Диссертация (1150721), страница 9
Текст из файла (страница 9)
рис. 2.15). Орбита 17 имеет периоднесколько меньше, чем пятикратный период орбиты Шубарта (рис. 2.16).В результате сканирования в общем случае задачи (не на оси φ = 0) было обнаружено 15 областей начальных параметров (k, φ), каждая из которых соответствует определенной периодической орбите. Все обнаруженные близкие к периодическим орбиты обладают симметрией относительно поворота на 180◦ : витки траекторий крайних тел накладываются друг на друга, а витки траектории центральноготела самосимметричны.
Это свойство орбит обусловлено способом задания начальных условий. Для ряда орбит также имеет место осевая симметрия относительнодвух взаимно ортогональных осей, проходящих через центр масс тройной системы.У этих орбит выполняются определенные соотношения между числом самопересечений витков траектории центрального тела на одной из осей симметрии и числомоборотов крайних тел:• если самопересечения происходят внутри области орбиты центрального тела,то их количество на единицу меньше числа оборотов каждого из крайних тел(см. рис. 2.14, 2.17);1Здесь и далее на рисунках используются следующие обозначения: (а) – левый верхний рисунок,(б) – правый верхний рисунок, (в) – левый нижний рисунок, (г) – правый нижний рисунок.43Рис.
2.12: (а) Орбита Шубарта с начальными условиями (k, φ) = (0.203, 0) в течение одного периода T = 0.90τ . Показаны зависимости от времени координат xвсех тел. (б) Орбита Мура: (k, φ) = (0.484, 1.000); T = 1.68τ . (в) Орбита Брука:(k, φ) = (0.418, 1.571); T = 1.67τ . (г) S-орбита: (k, φ) = (0.333, 0.656); T = 2.68τ .44Рис. 2.13: (а) Орбита 13: (k, φ) = (0.102, 0.000); T = 1.81τ . (б) Орбита 15: (k, φ) =(0.312, 0.000); T = 1.81τ .Рис. 2.14: (а) Орбита 2: (k, φ) = (0.133, 0.393); T = 3.62τ . (б) Орбита 3: (k, φ) =(0.196, 0.245); T = 3.62τ .45Рис. 2.15: (а) Орбита 12: (k, φ) = (0.020, 0.000); T = 5.39τ . (б) Орбита 16: (k, φ) =(0.462, 0.000); T = 3.60τ .Рис. 2.16: Орбита 17: (k, φ) = (0.526, 0.000); T = 4.38τ .46Рис. 2.17: Орбита 19: (k, φ) = (0.284, 0.565); T = 9.00τ .• если самопересечения происходят на границе и внутри области орбиты центрального тела, то их количество равно числу оборотов каждого из крайнихтел (см.
рис. 2.18).На рис. 2.11 можно выделить цепочку из 6 точек, ориентированную примернопод углом 45◦ к оси абсцисс, начиная с орбиты 3 (рис. 2.14б) и заканчивая орбитой8 (рис. 2.18в). Цепочку можно аппроксимировать отрезком прямой I. В эту цепочкувходят орбиты двух типов:1. орбиты с осевой симметрией (рис. 2.14б, 2.17, 2.18в,г);2. орбиты с точками возврата для крайних тел и точками двойных соударенийцентрального тела с каждым из крайних тел (рис. 2.12г, 2.19).В орбитах первого типа наблюдаются две особенности:а) увеличение числа самопересечений витков траектории центрального тела с увеличением k и φ;б) чередование орбит с самопересечениями витков траектории центрального тела только внутри области движения и орбит с самопересечениями как внутриобласти, так и на ее границе.Вблизи S-орбиты (рис. 2.12г) обнаружены две периодические орбиты 10 и 11(рис.
2.20) с почти одинаковыми периодами (T = 5.37τ ), равными удвоенному периоду S-орбиты. Начальные условия для этих трех орбит лежат приблизительно наодной прямой II в области (k, φ). Эта прямая примерно ортогональна прямой I (см.47Рис. 2.18: (а) Орбита 6: (k, φ) = (0.447, 0.706); T = 4.39τ . (б) Орбита 7: (k, φ) =(0.478, 0.801); T = 7.77τ . (в) Орбита 8: (k, φ) = (0.347, 0.780); T = 9.77τ . (г) Орбита 9:(k, φ) = (0.261, 0.516); T = 6.31τ .48Рис. 2.19: Орбита 18: (k, φ) = (0.238, 0.454); T = 9.93τ .рис. 2.11). Орбиты 10 и 11 топологически эквивалентны, но не идентичны. Они представляют собой в некотором роде бифуркации S-орбиты. Точки возврата траекторийкрайних тел S-орбиты раздваиваются“ и трансформируются в узкие петли (витки”траектории прихода и ухода в точки возврата“ не совпадают).
К этим трем орбитам”примыкает“ орбита 21 (рис. 2.21), у которой, как и у S-орбиты, имеются две точки””возврата“ крайних тел. Однако витки траектории прихода и ухода в точки возврата“”не совпадают и точки возврата“ фактически являются точками заострения“.””Заметим, что орбиты 19 (рис. 2.17) и 21 (рис. 2.21) имеют близкие периоды (T ≈9.0τ ), однако формы траекторий у них сильно различаются.Отдельно выделяется орбита 5 (рис. 2.24а), имеющая две взаимно ортогональныеоси симметрии.
Эта орбита имеет некоторое эволюционное сходство с орбитой 21, и,возможно, связана с S-орбитой.В переходной области между S-орбитой (рис. 2.12г) и орбитой Мура (рис. 2.12б)обнаружены три близкие к периодическим орбиты 6, 7 и 8 (см. рис. 2.18а–в). Эти триорбиты обладают осевой и центральной симметрией (имеют две взаимно ортогональные оси симметрии).
Количество самопересечений витков траектории центральноготела на одной из осей симметрии равно количеству витков траекторий крайних тел(соответственно 5, 9 и 11 самопересечений/витков для орбит 6, 7 и 8). Одно из самопересечений совпадает с начальным положением центрального тела в центре масстройной системы.В область начальных условий, связанную с орбитой Мура, попали сама орбитаМура (рис.
2.12б) и орбита 22 (рис. 2.22), являющаяся ее производной. Период орбиты22 в четыре раза больше периода орбиты Мура, каждое тело в течение одного периода49Рис. 2.20: (а) Орбита 10: (k, φ) = (0.418, 0.545); T = 5.37τ . (б) Орбита 11: (k, φ) =(0.224, 0.857); T = 5.37τ .Рис. 2.21: Орбита 21: (k, φ) = (0.162, 0.845); T = 9.01τ .50Рис. 2.22: Орбита 22: (k, φ) = (0.532, 1.053); T = 6.70τ .описывает 4 восьмерки.
Отметим, что орбита Мура ( восьмерка“) обладает двумя”осями симметрии, а орбита 22 обладает только симметрией относительно поворота ине является хореографией.Периодическая орбита 4 (рис. 2.23) связана с орбитой Брука (рис. 2.12в), имеет период в четыре раза больший, чем орбита Брука, и две ортогональные оси симметрии.Заметим, что при первоначальном сканировании две орбиты с номерами 5 и 7 втабл. 2.1 не были обнаружены нами при Φcrit = 0.03 и Φcrit = 0.01.
Однако они былиобнаружены при подробном сканировании с Φcrit = 0.01 и шагами ∆k = ∆φ = 0.00001окрестностей точек (k, φ), приведенных в табл. 2.1. Эти орбиты представлены нарис. 2.24.Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:1. Все найденные нами близкие к периодическим орбиты имеют общие свойства:симметрия определенного типа и соотношения между числом самопересечений витков траектории центрального тела на одной из осей симметрии и числом оборотовкрайних тел;2. Орбиты можно классифицировать на несколько групп, внутри которых прослеживается направленное изменение структуры орбит.3.
В отдельных случаях внутри групп наблюдается изменение кратности периодов.51Рис. 2.23: Орбита 4: (k, φ) = (0.424, 1.435); T = 6.67τ .Рис. 2.24: (а) Орбита 5: (k, φ) = (0.02798, 0.99398); T = 7.193τ . (б) Орбита 7: (k, φ) =(0.478, 0.801); T = 7.77τ .522.4.2Периоды T < 100τРассмотрим результаты сканирования плоскости (k, φ) с шагами ∆k = ∆φ = 0.001,со значениями Φcrit = 0.03 и значениями периодов T < 100τ .
Был обнаружен рядобластей, содержащих в себе начальные условия для периодических орбит или близких к ним (рис. 2.25). Самая большая область (левая нижняя часть рисунка) связана с орбитой Шубарта (начальные условия (k, φ) = (0.203, 0)). Верхняя часть этойобласти относится к S-орбите (k, φ) = (0.333, 0.656). В центре справа расположенаобласть орбиты Мура — восьмерка“ (k, φ) = (0.484, 1.000). В верхней части рисунка”находится область, связанная с орбитой Брука (k, φ) = (0.418, 1.571).Рис.
2.25: Область (k, φ) для орбит с периодами T < 100τ .Вдоль оси абсцисс (прямолинейная задача) расположены области, в которых содержатся начальные условия для орбит, периоды которых приблизительно кратныпериоду орбиты Шубарта. Кроме того, на рисунке наблюдается раздвоение области53орбиты Шубарта на два хребта“. Левому хребту“ соответствуют орбиты с точ””ками возврата, а правому — без таких точек. Правый хребет“ тянется от орбиты”Шубарта к S-орбите. От него отходят ребра“ — вытянутые области, соответству”ющие периодическим орбитам (или близким к ним), для которых значение периодаT > 10τ .
Также наблюдаются два вертикальных столба“, примыкающих к оси абс”цисс в окрестностях точек (k = 0.10) и (k = 0.31), соответствующих (с точностьюдо сдвига по фазе) периодическим орбитам с одинаковыми периодами T ≈ 1.8τ ,равными удвоенному периоду орбиты Шубарта. Таким образом, имеет место бифуркация орбиты Шубарта. В области, центр которой находится в точке с координатами (k, φ) ≈ (0.45, 0.75), обнаружены начальные условия для периодических орбит,по своей геометрии занимающих промежуточное положение между S-орбитой и орбитой Мура. Кроме связных структур наблюдаются изолированные точки. Точки,лежащие на оси абсцисс, соответствуют периодическим орбитам в прямолинейнойзадаче, с периодами, приблизительно кратными периоду орбиты Шубарта.
Отдельно выделяется точка с координатами (k, φ) ≈ (0.028, 0.994). Соответствующая орбитаотдаленно напоминает S-орбиту.На рис. 2.26 приведены точки, соответствующие начальным условиям для близких к периодическим орбит для различных интервалов периодов.
Рис. 2.26 состоит из четырех фрагментов, суперпозиция которых составляет рис. 2.25. На каждом из фрагментов с различной степенью контраста проявляются детали структуры, описанные выше при обсуждении рис. 2.25. Например, вертикальные стол”бы“ образуются короткопериодическими орбитами и отчетливо проявляются толькона рис. 2.26а (несколько точек видны на рис. 2.26б) и вообще не проявляются нарис. 2.26в,г. С другой стороны, левый хребет“ и ребра“ четко наблюдаются только””на рис.
2.26в,г.На рис. 2.27–2.29 представлены примеры близких к периодическим орбит с периодами до 25τ . Орбиты с большими периодами на качественном уровне часто повторяют орбиты с меньшими периодами; при этом большие периоды кратны малым.Орбиты, представленные на рис. 2.27а,б, относятся к одному семейству периодических орбит, связанному с орбитой Шубарта. Периоды этих орбит кратны периодуT = 0.90τ орбиты Шубарта, соответственно, в 25 и 27 раз. Обе орбиты обладаютцентральной симметрией. Орбита на рис. 2.27в связана с S-орбитой, обладает центральной симметрией. Ее период равен восьмикратному периоду S-орбиты.Орбиты на рис. 2.27г и рис. 2.28а,б относятся к одному семейству, порожденномуорбитой, представленной на рис.
2.27г, найденной впервые. Дополнительным аргументом в пользу этого служит то, что периоды орбит 28 и 29 равны учетверенномупериоду орбиты 27 (приблизительно 9 периодов S-орбиты). Орбита на рис. 2.28в занимает промежуточное положение между семейством орбиты 27 и семейством орбиты54Рис. 2.26: Начальные условия (k, φ) для близких к периодическим орбит с периодами:(а) T < 10τ ; (б) 10τ < T < 20τ ; (в) 20τ < T < 50τ ; (г) 50τ < T < 100τ .55Мура, кратность периодов составляет 14 раз.Два представителя семейства восьмерки“ изображены на рис. 2.28г и рис. 2.29а.”Примечательно, что они имеют одинаковые периоды, равные 7 периодам восьмерки“”T = 1.68τ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
