удовлетворяет граничным условиям Неймана на концах отрезка [0,1], и для него выполняется следующее соотношение: ′′ = (′′ ∘ ) · ( − )2 = ( )( − )2 · ( ∘ ) · ( ∘ ).36Заметим также, чтоC ∘ = (C ) ∘ = · ( + (−1) C ) +−1∑︁ ,=1откуда взятием производной получаем ∘ = ( − )−1 ,а значит, ′′ = ( ) ( − ) = ( ) .Таким образом, функция отвечает собственному числу ( ) задачи Неймана на отрезке [0,1] и имеет на нем ровно корней, а значит, утверждениедоказано.Докажем теперь основные утверждения этого параграфа.Теорема 4.
Пусть 1 = [1 , 1 ], 2 = [2 , 2 ] — подотрезки [0,1], и пусть2 − 1 > 0, а |[1 ,2 ] ≡ 0. Обозначим := [1 , 2 ]. Тогда функция () := (, ) − (, 1 ) − (, 2 )(2.1)имеет разрывы в точках (), (1 ), (2 ). При этом элементы набо∞∞ров { ()}∞=0 и { (1 )}=0 ∪ { (2 )}=0 нестрого чередуются начиная с∞элемента второго набора, и в точках { (1 )}∞=0 ∪ { (2 )}=0 функция меняет значение с 0 на −1, а в точках { ()}∞=0 , не содержащихся в∞{ (1 )}∞=0 ∪ { (2 )}=0 , меняет значение с −1 на 0.Доказательство. Зафиксируем отвечающую собственному значению (1 )собственную функцию . Построим функцию ∈ () следующим образом: = на отрезке 1 , ≡ (1 ) на отрезке [1 , 2 ],37наконец, на отрезке 2 определим как решение задачи Коши⎧⎪− ′′ = (1 ),⎪⎨(2 ) = (1 ),⎪⎪⎩ ′ (2 ) = 0.Нетрудно видеть, что получившаяся функция непрерывно дифференцируема иявляется решением задачи{︃− ′′ = (1 ), ′ (1 ) = ′ (2 ) + (2 ) = 0, ′ (2 )(если (2 ) = 0, то полагаем = ∞).(2 )Обозначим через 1 и 2 число корней функции внутри отрезков 1 игде := −2 соответственно.
Число (1 ) является собственым числом задачи НейманаРобена (или задачи Неймана-Дирихле при = ∞) на отрезке , имеющимвнутри него 1 + 2 корней, а поскольку в силу вариационного принципа собственные числа задачи монотонно зависят от , то можно, учитывая Предложение 2, написать следующие оценки:1 +2 () < (1 ) < 1 +2 +1 ()1 +2 −1 () < (1 ) 6 1 +2 ()при > 0 или = ∞,(2.2)при 6 0.Заметим, что по определению считающей функции ( (), ) = , ( () + 0, ) = + 1,для всех > 0, что позволяет переписать оценки (2.2) в виде следующей формулы:{︃ ( (1 ), ) =1 + 2при 6 0,1 + 2 + 1иначе.(2.3)Рассмотрим теперь функцию |2 . Она является собственной функцией Неймана-Робена с параметром на 2 , отвечающей собственному числу (1 ) иимеющей 2 корней, а значит, рассуждением, аналогичным предыдущему, по38лучаем формулу{︃ ( (1 ), 2 ) =2при 6 0,2 + 1иначе.(2.4)Заметим, также, что в силу Предложения 2 = ( (1 ), 1 ) = 1 .(2.5)Складывая формулы (2.3), (2.4), (2.5), приходим к выводу, что ( (1 )) = ( (1 ), ) − ( (1 ), 1 ) − ( (1 ), 2 ) = 0.Если (1 ) — одновременно точка разрыва двух считающих функций, то = 0,а значит она оказывается точкой разрыва всех трех.
Поэтому во всех случаях ( (1 ) + 0) = −1,так как при увеличении аргумента изменяется на единицу либо только слагаемое ( (1 ), ), либо все три слагаемых изменяются на единицу одновременно.Точно так же, начиная строить для (2 ) функцию с 2 и продолжаяна оставшиеся части отрезка, получаем ( (2 )) = 0, ( (2 ) + 0) = −1.Во всех остальных точках разрывов (в точках разрывов (,), не являющихся разрывами других слагаемых) функция может только увеличиваться итолько на 1, а потому наборы { ()} и { (1 )} ∪ { (2 )} должны нестрогочередоваться, и для , для которых () ̸∈ { (1 )} ∪ { (2 )}, выполняется ( ()) = −1, ( () + 0) = 0.Кроме того, (0) = 0, и в нуле сосредоточены три собственных числа 0 () =0 (1 ) = 0 (2 ), а первая ненулевая точка разрыва — это собственное значение391 ().
Таким образом, чередование начинается с элемента набора { (1 )} ∪{ (2 )}.Замечание 7. В доказательстве Теоремы 4 не используется условие −−1 >0, поэтому она верна и в случае лестницы, имеющей пустые промежуточные отрезки. Кроме того, в нем используются осцилляционные свойства собственныхфункций (Предложение 2), но не используется самоподобие меры .В случае, когда = 2, 1 = 2 = 1, из Теоремы 4 с учетом Леммы 1следует, в частности, соотношение ( −1 ) = 2 ( )и соответствующее ему свойство спектральной периодичности 2 = .Пусть выполнены предположения теоремы 4. Определим согласно со∞отношению (2.1).
Обозначим за { ()}∞=0 элементы набора { (1 )}=0 ∪{ (2 )}∞=0 , упорядоченные по возрастанию. Согласно теореме 4 имеем () = −1⇐⇒∈∞⋃︁( (), ()].=0Напомним, что 0 () = 0 () = 1 () = 0, но остальные (), ()положительны, и мы хотим показать, что множество {ln > 0 : () = −1}имеет конечную меру, т.е.⃒⃒∞⃒ ⋃︁⃒⃒⃒⃒ (ln (), ln ()]⃒ < +∞.⃒⃒=2Теорема 5. Пусть выполнены предположения теоремы 4 и пусть 2 − 1 > 0.Тогда∞∑︁=2| ln () − ln ()| < +∞.40Доказательство. Обозначим через (1 ) собственные числа задачи⎧⎪⎨ − ′′ = ,⎪⎩ ′ (1 ) = ′ (1 ) +2· (1 ) = 0,2 − 1через (2 ) – собственные числа задачи⎧⎪⎨ − ′′ = ,2⎪· (2 ) = ′ (2 ) = 0.⎩ ′ (2 ) −2 − 1Зафиксируем отвечающую () собственную функцию и рассмотрим еесужение на отрезки 1 и 2 .
Поскольку |[1 ,2 ] ≡ 0, то |[1 ,2 ] – линейная функция, а значит, выполняется соотношение (2 ) (1 )−= 2 − 1 .′ (2 ) ′ (1 )Отсюда следует, что (2 ) 2 − 1 (1 ) 2 − 1>или−>,′ (2 )2′ (1 )2а значит выполняется одна из следующих оценок:′ (1 )206−6, (1 ) 2 − 1либо(2.6)′ (2 )2066. (2 ) 2 − 1Заметим, что () является собственным числом задачи{︃− ′′ = , ′ (1 ) = ′ (1 ) + · (1 ) = 0,′ (1 )при = −. Его номер совпадает с количеством нулей функции на (1 )отрезке 1 . Заметим также, что (1 ) является собственным числом той же41(1)задачи при = 0 для любого ∈ N, а — собственным числом той же2задачи при =.2 − 1В силу вариационного принципа, это означает, что если выполняется (2.6),то(1) (1 ) 6 () 6 ,где — число нулей на отрезке 1 . Иначе, аналогичные доводы влекут(2) (2 ) 6 () 6 ,где — число нулей на отрезке 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
