Диссертация (1150781), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассматриваютсяоператор со спектральной асимптотикой (7) и оператор ̃︀ , имеющий либоасимптотику (, ̃︀ ) = (−1/̃︀ ), → 0+,̃︀ > ,либо аналогичную (7) асимптотику(1/)̃︀· (ln(1/))̃︀, (, ̃︀ ) ∼1/ → +0,(8)где ̃︀ — медленно меняющаяся функция, ̃︀ имеет период ̃︀. Результаты разделены на несколько случаев в зависимости от соотношений между параметрамиспектральных асимптотик операторов и ̃︀ :1.
̃︀ > .2. ̃︀ = .∫︀∞ ∫︀∞= ()= ∞.2.1. ()̃︀112.1.1. Периоды и ̃︀ функций и ̃︀ соизмеримы.2.1.2. Периоды и ̃︀ несоизмеримы.∞∫︀∫︀∞2.2. ()< ∞,()̃︀= ∞.11∫︀∞∫︀∞2.3. ()< ∞,()̃︀< ∞.1114В случаях 1, 2.1.1 асимптотика тензорного произведения оказывается почтирегулярной, в случае 2.1.2 – регулярной. В случаях 2.2 и 2.3 получается асимптотика более сложного вида.Лемма 1.
В формуле (7) функция имеет вид ( ) = − / ( ), где —монотонная функция, и значит — функция ограниченной вариации.Теорема 7. Пусть оператор в пространстве ℋ имеет спектральную̃︀ имеет асимптотикуасимптотику (7), а оператор ̃︀ в пространстве ℋ̃︀ () := ̃︀ (, ̃︀ ) = (−1/̃︀ ), → 0+,̃︀ > .̃︀ имеет асимптотикуТогда оператор ⊗ ̃︀ в пространстве ℋ ⊗ ℋ(1/) · * (ln(1/))̃︀,⊗ () := (, ⊗ ) ∼1/ → +0,(9)где* ( ) :=∑︁̃︀ )) · ̃︀1/( + ln((10)— периодическая функция с периодом (ряд сходится, поскольку ̃︀ > ).Замечание 1.
Отметим, что если функция имеет структуру (4), то такую жеструктуру имеет и функция * в формуле (10), что влечет ее непостоянство. Вслучае периодической функции общего вида функция * может вырождатьсяв константу.Теорема 8. Пусть оператор имеет спектральную асимптотику (7), а оператор ̃︀ — асимптотику (8). Тогда для любого > 0 выполняются оценки⎡± () ⎢̃︀ ) +⊗ () ≶ 1/ · ⎣(,) + (,∫︁∓ ()/⎤(︁ )︁ )︁(̃︀(ln )) ⎥()̃︀ln(lñ︀ )⎦(lñ︀ )(︁равномерно по > 0.
Здесь интеграл понимается как интеграл Лебега-Стилтьеса, = ± ()/. При < ∓ ()/ интеграл считаем равным нулю. Коэф̃︀ ) имеют следующиефициенты ± () → 1 при → 0, а функции (, ), (,15асимптотики при → +0:(, ) ∼ (1/) ·∑︁̃︀ ))̃︀1/ ,(ln(1/) + ln(̃︀ >̃︀ ) ∼ (1/)(,̃︀·(︁ ∑︁(ln(̃︀)+1/ln( )))︁+ (1/)(ln(1/))̃︀(ln( )) . >В теоремах 9–11 мы предполагаем, что∫︁∞( ) =1∫︁∞(̃︀ )= ∞.(11)1Теорема 9. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8.Пусть, кроме того, выполняется соотношение (11), а периоды и ̃︀ соизмеримы, и наименьший общий период этих функций равен .
Тогда⊗ () ∼(1/) · ⊗ (ln(1/)),1/ → +0,где () := ( * )()̃︀— медленно меняющаяся функция,( ⋆ )()̃︀1⊗ () =+ ( ⋆ )̃︀ ′ () = −/∫︁( − )̃︀()(12)0— непрерывная положительная -периодическая функция.Теорема 10. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8.Пусть, кроме того, выполняется соотношение (11), а периоды и ̃︀ функций и ̃︀ несоизмеримы. Тогда⊗ () ∼(1/)(1/),1/ → +0,где () = ( * )(),̃︀() — некоторая ограниченная и отделенная от нулямедленно меняющаяся функция.Теорема 11. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 10.Потребуем дополнительно, чтобы для функций и ̃︀ были ограничены следу16ющие величины:⃒⃒′⃒ ln()⃒̃︀()⃒⃒ 6 ,⃒⃒()̃︀⃒⃒⃒ ln()′ () ⃒⃒ 6 ,⃒⃒⃒() > 1.(13)ТогдаC(1/), → +0,1/где () = ( * )(),̃︀а константа C определена следующим соотношением:⊗ () ∼C=1 1· ∫︁() ·01̃︀∫︁̃︀().̃︀0Теорема 12. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8,и пусть∫︁∞( )< ∞,∫︁∞(̃︀ )= ∞,11а периоды и ̃︀ совпадают и равны .
Кроме того, пусть для (, )̃︀ выполняется п.4 Предложения 6. Тогдаℎ,̃︀· ̃︀* (ln(1/))˜ (1/) · ⊗ (ln(1/)) + (1/)⊗ () ∼,1/где ⊗ определена в (12), а̃︀* ( ) =∑︁(̃︀ + ln( ))1/(14)(ср. (10)).Теорема 13. Пусть операторы и ̃︀ удовлетворяют условиям Теоремы 8,и пусть∫︁∞1( ) < ∞,∫︁∞(̃︀ )< ∞,1а для (, )̃︀ и (,̃︀ ) выполняется п.4 Предложения 6. Тогда(1/) · * (ln(1/)) + (1/)̃︀· ̃︀* (ln(1/))⊗ () ∼,1/17где * определена в (10), ̃︀* определена в (14).Применение полученных общих теорем продемонстрировано на примереинтегральных операторов, отвечающих изученным в главах 1 и 2 задачам.В § 3 главы 3 полученные результаты применяются к задаче 2 -малыхуклонений случайных гауссовских полей, в частности, малых уклонений бро⨂︀уновского листа в единичном кубе с нормой 2 (), где = , и каждая из=1мер является самоподобной мерой обобщенного канторовского типа.В заключении перечисляются основные результаты диссертации, а такжепредлагаются возможные направления для дальнейшей работы.Работа поддержана совместным грантом СПбГУ и DFG No.
6.65.37.2017и Российским фондом фундаментальных исследований (проект 16-01-00258а).18Глава 0. Основные определения и вспомогательные сведения§ 1.Самоподобные функции обобщенного канторовского типаПусть > 2, { = [ , ]}=1 — подотрезки [0,1], не пересекающиеся по внут∑︀ренности, 6 +1 , { }—наборположительныхчисел,такихчто = 1,=1=1{ }=1 — булевские величины.Определим семейство аффинных преобразований () ={︃ + ( − ) , = 0, − ( − ) , = 1,сжимающих [0,1] на и меняющих ориентацию, если = 1.Определим оператор , действующий в пространстве ∞ [0,1] следующимобразом:( ) =∑︁(︀)︀ ( + (−1) ∘ −1 ) + {> } .=1Оператор сжимает график на отрезки и продолжает функцию константами на промежуточных интервалах.Предложение 1. ([31, Лемма 2.1]) — сжимающее отображение в∞ [0,1].Отсюда по теореме Банаха о неподвижной точке существует (единственная) функция C ∈ ∞ [0,1] такая, что (C ) = C .
Такую функцию C () будемназывать обобщенной канторовой лестницей с ступеньками. Пример обобщенной канторовой лестницы с 3 ступеньками показан на рисунке 1.Функцию C () можно искать как равномерный предел последовательности ( ) для () ≡ , что позволяет считать ее непрерывной и монотонной,причем C (0) = 0, C (1) = 1. Производная функции C () в смысле обобщенныхфункций — сингулярная мера без атомов, самоподобная по Хатчинсону (см.19Рисунок 1 — Пример обобщенной канторовой лестницы с 3 ступеньками.3211 12233[48]), т.е. для любого измеримого множества удовлетворяющая соотношению() =∑︁ · (−1 ( ∩ )).=1Более общие способы построения самоподобных функций описаны в [31].Замечание 2. Не умаляя общности, можно считать, что 1 = 0, = 1, впротивном случае меру можно растянуть, что приведет к домножению спектрана константу.Определение 1.
Самоподобие будем называть арифметическим, если логарифмы величин ( − ) соизмеримы. Иначе говоря, ( − ) = , = 1, . . . ,,для некоторой постоянной и ∈ N, таких, что НОД( , = 1, . . . , ) = 1.Будем говорить, что имеет место резонанс 1 :2 :. . . : .В противном случае самоподобие называется неарифметическим.Будем называть обобщенную канторову лестницу ровной, если = 1 =1, − = 1 − 1 , − −1 = 2 − 1 > 0,Именно такой класс лестниц рассмотрен в работе [11]. = 2, . . .
, . (0.1)20В главе 1 формула (4) из теоремы A доказывается для арифметическисамоподобных лестниц с ненулевыми промежуточными интервалами в случаерезонанса 1 : 1 : . . . : 1, т.е. для арифметически самоподобных лестниц соследующими условиями: − −1 > 0, = 1 = 1, = 2, . . . , .(0.2)В главе 2 формула (4) доказывается для случая общего резонанса, то естьуже лишь с одним ограничением: − −1 > 0, = 2, .
. . , ,(0.3)Замечание 3. Для описанного класса лестниц показатель и период функции() определяются следующими соотношениями, полученными в [67]:∑︁ = 1, = − ln .(0.4)=1§ 2.Вспомогательные сведения о спектре задачиШтурма-ЛиувилляОсцилляционные свойстваБудем рассматривать на произвольном отрезке [,] ⊆ [0,1] формальнуюграничную задачу{︃− ′′ = , ′ () − 0 () = ′ () + 1 () = 0,(0.5)21где — произвольная мера.
Ее обобщенным решением называется функция ∈ 21 [,], удовлетворяющая интегральному тождеству∫︁ ′ ′ + 0 ()() + 1 ()() = ∫︁ ()(0.6)для любой функции ∈ 21 [,].Нам потребуется следующий частный случай Утверждения 11 из [4].Предложение 2. Пусть { }∞=0 — последовательность занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной задачи (0.5) с произвольной мерой . Тогда независимо от выбора индекса ∈ N0 собственное значение является простым, причём отвечающая ему собственная функция не обращается в нуль на границе отрезка [0,1] и имеет внутри этого отрезка вточности различных нулей.В частности, Предложение 2 выполняется для произвольных определенных выше самоподобных мер.Связь спектральных асимптотик для различных краевых задачХорошо известно, что изменение граничных условий задачи влечет возмущение ранга два квадратичной формы, отвечающей уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
