Диссертация (1150781), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Кроме того, согласно теореме 4 набо­∞ры { ()}∞=0 и { ()}=0 нестрого чередуются начиная с 0 (). Потому,имеем () 6 () 6 +1 (). Поскольку все (1,2 ) принадлежат набору{ ()}∞=0 , отношение (1,2 ) 6 () влечет (1,2 ) 6 (). Таким обра­зом, мы получаем, что для любого , если выполняется (2.6) то существует ,такое, что(1) (1 ) 6 () 6 () 6 ,иначе, существует , такое, что(2) (2 ) 6 () 6 () 6 .Таким образом, каждый из непересекающихся полуинтервалов ( (), ()](︁ ⋃︀)︁ (︁ ⋃︀)︁∞∞(1)(2)содержится в объединении отрезков[ (1 ), ] ∪[ (2 ), ] , от­=0куда следует, что∞⋃︁( (), ()] ⊂=0∞(︁ ⋃︁=0)︁(1)[ (1 ), ]=0∪∞(︁ ⋃︁)︁(2)[ (2 ), ]=0,(2.7)и если отбросить отрезки, относящиеся к = 0 в правой части (2.7), то намнужно будет отбросить лишь конечное число отрезков в правой части, иначеговоря, существует число 0 , такое, что∞⋃︁=0( (), ()] ⊂∞(︁ ⋃︁)︁(1)[ (1 ), ]=1∪∞(︁ ⋃︁)︁(2)[ (2 ), ]=1,42и потому∞∑︁| ln () − ln ()| 6=0+∞∑︁=1∞∑︁(1)| ln − ln (1 )|(2.8)(2)| ln − ln (2 )|.=1Из (2.8) используя Предложение 3 и тот факт, что 0 < () 6 () для всех > 2, мы получаем оценку∞∑︁+=2∞∑︁| ln () − ln ()| 6(1)| ln − ln (1 )| +=2∞∑︁| ln () − ln ()|(2)| ln − ln (2 )| < +∞.=1=1§ 2.∑︁0 −1Доказательство основного результатаТеорема 6.

Пусть мера принадлежит классу самоподобных мер с условием(0.3). Тогда коэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.Доказательство. Из (3) имеем(︀)︀ () = (ln ) + () ,где () → 0 при → ∞. Для произвольного ∈ N получаем ( − ) = − ((ln ) + ( − )),43откуда(ln ) = lim ( − )→∞равномерно на отрезке.

Введем обозначение() := () = lim ( − ), ∈ [0, ].→∞Определим более удобную для нас последовательность ступенчатых приближе­ний этой функции.Случай = 2. Рассмотрим сперва для наглядности случай = 2. Пусть,не умаляя общности, 1 6 2 , где 1,2 введены в определении 1. Определим () := ∑︁2 −1 ( −− ), ∈ [0, ].=0Подберем коэффициенты таким образом, чтобы выполнялось равенство+1 () − () = (︁)︁ () − ( ) − ( ) ,12(2.9)где = −2 − . Прямым вычислением с использованием (0.4) несложно убе­диться, что{︃ = −(2 −)2 − = 1 . .

. 1 , −(2 −) · 1 − 1(︀)︀2 − = 1 + 1 . . . 2 .Вторая строчка не реализуется при 1 = 2 . Заметим, чтоlim () = ∑︁2 −1→+∞ =0−lim (+)→+∞ (−− ) = () · =0поэтому если положить=∑︁2 −12 −1(︁ ∑︁ −)︁−1=0то будет выполнено() = lim ().→+∞, − ,44Заметим, что по Лемме 1 () − ( 1 ) − ( 2 ) = (, [0,1]) − (, 1 ) − (, 2 ),(2.10)а значит, с учетом Теоремы 4 из (2.9) легко получить оценку|+1 () − ()| 6 .(2.11)Далее, поскольку является суммой 2 слагаемых, каждое из которых имеетне более ( −2 − ) точек разрыва, число разрывов допускает оценку̃︀ − .#A 6 2 ( −2 − ) 6 (2.12)Все, что нам осталось для применения Предложения 4 — это доказать оценкуmes { ∈ [0, ] : () ̸= +1 ()} = (1), → ∞.(2.13)Мы обозначим через { }∞=0 последовательность упорядоченных по возраста­нию элементов набора { (1 )}∪{ (2 )}. Так как и нестрого чередуются,и чередование начинается с 0 , имеем 6 для всех > 0.

Учитывая (2.9)и (2.10), для того, чтобы доказать (2.13), нам нужно оценить лебегову мерумножества таких , для которых (, [0,1]) − (, 1 ) − (, 2 ) ̸= 0,где = −2 − , ∈ [0, ]. Это верно только если∈∞⋃︁[ , ] ,=0а учитывая = −1 − и ∈ [0, ], получаем(1 + ) + ∈∞(︁ ⋃︁=0)︁[ln , ln ] ∩ [(1 + ), (1 + + 1) ].45Мера объединения∞∞⃒ ∑︁⃒ ⋃︁⃒⃒| ln − ln |[ln , ln ] ⃒ =⃒=1=0ограничена в силу Теоремы 5, а значит мера его пересечения с уходящими набесконечность отрезками стремится к нулю, что доказывает оценку (2.13).Из соотношений (2.11) и (2.13) получаем оценку‖+1 − ‖2 [0,1] = ( ),откуда следует, что‖ − ‖2 [0,1] = ( ).Применяя эту оценку вместе с (2.12), получаем(#A + 2) · ‖ − ‖2 [0,1] = (1),что позволяет применить Предложение 4 для функции , завершая доказатель­ство теоремы для данного случая.Общий случай.

Пусть { }=1 — упорядоченные по возрастанию элементымножества { }=1 без повторений, { }=1 — их кратности (количество отрез­ков , которым отвечает значение с соответствующим номером). Аналогичнослучаю = 2 определяем функции и константы −1 () := ∑︁ ( −− ), ∈ [0, ],=0⎧⎪ −( −)⎪⎪⎪(︀)︀⎪−( −)1 ⎪⎪·1−1⎪⎪⎪⎪⎨ −( −) · (︀1 − 1 1 − 2 2 )︀ =⎪...⎪⎪⎪⎪⎪−1(︁)︁⎪∑︁⎪⎪−(−) ⎪· 1− ⎪⎩=1 − = 1 . . . 1 , − = 1 + 1 . . . 2 , − = 2 + 1 .

. . 3 , − = −1 + 1 . . . ,46= −1(︁ ∑︁ −)︁−1.=0Из (0.4) имеем∑︁ = 1,=1откуда1−∑︁ > 0, = 1 . . . − 1,=1а значит, константы положительны, и константа определена корректно.Так же, как и в предыдущем случае, такой выбор констант обеспечивает намсоотношение+1 () − () = (︁ () −∑︁)︁ ( ) ,=1где = − − , а выбор константы — соотношение() = lim ().→+∞Учитывая Лемму 1,+1 () − () = (︁ (, [0,1]) −∑︁)︁ (, ) ==1= −1∑︁ (︁)︁ (, [ , 1]) − (, [+1 , 1]) − (, ) .=1С учетом Теоремы 4 легко видеть, что|+1 () − ()| 6 ( − 1) ,а число разрывов допускает оценку̃︀ − .#A 6 ( − − ) 6 47Все, что нам осталось для применения Предложения 4 — это доказать оценкуmes { ∈ [0, ] : () ̸= +1 ()} = (1), → ∞,которая напрямую следует из Теоремы 5 так же, как и в случае = 2.48Глава 3.

Асимптотика спектра тензорного произведения операторовс почти регулярными маргинальными асимптотиками§ 1.Предварительные факты об асимптотике почти меллиновскихсвертокВ этом параграфе и ̃︀ — медленно меняющиеся функции, и ̃︀ — непре­рывные, ограниченные, отделенные от нуля функции, имеющие периоды и ̃︀соответственно, и представимые в виде( ) = − / ( ),(̃︀ ) = − / (̃︀ ),где > 0, и ̃︀ монотонны. Отсюда, в частности, следует, что и ̃︀ — функцииограниченной вариации.Определим почти меллиновскую свертку∫︁( * ̃︀̃︀)( ) =1(︁ )︁ )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ )=(lñ︀ )(︁= [, ̃︀̃︀]( ) + 1 [, ̃︀̃︀]( ),√∫︁ (︁ )︁(︁ )︁(̃︀(ln ))[, ̃︀̃︀]( ) = ()̃︀ln(lñ︀ ),(lñ︀ )1∫︁1 [, ̃︀̃︀]( ) =√(︁ )︁ )︁(̃︀(ln ))()̃︀ln(lñ︀ ).(lñ︀ )(︁Здесь интеграл понимается как интеграл Лебега-Стилтьеса.

При = ̃︀ ≡ 1 этоопределение соответствует свертке Меллина, определенной в § 4 главы 0.Лемма 2.( * ̃︀̃︀)( ) ≍ ( * )(̃︀ ),[, ̃︀̃︀]( ) ≍ ℎ,̃︀ ( ), → ∞, → ∞,491 [, ̃︀̃︀]( ) ≍ ℎ,̃︀( ), → ∞.Доказательство. Докажем оценку сверху для первого соотношения, остальныеоценки получаются аналогично. Введем оператор []() = ( ) для ∈ [ , (+1) ),̃︀̃︀(3.1)̃︀делающий функцию ступенчатой.Отметим, что []( ) = ( )(1 + (1)), →∞(3.2)равномерно по ∈ [1, ]. Пусть ∈ N такое, что (−1) < 6 . Тогда̃︀̃︀∫︁̃︀̃︀( * ̃︀̃︀)( ) 6 ̃︀ / [](︁ )︁1 []()̃︀1(̃︀(ln )).(lñ︀ )Заметим, что функция ̃︀ / []( )1 []()̃︀постоянна по на каждом проме­(̃︀(ln ))̃︀̃︀жутке ( , (+1) ), = 0 . .

. − 1. Мера= ln(̃︀(ln ) 1/ ) периодич­(lñ︀ )на по логарифму, что позволяет нам заменить интеграл суммой. Получим∫︁( * ̃︀̃︀)( ) 6 (̃︀(ln )) ∑︁̃︀̃︀ / []( ̃︀ )1 [](̃︀ ) 6(lñ︀ ) =0 ∑︁̃︀̃︀ / []( ̃︀ )1 [](̃︀ ) = =0 ̃︀1∫︁−1̃︀61∫︁−1̃︀=1(︁ )︁̃︀ / []1 []()̃︀6∫︁(︁ )︁()̃︀.1Доказательство следующего предложения аналогично Теореме 2.2 из [51], и мыего опускаем.Предложение 9.

Пусть (̃︀ ) = 1 ( )(1 + (1)) при → ∞, тогда[, ̃︀̃︀]( ) = [, 1 ](̃︀ )(1 + (1)).50Если, кроме того,∫︀∞1(̃︀ )= ∞, то1 [, ̃︀̃︀]( ) = 1 [, 1 ](̃︀ )(1 + (1)).Лемма 3. Пусть∫︀∞1( )∫︀∞̃︀ ) = ∞. Тогда= ∞, (11 [, ̃︀̃︀]( ) = [̃︀̃︀, ]( )(1 + (1)), → ∞,а почти меллиновская свертка асимптотически симметрична, т.е.( * ̃︀̃︀)( ) = (̃︀̃︀ * )( )(1 + (1)), → ∞.Доказательство. Второе соотношение напрямую следует из первого. Чтобыразобраться в первом, напишем1 [, ̃︀̃︀]( ) = −1/∫︁√ )︁()̃︀ln(̃︀(ln )).(︁ )︁(︁Проведем замену на / и проинтегрируем по частям.√1 [, ̃︀̃︀]( ) = − −1/∫︁ ()̃︀(︁ )︁(︁ (︁ )︁)︁(ln ) ̃︀ ln=1√= −1/∫︁ (︁ )︁(︁ )︁⃒√(︁ )︁ (︁ )︁⃒()̃︀̃︀ ln((ln )) + ()̃︀(ln )̃︀ ln⃒ + 11√+∫︁ (︁1(︁ )︁ (︁ )︁̃︀′ ( /) )︁′ () ( /)−()̃︀̃︀ ln(ln ) .()(̃︀ /)51Первое слагаемое равно [̃︀̃︀, ]( ).

Остается убедиться, что второе и третьеслагаемые удовлетворяют оценке ([̃︀̃︀, ]( )). Разберемся с подстановкой.√√√√√ )︁⃒⃒ ()̃︀(ln )̃︀ lñ︀ )(ln )̃︀(ln )−⃒ = ( )( 1− (1)(̃︀ )(0)̃︀(ln ).(︁ )︁(︁Все периодические составляющие ограничены. →∞(̃︀ ) = (ℎ,̃︀( )) = ([̃︀̃︀, ]( )),по п.1 Предложения 6 с учетом Леммы 2. Остается оценить√√√( )(̃︀ ) = (1)(̃︀ ) +∫︁ (︁()̃︀(︁ )︁ )︁′ =1√= (1)(̃︀ ) +∫︁ (︁1(︁ )︁ ′ () ( /)̃︀′ ( /) )︁−()̃︀=()(̃︀ /) √= (1)(̃︀ ) +∫︁ (︁(︁ )︁ ′ () )︁1+()̃︀−() 1√∫︁ −1(︁( /)̃︀′ ( /) )︁ (︁ )︁ () 1 +̃︀=(̃︀ /) = (ℎ,̃︀( )) + ℎ,̃︀( )(1 + (1)) − ℎ,̃︀( )(1 + (1)) == (ℎ,̃︀( )) = ([̃︀̃︀, ]( )), → ∞.При оценке интегралов мы воспользовались п.2 Предложения 6 с учетом п.3Предложения 5.52Аналогичным рассуждением с использованием Предложения 9 получаемоценку√∫︁ (︁1(︁ )︁ (︁ )︁′ () ( /)̃︀′ ( /) )︁−()̃︀̃︀ ln(ln )= ([̃︀̃︀, ]( ))()(̃︀ /)при → ∞, и лемма доказана.Случай совпадающих периодов.

Рассмотрим случай, когда функции и̃︀ имеют совпадающие периоды ( = ̃︀). Обозначим1( ⋆ )()̃︀:=∫︁( − )̃︀().0Заметим, что определена и непрерывна производная1( ⋆ )̃︀ ′ () =∫︁11( − )(̃︀()) = − ( ⋆ )()̃︀+ −/0∫︁( − )̃︀(). (3.3)0Непрерывность следует из непрерывности и .̃︀Лемма 4. Пусть∫︀∞1(̃︀ )= ∞, и ̃︀ имеют общий период . Тогда√∫︁ (︁ )︁ (︁ )︁ ln()̃︀̃︀ (ln )∼ ℎ,̃︀ ),̃︀ ( )( ⋆ )(ln → ∞.1Если, кроме того,∫︀∞1∫︁1( )= ∞, то(︁ )︁ (︁ )︁ ln()̃︀̃︀ (ln )∼ ( * )(̃︀ )( ⋆ )(lñ︀ ), → ∞.53Доказательство.

Для 2(−1) < 6 2 можно записать√∫︁ (︁ )︁ (︁∫︁ (︁ )︁ (︁)︁ )︁ ln()̃︀̃︀ (ln )∼ ln()̃︀̃︀ (ln )=11=−1 ∫︁∑︁(=0 1− (︁ )︁· ) ln(̃︀ )̃︀(ln )=∫︁ (︁−1∑︁ )︁(lñ︀ )(− · )(̃︀ )== ln=01∫︁ (︁∫︁)︁ = ln(lñ︀ ) −1 −(−1) · []( /) [](),̃︀ 11где оператор введен в (3.1).

Учитывая асимптотику (3.2) и п.2 Предложения6, получаем√∫︁ (︁ )︁ (︁ )︁ ln()̃︀̃︀ (ln )∼ ℎ,̃︀ ) ∼ ℎ,̃︀ ).̃︀ ( )( ⋆ )(lñ︀ ( )( ⋆ )(ln1Второе утверждение леммы получается аналогично, с учетом∫︀∞( )1Лемма 5. Пусть∫︀∞1(̃︀ )= ∞, и ̃︀ имеют общий период . Тогда)︁(︁ 1′[, ̃︀̃︀]( ) ∼ ℎ,( ⋆ )̃︀ + ( ⋆ )̃︀ (ln ),̃︀ ( )Если, кроме того,∫︀∞1= ∞.( ) → ∞.= ∞, то(︁ 1)︁′̃︀ + ( ⋆ )̃︀ (ln ),( * ̃︀̃︀)( ) ∼ ( * )(̃︀ ) ( ⋆ ) → ∞.54Доказательство. Доказательство в точности такое же, как и в предыдущейлемме. Нужно только убедиться, что∫︁∫︁ (︁)︁(̃︀(ln ))(lñ︀ )= −1/ (ln − )̃︀(), ln(lñ︀ )01что очевидно, если в левом интеграле провести замену = ln .Случай несоизмеримых периодов.

Пусть теперь функции и ̃︀ не имеютобщего периода.Лемма 6. Если периоды и ̃︀ несоизмеримы, то∫︁(ln(/))̃︀(ln )1(̃︀(ln ))= (C + (1)) ln ,(lñ︀ ) → +∞равномерно по ∈ R, гдеC=1 1· ∫︁() ·01̃︀∫︁̃︀().̃︀(3.4)0Доказательство. Шаг 1. Докажем оценку∫︁(ln( /))̃︀(ln )1(̃︀(ln ))= (C + (1)) ln ,(lñ︀ ) → +∞.Проведем замену = ln , = ln .∫︁(ln( /))̃︀(ln )1(̃︀(ln ))=(lñ︀ )∫︁ ( − )−/ ̃︀() =: ().0Определим ̃︀-периодическую функцию∫︁∫︁+()̃︀( + − ) =() :=0( − )̃︀().(3.5)55Заметим, что определена и непрерывна ее производная ′ () =∫︁∫︁+()̃︀( + − ) =1( − )̃︀() = − · () +( − )−/ ̃︀().0∫︁+Поэтому∫︁+( + ) − () =( − )−/ ̃︀() = ′ () +1· () =: 1 (),где 1 () — непрерывная ̃︀-периодическая функция.

Отсюда( + ) = () +−1∑︁1 ( + ).(3.6)=0По эргодической теореме Окстоби (см. [63]) имеемlim−11 ∑︁→+∞1 ( + ) ==01̃︀∫︁̃︀1 ()0равномерно по . Из (3.6) и (3.7) получаем оценку → +∞,() = (C + (1)),гдеC=1 ̃︀∫︁̃︀1 () =01 1· ∫︁() ·01̃︀∫︁̃︀().̃︀0Подставляем = ln , и формула (3.5) доказана.Шаг 2. Для любого значения можно подобрать ( ) ∈ Z, такое что0 6 − − ( ) < .(3.7)56Тогда∫︁1(̃︀(ln ))(ln(/))̃︀(ln )=(lñ︀ )∫︁(ln(/))̃︀(ln )+ ( )(̃︀(ln ))+(lñ︀ )+∫︁ ( )(ln(( + ( ))/))̃︀(ln )+1(̃︀(ln )).(lñ︀ )Первое слагаемое равномерно ограничено, а второе допускает оценку(C + (1)) ln( + ( )) = (C + (1)) ln ,§ 2. → +∞.Спектральная асимптотика тензорных произведенийЛемма 7. В формуле (0.10) функция имеет вид( ) = − / ( ),где — монотонная функция, и значит — функция ограниченной вариации.Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации