Диссертация (1150721), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это решение существует при любых значениях α. Другойпростой пример хореографии представляет собой орбита восьмерка“, впервые об”наруженная Муром (Moore, 1993). Движение тел происходит по замкнутой траектории с двумя петлями, имеющей форму цифры восемь, повернутой на угол 90◦ . Мурпоказал, что решение восьмерка“ существует при всех α < 2. Это решение было”исследовано Симо (Simo, 2002), который доказал устойчивость этой орбиты. Отметим, что хореографии известны только для случая равных масс, что, по-видимому,является необходимым условием их существования. Кроме того, известны решения,в которых два тела движутся вдоль одной замкнутой кривой, а третье тело описывает собственную замкнутую траекторию. Такие решения называются частичнымихореографиями.Существуют различные способы представления периодических орбит в задачетрех тел.
Наряду с классическим изображением траекторий тел на плоскости илив пространстве используется изображение траекторий тел на так называемой сфереформ, на которую проецируются движения из плоскости или пространства. Проекцияосуществляется путем сокращения размерности конфигурационного пространства.Размерность конфигурационного пространства можно уменьшить при учете траекторий, которые совпадают с точностью до переноса и/или поворота. Для уменьшения размерности с точностью до переноса удобно выразить взаимные расстояния между телами и момент инерции тройной системы, например, через координатыЯкоби. После этих преобразований конфигурационное пространство станет четырехмерным. Для уменьшения размерности с точностью до поворота вводятся комплексные переменные посредством преобразования Хопфа.
Получившееся трехмерное пространство, где каждая точка соответствует всем конгруэнтным треугольникам, называется пространством форм. Сфера форм, каждая точка которой соответствует элементу множества всех подобных треугольников, получается из пространства форм25путем деления координат пространства форм на половину момента инерции.
Экватор сферы форм содержит множество вырожденных треугольников. В частности, наэкваторе лежат три точки Эйлера и три точки двойных соударений. Все эти точкилежат на меридианах, соответствующих равнобедренным треугольникам.При нулевом угловом моменте траектории обладают двумя важными свойствами(Chenciner and Montgomery, 2000; Montgomery, 2002; Titov, 2015):• можно восстановить исходную траекторию (с точностью до поворота) по еепредставлению на сфере форм;• координаты третьего тела на сфере форм есть монотонные функции, лежащиемежду двумя локальными экстремумами на противоположных полусферах.Если x(t) — решение задачи трех тел, то λx(λ−3/2 t) также является решением этойзадачи.
Тогда посредством масштабирования мы можем выбрать универсальный период T = 2π.Поскольку сфера форм позволяет редуцировать размерность пространства, тоона является удобным инструментом для наглядного представления траекторий взадаче трех тел.В некоторых работах периодические и квазипериодические орбиты в задаче трехтел рассматриваются с точки зрения теории групп (см., например, Barutello et al.,2004; Titov, 2006). Теория групп помогает в исследовании свойств симметрии периодических решений и их классификации. Учет симметрии позволяет уменьшить числокоэффициентов разложения в ряд Фурье (Titov, 2006), поскольку некоторые переменные обнуляются, а другие можно найти из известных соотношений.
Барутеллои др. (Barutello et al., 2004) показали, что для бесстолкновительной плоской задачитрех тел имеется всего 10 конечных групп симметрий функционала действия (1.9).Важным вопросом, имеющим отношение к периодическим орбитам, является вопрос об их устойчивости. Для исследования этого вопроса существенную роль играет КАМ-теорема: При слабых возмущениях динамической системы большинство”инвариантных торов не разрушается, а только слабо сдвигается внутри фазовогопространства“. При доказательстве КАМ-теоремы Мозер (Moser, 1962) и Арнольд(Арнольд, 1963) показали, что в задаче трех тел существуют решения в виде сходящихся степенных рядов. КАМ-теорема весьма полезна при изучении глобальнойустойчивости в задаче трех тел (см., например, Robutel, 1993a; Montgomery, 2001;Simo, 2002). Заметим, что некоторые приложения допустимы только в случае малоймассы одного из тел (Robutel, 1993b).Наряду с динамической устойчивостью орбит представляет интерес определениерегулярности или хаотичности движений тел.
Одним из широко распространенных26методов определения регулярности или хаотичности орбиты является метод характеристических показателей Ляпунова (Lyapunov, 1907). Впервые этот метод был применен к общей задаче трех тел в работе Бенеттина и др.
(Benettin et al., 1976). Методиспользует описание двух близких траекторий в фазовом пространстве. Рассматривается зависимость расстояния между этими траекториями от времени. Для устойчивых орбит зависимость имеет степенной (обычно линейный) характер, тогда какдля неустойчивых орбит характер экспоненциальный.Для определения характера движений в системе наряду с показателями Ляпунова используются и другие индикаторы (Musielak and Quarles, 2014): быстрый индикатор Ляпунова (FLI) и средний фактор экспоненциальной расходимости близкихорбит (MEGNO).
Использование этих индикаторов позволяет определить регулярность или стохастичность движений на временах, значительно меньших, чем дляхарактеристических показателей Ляпунова.27Глава 2ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМУГЛОВЫМ МОМЕНТОМ ИНЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИСКОРОСТЯМИ2.1Введение и постановка задачиВ литературе известно большое количество семейств периодических орбит, среди которых особое место занимают семейства устойчивых периодических орбит.
В общейзадаче трех тел открыто несколько семейств устойчивых периодических орбит. Вчастности, для случая равных масс и нулевого углового момента известны следующие орбиты: орбита Шубарта (Schubart, 1956), орбита Брука (Broucke, 1979), орбитаМура восьмерка“ (Moore, 1993), S-орбита (Мартынова и др., 2009). Еще несколько”вероятно устойчивых периодических орбит найдены Шуваковым и Дмитрашиновичем (Šuvakov and Dmitrašinović, 2013), которые также рассматривали задачу трехтел с равными массами и нулевым угловым моментом.Особый интерес представляет исследование структуры областей начальных условий, соответствующих тройным системам с ограниченными движениями, связанныхс устойчивыми периодическими орбитами.
Такая работа была проделана Мартыновой и др. (2009). Этими авторами было исследовано двумерное сечение области начальных условий в плоской задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом (способ задания начальных условий описан ниже). Они показали, что существуют непрерывные области устойчивости, связанные с упомянутыми выше орбитамиШубарта, Брука, Мура и S-орбитой.Рассмотрим тройную систему с компонентами равных масс и нулевым угловыммоментом. Следовательно, движения всех тел происходят в одной плоскости. Используем способ задания начальных условий, предложенный в работе Мартыновойи др. (2009).
В начальный момент времени все три тела располагаются на одной28прямой, одно из тел, назовем его центральным, помещается в центр масс системы.Вектор скорости центрального тела противоположно направлен относительно векторов скоростей двух крайних тел, которые равны по величине и направлению. Длявыполнения закона сохранения импульса модуль вектора скорости центрального тела полагается в два раза больше, чем модули векторов скорости крайних тел.
Полнаяэнергия тройной системы принимается равной E = −1. Рассмотренный вариант задания начальных условий представляет собой частный случай общей задачи трех тел.Равенство масс всех тел, нулевой угловой момент, фиксированная полная энергия иучет условий симметрии позволяют сократить число параметров задачи до двух.При помощи преобразований 12 параметров движения тел, т.е. их начальные скорости и координаты можно определить через два параметра: вириальный коэффициент k, равный отношению кинетической энергии к модулю потенциальной энергиитройной системы; угол φ между вектором скорости центрального тела и прямой, накоторой лежат все тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
