Диссертация (1150781), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В [51]рассматривается случай, в котором считающие функции собственных значенийоператоров-множителей имеют так называемое регулярное асимптотическое по­ведение: (, ) ∼(1/),1/ → +0,8где > 0, а — медленно меняющаяся функция (в зарубежной литературе— SVF). В работе [50] данный подход переносится на случай, когда считающаяфункция имеет асимптотику медленно меняющейся функции.Положения, выносимые на защиту.1. В случае резонанса 1:1:...:1 доказана спектральная квазипериодичностьдля задачи Робена, обобщающая свойство спектральной периодично­сти, выполненное в случае “ровной” лестницы.2. В случае общего резонанса доказаны теоремы, описывающие связь меж­ду спектрами задачи на отрезке и подотрезках, содержащих носительмеры.3. Теорема A доказана для лестниц с ненулевыми промежуточными ин­тервалами в случаях резонанса 1:1:...:1 и общего резонанса.4.

Исследованы асимптотические свойства почти меллиновской свертки,обобщающей свертку Меллина на случай функций с периодическойкомпонентой.5. Получен главный член спектральной асимптотики тензорного произве­дения компактных операторов с почти регулярной спектральной асимп­тотикой для всех возможных комбинаций параметров маргинальныхасимптотик.Степень достоверности и апробация. Все результаты диссертацииснабжены подробными доказательствами и опубликованы в ведущих научныхизданиях. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах иконференциях:– Cеминар им. В.И.

Смирнова по математической физике в Санкт-Петер­бургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН(Санкт-Петербург, 2014, 2017, рук: Н. Н. Уральцева, А. И. Назаров,Т. А. Суслина).– Seminar at the Institute of Stochastics and Applications, University ofStuttgart (Штутгарт, Германия, 2016, 2017, рук: U. R.

Frieberg).– Семинар «Операторные модели в математической физике» лаборато­рии операторных моделей и спектрального анализа механико-матема­тического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2017, рук:А. А. Шкаликов).9– Конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения»,посвящённая столетию Б. М. Левитана (Москва, 2014).– 6th St.Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memoryof M.Sh.Birman (Санкт-Петербург, 2014).– 8th St.Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memoryof M.Sh.Birman (Санкт-Петербург, 2016).– Конференция Days on Diffraction (Санкт-Петербург, 2016).– 26th St.Petersburg Summer Meeting In Mathematical Analysis (Санкт­Петербург, 2017).– Symposium on Probability Theory and Random Processes (Санкт-Петер­бург, 2017).Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [69—71],[72—75].

Работы [71] и [69] опубликованы в журналах из перечня ВАК. Работа[70] опубликована в издании, удовлетворяющем достаточному условию включе­ния в перечень ВАК (переводная версия этого издания “Journal of MathematicalSciences” входит в систему цитирования Scopus).Структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав,содержащих 13 параграфов, заключения и списка литературы.Во введении описаны актуальность темы исследования и степень ее раз­работанности, поставлены цели и задачи, аргументирована научная новизна,достоверность, теоретическая и практическая значимость результатов, перечис­лены использованные методы, выносимые на защиту положения, публикации идоклады по теме диссертации, кратко изложена структура работы.В главе 0 изложены определения основных объектов исследования, ихсвойства, а также некоторые вспомогательные утверждения, не принадлежа­щие автору, со ссылками на первоисточники.В главе 1 утверждение теоремы A обобщается на класс арифметическисамоподобных мер, обладающих резонансом 1:1:.

. . :1 и ненулевыми промежу­точными интервалами (см. определение 1 и условия (0.2) ниже).Заметим, что при доказательстве теоремы A для “ровных” лестниц важ­ную роль играет свойство спектральной периодичности для задач Неймана иРобена.10Отличительной особенностью рассматриваемого в данной главе классамер является наличие свойства спектральной периодичности, аналогичного слу­чаю “ровных” лестниц, для задачи Неймана. Для задачи Робена спектральнаяпериодичность имеет место не всегда, однако мы формулируем и доказываемдля нее более слабое свойство спектральной квазипериодичности.Основные результаты главы 1 следующие:Теорема 1. (спектральная периодичность для задачи Неймана)Пусть мера принадлежит классу самоподобных мер с условиями (0.2), ипусть { }∞=0 — последовательность занумерованных в порядке возрастаниясобственных значений задачи (1).

Тогда независимо от выбора индекса ∈ Nвыполняется равенство = ,(5)где введена в определении 1.Теорема 2. (спектральная квазипериодичность для задачи Ро­бена) Пусть мера принадлежит классу самоподобных мер с условиями(1)(0.2). Пусть { }∞=0 — последовательность занумерованных в порядке воз­растания собственных значений граничной задачи{︃− ′′ = , ′ (0) − (1) (0) = ′ (1) + (1) (1) = 0,(2)а { }∞=0 — аналогичная последовательность для отвечающей тому жеуравнению граничной задачи ′ (0) − (2) (0) = ′ (1) + (2) (1) = 0.Тогда существуют значения (1) , (2) > 0, определяемые параметрами самопо­добия, такие что независимо от выбора индекса ∈ N выполняется неравен­ство(2) (+1)−1 6 (1) .Эти вспомогательные свойства позволяют доказать для класса самоподоб­ных мер с условиями (0.2) аналог теоремы A.11Теорема 3.

Пусть мера принадлежит классу самоподобных мер с условия­ми (0.2). Тогда коэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.В главе 2 рассматривается случай общего резонанса, и утверждение теоре­мы A обобщается на случай произвольной арифметически самоподобной мерыс ненулевыми промежуточными интервалами (см. условие (0.3) ниже).

Для та­ких мер в общем случае не выполняется свойство спектральной периодичности,поэтому возникает необходимость скорректировать схему доказательства и вы­вести некоторые обобщенные свойства задач Неймана и Робена, которые хоть иявляются в некотором смысле родственными спектральной периодичности, несвязаны с ней прямой импликацией.Обозначим через ([,]), > 0, 0 6 6 6 1, собственные числа задачи{︃− ′′ = , ′ () = ′ () = 0,а через (, [,]) = #{ : ([,]) < }их считающую функцию.

Заметим, что 0 ([,]) = 0.Следующие утверждения позволяют связать спектр весовой задачиШтурма-Лиувилля на отрезке со спектрами задач на подотрезках, содержащихноситель меры.Теорема 4. Пусть 1 = [1 , 1 ], 2 = [2 , 2 ] — подотрезки [0,1], и пусть2 − 1 > 0, а |[1 ,2 ] ≡ 0. Обозначим := [1 , 2 ]. Тогда функция () := (, ) − (, 1 ) − (, 2 )(6)имеет разрывы в точках (), (1 ), (2 ).

При этом элементы наборов∞∞{ ()}∞=0 и { (1 )}=0 ∪{ (2 )}=0 нестрого чередуются начиная с элемен­∞та второго набора. Более того, в точках из { (1 )}∞=0 ∪{ (2 )}=0 функция12 меняет значение с 0 на −1, а в точках из { ()}∞=0 , не содержащихся в∞{ (1 )}∞=0 ∪ { (2 )}=0 , меняет значение с −1 на 0.Теорема 5. Пусть выполнены предположения Теоремы 4, и пусть 2 −1 > 0.∞∞Обозначим за { ()}∞=0 элементы набора { (1 )}=0 ∪ { (2 )}=0 , зануме­рованные в возрастающем порядке.

Тогда∞∑︁| ln () − ln ()| < +∞.=2Эти свойства замещают свойства спектральной периодичности и квазипе­риодичности при доказательстве основной теоремы.Теорема 6. Пусть мера принадлежит классу самоподобных мер с условием(0.3). Тогда коэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.В главе 3 доказываются общие теоремы об асимптотике спектра тензор­ного произведения компактных операторов с почти регулярной спектральнойасимптотикой. Эти теоремы позволяют перенести результаты о виде асимпто­тики 3 на некоторые компактные операторы типа тензорного произведения, атакже, в ограниченном числе случаев, перенести на получившиеся асимптотикирезультат о непостоянстве периодической компоненты (теоремы A, 3, 6).Говоря более развернуто, рассматриваются компактные неотрицательныесамосопряженные операторы = * > 0 в гильбертовом пространстве ℋ и ̃︀ в̃︀ Через = ( ) обозначены собственные числагильбертовом пространстве ℋ.оператора , упорядоченные по убыванию и повторяемые согласно кратностям.Для него рассматривается считающая функция () = (, ) = #{ : ( ) > }.̃︀ и ̃︀ () для ̃︀ .Аналогично определяются 13Имея заданные при → 0 асимптотики (, ) и (, ̃︀ ), мы хотим уста­новить асимптотику (, ⊗ ̃︀ ).

Полученные результаты легко обобщаются наслучай тензорных произведений нескольких сомножителей.В данной диссертации рассматриваются операторы с почти регулярнойасимптотикой(1/) · (ln(1/)), → +0,(7)1/где > 0, — медленно меняющаяся, а — непрерывная -периодическая (, ) ∼функция. Примерами таких операторов являются гриновские интегральныеоператоры с сингулярной арифметически самоподобной весовой мерой.Основные результаты главы 3 заключаются в том, что мы получаем глав­ный член спектральной асимптотики тензорного произведения для всех возмож­ных комбинаций параметров маргинальных асимптотик, налагая лишь незна­чительные технические ограничения в некоторых случаях.

Характеристики

Список файлов диссертации