Диссертация (1150781), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Более того,соотношение (3.30) дает() ∼ − −1 (1/)2 (ln(1/)), → 0,(3.32)где — медленно меняющаяся, а 2 — равномерно непрерывная, ограниченнаяи отделенная от нуля функции.Подставляя (3.31) в (0.13), заключаем, чтоln P{︃ ∞∑︁}︃()2 6 ∼ () + = () − ′ () ∼=11/∼ −∫︁∞ [︃()(ln()) ·0−)︂(︂2(ln()/ + ln())1−ln 1 +2 (ln()/)]︃(3.33)1.(ln()/)2 + ·(ln()/ + ln())Нам остается лишь заметить, что стоящее под интегралом выражение1ln(1 + 2) −22 + 1положительно, поэтому интеграл есть равномерно непрерывная положительнаяфункция ln(), ограниченная и отделенная от нуля.

Подставляя полученнуювыше асимптотику и заменяя на 2 , можем сформулировать следующуютеорему.Теорема 14. Пусть собственные числа ковариационного оператора (0.12)имеют вид (3.28). Тогда при → 02ln P {‖‖ 6 } ∼ −− −1 (1/)(ln(1/)),(3.34)77где — медленно меняющаяся функция, — равномерно непрерывная, огра­ниченная и отделенная от нуля функция. Более того, если функция в(3.28) асимптотически -периодическая, то функция может быть выбрана (−1)2 -периодической.Доказательство. Первое утверждение следует из (3.33) и (3.32), если заменить на 2 .

Далее, если асимптотически -периодическая,то функция асимп­тотически -периодическая, а по теореме Лебега легко проверить, что асимпто­тически -периодическими от ln() будут и интегралы в (3.29) и (3.33). Такимобразом, функция 1 в (3.30) асимптотически -периодическая, значит 2 в(3.32) асимптотически (−1)-периодическая.(3.32) следуетln() =Остается лишь заметить, что изln(1/)(1 + (1)), → 0,−1а значит в (3.33) интеграл и функция (ln()) являются асимптотически (−1)-периодическимифункциями ln(1/), и второе утверждение теоремы так­же доказано.Пример 2.

Продемонстрируем применение теорем из § 2 на примере броунов­ского листаW (1 , . . . , ) = 1 (1 ) ⊗ 2 (2 ) ⊗ . . . ⊗ ( )в единичном кубе с нормой 2 (), где =⨂︀ , и каждая из мер является=1самоподобной мерой обобщенного канторовского типа. Спектральные асимпто­тики операторов-множителей в этом случае известны из [52] и [67]: () ∼ (ln(1/)),1/ → 0+,где — непрерывны и -периодичны, > 1. Данные степенные асимптотикирассмотрены в Примере 1 и отвечают случаю κ1 = κ2 = 0.Для некоторых мер функции могут быть константами, но в главах1 и 2 приведены широкие классы мер, для которых доказано непостоянствопериодических функций.78Пусть p := 1 = min . Первым шагом мы применяем Теорему 7 длякаждого оператора, для которого > p, перемножая его с первым.

В результа­те можно считать, не умаляя общности, что все оставшиеся операторы имеютодинаковую степень асимптотики.Если среди оставшихся операторов хоть у одного вырождена периодиче­ская компонента, у произведения она также будет вырождена. Если хотя бы двапериода несоизмеримы, то у произведения соответствующих операторов перио­дическая компонента выродится в константу согласно Примеру 1, и в результатевыродится в константу периодическая компонента всего произведения.Если же все периоды соизмеримы, то в результате применения Примера1 мы получим(d) lnd−1 (1/)⊗ (ln(1/)),⊗ () ∼1/p → 0+,(d)где d — число степенных показателей, равных p, ⊗ получается итерированиемформулы (3.15) нужное количество раз.

Это позволяет применять для данно­го гауссовского поля Теорему 14, более того, прямыми вычислениями можноубедиться, что в формулах (3.32) и (3.34)(1/) ∼ ln(1/) ∼ ln(d−1)pp−1(d−1)pp−1(1/), → 0,(1/), → 0.Таким образом, при → 0 имеем2ln P {‖W ‖ 6 } ∼ −− p−1 lnгде — некоторая (p−1)2p -периодическая(d−1)pp−1(1/)(ln(1/)),функция.Разберем простейший случай, когда все меры одинаковые и канторовские.Для этого случая известны значения параметров = log2 6, = ln 6.79Подставляя эти значения в асимптотику, при → 0 получаемln P {‖W ‖ 6 } ∼ −−2 log3 2 ln(−1) log3 6 (1/)(ln(1/)),где — некотораяln 32 -периодическаяфункция.Замечание 15.

Аналогичные результаты имеют место, если вместо винеров­ских рассмотреть другие независимые гриновские гауссовские процессы. При­меры хорошо известных гриновских гауссовских процессов можно найти в [20].80ЗаключениеВ данной диссертации рассматривается задача Неймана для уравненияШтурма-Лиувилля с сингулярной самоподобной весовой мерой обобщенногоканторовского типа. Исследуется главный член спектральной асимптотики этойзадачи. Кроме того, исследуется асимптотика спектра оператора типа тензор­ного произведения с почти регулярными маргинальными асимптотиками.

По­лучены следующие результаты.Свойство спектральной периодичности, выполненное в случае “ровной”лестницы для задач Неймана и Робена обобщено на случай резонанса 1:1:...:1.Для задачи Неймана в этом случае доказана спектральная периодичность, адля задачи Робена — определенная в данной диссертации спектральная квази­периодичность.В случае общего резонанса доказаны теоремы, описывающие связь междуспектрами задачи на отрезке и подотрезках, содержащих носитель меры. Этитеоремы заменяют спектральную периодичность и квазипериодичность при до­казательстве теоремы A.Теорема A доказана для лестниц с ненулевыми промежуточными интер­валами. Для доказательства в случае резонанса 1:1:...:1 использованы свойстваспектральной периодичности и квазипериодичности.

Для случая общего резо­нанса существенно изменена схема доказательства и использованы теоремы,описанные в предыдущем абзаце.Введено определение почти меллиновской свертки, обобщающей сверт­ку Меллина на случай функций с периодической компонентой. Исследованыасимптотические свойства почти меллиновской свертки.Главный член спектральной асимптотики тензорного произведения ком­пактных операторов с почти регулярной спектральной асимптотикой получендля всех возможных комбинаций параметров маргинальных асимптотик.Возможные направления для дальнейшей работы: обобщение результатово спектральной асимптотике задачи Штурма-Лиувилля с сингулярной самопо­добной весовой мерой на более широкие классы лестниц, а также на случайуравнения произвольного четного порядка.81Список литературыЛитература на русском языке1.

Бирман М. С., Соломяк М. З. Асимптотика спектра слабо полярных инте­гральных операторов // Известия Академии Наук СССР. Отделение мате­матических и естественных наук. Серия математическая. — 1970. — Т. 34,№ 6. — С. 1143—1158.2. Бирман М. С., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженныхоператоров в гильбертовом пространстве. — Санкт-Петербург : Лань, 2010.3.

Борзов В. В. О количественных характеристиках сингулярных мер // Про­блемы математической физики. — 1970. — Т. 4. — С. 42—47.4. Владимиров А. А. К осцилляционной теории задачи Штурма–Лиувилля ссингулярными коэффициентами // Журнал вычислительной математикии математической физики. — 2009. — Т. 49, № 9.

— С. 1609—1621.5. Владимиров А. А. О вычислении собственных значений задачи Штур­ма–Лиувилля с фрактальным индефинитным весом // Журнал вычисли­тельной математики и математической физики. — 2007. — Т. 47, № 8. —С. 1350—1355.6. Владимиров А. А. Об одном классе сингулярных задач Штурма–Лиувилля[Электронный ресурс] // arXiv.org. — 2012. — https://arxiv.org/abs/1211.2009.7.

Владимиров А. А. Осцилляционный метод в задаче о спектре дифференци­ального оператора четвертого порядка с самоподобным весом // Алгебраи анализ. — 2015. — Т. 27, № 2. — С. 83—95.8. Владимиров А. А., Шейпак И. А. Асимптотика собственных значений за­дачи высшего четного порядка с дискретным самоподобным весом // Ал­гебра и анализ. — 2012. — Т.

24, № 2. — С. 104—119.829. Владимиров А. А., Шейпак И. А. Асимптотика собственных значений за­дачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом // Математи­ческие заметки. — 2010. — Т. 88, № 5. — С. 662—672.10. Владимиров А. А., Шейпак И. А.

Индефинитная задача Штурма-Лиувил­ля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов // Функцио­нальные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, Сборникстатей, Тр. МИАН. — 2006. — Т. 255. — С. 88—98.11. Владимиров А. А., Шейпак И. А. О задаче Неймана для уравнения Штур­ма–Лиувилля с самоподобным весом канторовского типа // Функциональ­ный анализ и его приложения.

— 2013. — Т. 47, № 4. — С. 18—29.12. Владимиров А. А., Шейпак И. А. Самоподобные функции в простран­стве 2 [0,1] и задача Штурма–Лиувилля с сингулярным индефинитнымвесом // Математический сборник. — 2006. — Т. 197, № 11. — С. 13—30.13. Золотарев В. М. Асимптотическое поведение гауссовской меры в 2 //Проблемы устойчивости стохастических моделей. — 1984. — С. 54—58.14. Ибрагимов И.

А. О вероятности попадания гауссова вектора со значениямив гильбертовом пространстве в сферу малого радиуса // Записки научныхсеминаров ЛОМИ. — 1979. — Т. 85. — С. 75—93.15. Кац И. С., Крейн М. Г. Критерий дискретности спектра сингулярной стру­ны // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1958. — № 2. —С. 136—153.16. Крейн М. Г. Об обратных задачах для неоднородной струны // ДокладыАкадемии Наук СССР. — 1952. — Т.

82, № 5. — С. 669—672.17. Крейн М. Г. Об одном обобщении исследований Стилтьеса // ДокладыАкадемии Наук СССР. — 1952. — Т. 87, № 6. — С. 881—884.18. Крейн М. Г. Определение плотности неоднородной симметричной струныпо спектру // Доклады Академии Наук СССР. — 1951. — Т. 76, № 3. —С. 345—348.19. Лифшиц М.

Характеристики

Список файлов диссертации