Диссертация (1150781), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Из общейвариационной теории (см. [2, § 10.3]) потому следует, что считающие функциисобственных значений граничных задач, отвечающих одному и тому же уравнению, но разным граничным условиям, не могут различаться более, чем на 2.Таким образом, главный член спектральной асимптотики не зависит от граничных условий.Кроме того, из [59, Теорема 3.2] (см. также [62, Лемма 5.1] для простого вариационного доказательства) следует, что относительно компактные возмущения оператора (например, младшие члены) не влияют на главный членасимптотики (3).22В связи с вышесказанным, основные результаты в главах 1 и 2 будут сформулированы для задачи Неймана{︃− ′′ = , ′ (0) = ′ (1) = 0,(0.7)где весовая мера представляет собой обобщенную производную самоподобной функции обобщенного канторовского типа, хотя некоторые вспомогательные результаты будут касаться собственных чисел задачи Робена для того жеуравнения.Произведение отношений собственных чиселПредложение 3. ([11, Утверждение 5.2.1]) Пусть { }∞=0 — последовательность занумерованных в порядке возрастания собственных значенийграничной задачи (0.7) с самоподобным весом, а { }∞=0 — аналогичная последовательность для отвечающей тому же уравнению граничной задачи ′ (0) − 0 (0) = ′ (1) + 1 (1) = 0,где 0 , 1 > 0.
Тогда∞∑︁| ln − ln | < +∞.=1Замечание 4. Этот результат можно переписать следующим образом:∞∏︁=1 = exp∞∑︁| ln − ln | < +∞.=1Более общие результаты, касающиеся похожих произведений отношений собственных чисел, рассмотрены в работе [21].23§ 3.Критерий сингулярностиПредложение 4. ([11, Утверждение 4.1.3]) Пусть ∈ 2 [0,1] — ограниченная непостоянная неубывающая функция, { }∞=0 — последовательностьнеубывающих непостоянных ступенчатых функций, а {A }∞=0 — последовательность множеств точек разрыва функций .
Пусть также при → ∞выполняется асимптотическое соотношение#A · ‖ − ‖2 [0,1] = (1).Тогда монотонная функция является чисто сингулярной (т.е. ′ сингулярна относительно меры Лебега).Замечание 5. Другие критерии сингулярности функции, например, в терминах приближения по норме , > 1, а также их многомерные аналоги и критерии свободные от условия монотонности, можно найти в работах [28], [29].§ 4.Вспомогательные сведения о медленно меняющихся функцияхНапомним, что положительная функция ( ), > 0, называется медленноменяющейся (на бесконечности), если для любой постоянной > 0( )/( ) → 1,при → +∞.(0.8)Известны следующие простые свойства медленно меняющихся функций (доказательства можно найти, к примеру, в [65]).Предложение 5.
Пусть — медленно меняющаяся функция. Тогда выполняются следующие свойства:1. Сходимость в (0.8) равномерна по ∈ [,] при любых 0 < < <+∞.2. Функция ↦→ ( ), ̸= 0, монотонна при больших значениях .243. Существует эквивалентная медленно меняющаяся функция ∈ 2 (R) (то есть ( )/( ) → 1 при → ∞), такая что · (ln())′ ( ) → 0,4. Если∫︀ ∞1 2 · (ln())′′ ( ) → 0, → ∞.( ) < ∞, то ( ) → 0 при → ∞.Следуя [51], мы определяем свертку Меллина двух медленно меняющихсяфункций и :∫︁( * )( ) =()( /)= ℎ, ( ) + ℎ, ( ),1где√∫︁ ℎ, ( ) =()( /).1Предложение 6 ([51], Теорема 2.2).
Выполняются следующие свойства:∫︀ ∞1. Если 1 ( ) = ∞, то ( ) = (ℎ, ( )) при → ∞.2. Если ( ) = 1 ( )(1 + (1)) при → ∞, тоℎ, ( ) = ℎ,1 ( )(1 + (1)),Если вдобавок∫︀ ∞1 → ∞.( ) = ∞, тоℎ, ( ) = ℎ1 , ( )(1 + (1)), → ∞.3. ℎ, — медленно меняющаяся функция.∫︀ ∞4. Пусть 1 ( ) < ∞, и, кроме того,∞∫︁() ()1где< ∞,( /).
> 2 ( ) () = sup25Тогда∫︁∞ℎ, ( ) = ( )()· (1 + (1)), → ∞.(0.9)1§ 5.Почти регулярная спектральная асимптотикаДля асимптотики (7) имеет место следующий факт, являющийся аналогомЛеммы 3.1 из [51], который мы приведем без доказательства.Предложение 7. Следующие утверждения равносильны:1. Для считающей функции собственных значений оператора имеетместо асимптотика (, ) ∼ () :=(1/) · (ln(1/)),1/ → +0,(0.10)где > 0, — медленно меняющаяся функция, — -периодическаяфункция.2. Для собственных чисел оператора имеет место асимптотика ( ) ∼() · s(ln()), → +∞,(0.11)где > 0, — медленно меняющаяся, s — /-периодическая функция.Более того, сходимость интеграла∑︀ 1/ ( ).§ 6.∫︀ ∞1( ) равносильна сходимости рядаМалые уклонения случайных гауссовских процессовНапомним некоторые определения из теории малых уклонений в 2 гауссовских случайных функций.26Пусть есть гауссовская случайная функция (), ∈ ⊆ R , с нулевымсредним и ковариационной функцией (, ) = ()(), , ∈ .
Пусть — конечная мера на . Положим‖‖ =(︁ ∫︁)︁1/2 ()()2Логарифмической асимптотикой малых уклонений в 2 называется асимптотика ln P{‖‖ 6 } при → 0.Согласно хорошо известному разложению Кархунена-Лоева (см. например[19, § 12]) выполняется равенство по распределению‖()‖2 =∞∑︁ 2 ,=1где , ∈ N, — независимые стандартные гауссовские случайные величины, а∑︀ > 0, ∈ N, < ∞ — собственные числа интегрального уравнения∫︁ () = (, ) ()().(0.12)Таким образом, задача сводится к изучению асимптотического поведения при∑︀22 → 0 величины ln P{ ∞=1 6 }.
Согласно [61], при некоторых технических ограничениях ответ зависит только от главного члена асимптотики считающей функции последовательности .Случай чисто степенной асимптотики ∼ − , > 1, известен из работ[68], [13], [34], [14]. В работе [51] рассматривается случай регулярного асимптотического поведения, а в работе [20] — почти степенной случай с периодическиммножителем.В § 3 главы 3 мы рассмотрим более общий случай = () :=() · (ln()),где > 1, а функция равномерно непрерывна на R, ограничена, отделена отнуля, причем функция () монотонна на R.27Функция () удовлетворяет условиям Теоремы 2 из статьи [57], котораядля данного случая выглядит так:Предложение 8.P{︃ ∞∑︁}︃()2 6 =1где() =∞∑︁exp(() + )∼ √︀,22 ′′ ()ln (()), → 0,(0.13) () := (1 + 2)−1/2 ,=1 = () — любая функция, удовлетворяющая′ () + lim √︀= 0.→0′′ ()Пусть теперь есть два гауссовских процесса (), ∈ 1 ⊆ R1 , и (), ∈ 2 ⊆ R2 , с нулевыми средними и ковариационными функциями (, ),, ∈ 1 , и (, ), , ∈ 2 , соответственно.
Рассмотрим новую гауссовскую функцию (, ), ∈ 1 , ∈ 2 , с нулевым средним и ковариацией ((, ),(, )) = (, ) (, ). Такая гауссовская функция очевидно существует, а интегральный оператор с ядром является тензорным произведением операторов с ядрами и . Поэтому мы используем обозначение = ⊗ и называем процесс тензорным произведением процессов и .⨂︀Обобщение на большее число множителей с получением =1 очевидно.28Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля с арифметически самоподобнымвесом.
Асимптотика спектра в случае резонанса 1:1:. . . :1§ 1.Спектральная периодичностьРассмотрим краевую задачу Неймана{︃− ′′ = , ′ (0) = ′ (1) = 0,(1.1)где — самоподобная сингулярная мера. Подставляя в интегральное тождество∘(0.6), отвечающее данной задаче, функции ∈ 12 [,], устанавливаем, что производная ′ является первообразной сингулярной меры без атомов −, откуда следует, что ∈ 1 [,]. Аналогичное утверждение верно также для краевойзадачи Робена.Теорема 1. Пусть для первообразной меры выполняются условия (0.2), ипусть { }∞=0 — последовательность занумерованных в порядке возрастаниясобственных значений задачи (1.3). Тогда независимо от выбора индекса ∈ Nвыполняется равенство = .(1.2)Доказательство.
Схема доказательства повторяет [11, п. 3.1.1]. Зафиксируемотвечающую собственному значению собственную функцию . Сопоставимей функцию ∈ [0,1], удовлетворяющую следующим условиям: = · ( ∘ −1 ) на отрезках ,кроме того, продолжим ее константами на промежуточные отрезки. Не равные нулю величины подбираются таким образом, чтобы совпали значенияфункции на концах промежуточных интервалов. Нетрудно видеть, что получившаяся функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет равенству ′ (0) = ′ (1) = 0.29Легко проверить, используя (0.2), что функция представляет собой собственную функцию краевой задачи (1.3), отвечающую собственному значению −1 .Кроме того, она имеет на отрезке [0,1] в точности корней, что и означает(Предложение 2) выполнение равенства (1.2).Замечание 6.
В доказательстве Теоремы 1 не используется условие −−1 >0, поэтому она верна и в случае лестницы, имеющей пустые промежуточныеотрезки.В [11, п.3.1.2] было получено также соотношение, связывающее собственные числа с номерами и ( + 1) − 1 в определенных задачах со смешанными граничными условиями вида (0.5).
В точности аналогичное утверждение вболее общем случае не может быть доказано, поэтому мы выведем одностороннюю оценку, которую назовем спектральной квазипериодичностью. Зафикси(1)руем функцию , отвечающую собственному значению задачи с граничнымусловием ′ (0) − (1) (0) = ′ (1) + (1) (1) = 0.Построим функцию следующим образом. Определим = · ( ∘ −1 ) на отрезках ,кроме того, продолжим ее гладко1 линейными функциями на промежуточные(︀)︀отрезки до пересечения с осью абсцисс. Если положить (1) = max |+12− | ,то пересечения окажутся близко к краям , и в серединах промежуточныхотрезков функция останется не определена2 . Мы определим ее нулем на всехоставшихся интервалах.
Знаки ненулевых параметров определим таким образом, чтобы на каждом промежуточном отрезке функция имела смену знака.Согласно условиям (0.2) получившаяся функция почти всюду удовлетворяет(1)уравнению (1.3) для = −1 , но, к сожалению, не является гладкой. Мыпроведем с ней некоторое непрерывное преобразование, не увеличивающее значения и не меняющее числа перемен знака. В результате мы получим гладкую1Здесь и далее в этом параграфе имеется в виду 1 -гладкость.Длина отрезка до пересечения с осью абсцисс рядом с составляет | | · ( (1) )−1 , что при таком выборе(1) меньше половины длины любого промежуточного отрезка.230функцию, являющуюся собственной для некоторой краевой задачи, и сможем(1)написать оценку собственных значений этой краевой задачи через .Наше преобразование будет состоять из нескольких шагов. На шаге функция склеена из собственных функций краевых задач на подотрезках с некоторыми граничными условиями()() ′ ( ) − ( ) = ′ ( ) + ( ) = 0и продолжена линейно на промежуточные отрезки.
На некоторых промежуточных отрезках уже гладкая, на остальных кусочно линейна. Мы зафиксируем(1)на краях ()= (1) · | |−1 и будем непрерывно изме()таким образом, чтобы собственные числа,= (1) · |1 |−1 и ()нять остальные значения и которым отвечают функции на отрезках оставались одинаковыми, оста()валась гладкой на промежутках, где гладкость уже была достигнута, и ,(+1)уменьшались на концах промежутков, где гладкости еще нет.3 Эта процедура уменьшает значение в силу вариационного принципа и не меняет числаперемен знака согласно Предложению 2.В некоторый момент хотя бы на одном из промежуточных отрезков нулевой интервал функции сожмется в точку. Допустим, это произошло междуотрезками и +1 . В этот момент мы умножаем +1 и все последующие наобщий коэффициент таким образом, чтобы была гладкой на отрезке [ , +1 ].После − 1 шага станет полностью гладкой.
После этого можно уменьшить один из параметров краевых условий на концах, чтобы выполнялось(1)()= = (2) := (1) · min{|1 |−1 , | |−1 }.Заметим, что получившаяся функция имеет в точности ( + 1) − 1 корней, а значит, является собственной функцией, отвечающей собственному числу(2)(+1)−1 краевой задачи ′ (0) − (2) (0) = ′ (1) + (2) (1) = 0.3Это оказывается возможным в силу непрерывной и монотонной зависимости собственных значений уравнения от параметра.31(2)Кроме того, по построению получившееся (+1)−1 не превышает исходного(1)значения −1 . Таким образом, доказано следующее утверждение.Теорема 2. Положим (1) = maxПусть(1){ }∞=0(︀2|+1 − |)︀, (2) = (1) · min{|1 |−1 , | |−1 }.— последовательность занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной задачи{︃− ′′ = , ′ (0) − (1) (0) = ′ (1) + (1) (1) = 0,(1.3)(2)а { }∞=0 — аналогичная последовательность для отвечающей тому жеуравнению граничной задачи ′ (0) − (2) (0) = ′ (1) + (2) (1) = 0.Тогда независимо от выбора индекса ∈ N выполняется неравенство(2) (+1)−1 6 (1) .§ 2.Доказательство основного результатаТеорема 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
