Диссертация (1150721), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Обе эти орбиты являются хореографиями, т.е. все три тела движутся поодной и той же замкнутой кривой.Орбиты, изображенные на рис. 2.29б,в, занимают промежуточное положение между семействами орбит Мура и Брука. В обоих случаях траектория центрального телаимеет две точки возврата, как и орбита Брука, в то же время витки траекторий всехтрех тел описывают замкнутые и незамкнутые восьмерки“. Орбита, представленная”на рис. 2.29г, является уникальной, причем ее период кратен периодам четырех ранееизвестных порождающих орбит: 15, 5 и 8 раз, соответственно, для орбиты Шубарта,S-орбиты и орбит Брука и Мура.В области начальных условий, определяемых параметрами (k, φ), обнаруженныеорбиты образуют различные семейства.
Принадлежность к тому или иному семейству определяется, в первую очередь, топологическим сходством и кратностью периода данной орбиты (порожденной) одному из нескольких периодов основных (порождающих) орбит. В качестве порождающих орбит, как правило, выступают известныеорбиты: орбита Шубарта (T ≈ 0.90τ ), S-орбита (T ≈ 2.68τ ), орбита Мура (T ≈ 1.68τ )и орбита Брука (T ≈ 1.67τ ).
Причем период S-орбиты примерно в три раза большепериода орбиты Шубарта, а периоды орбит Мура и Брука почти равны. Новая орбита 27, представленная на рис. 2.27г, с периодом T ≈ 6.08τ , по-видимому, являетсяпорождающей, т.к. ее период не кратен ни одному из четырех перечисленных выше.Эта орбита является базовой для орбит, представленных на рис. 2.28а,б (периодыотличаются в 4 раза).56Рис. 2.27: (а) Орбита 24: (k, φ) = (0.259, 0.476); T = 22.56τ . (б) Орбита 25: (k, φ) =(0.264, 0.579); T = 24.32τ .
(в) Орбита 26: (k, φ) = (0.330, 0.650); T = 21.48τ . (г) Орбита27: (k, φ) = (0.501, 0.713); T = 6.08τ .57Рис. 2.28: (а) Орбита 28: (k, φ) = (0.499, 0.690); T = 24.31τ . (б) Орбита 29: (k, φ) =(0.480, 0.756); T = 24.31τ . (в) Орбита 30: (k, φ) = (0.458, 0.708); T = 23.65τ . (г) Орбита31: (k, φ) = (0.385, 1.188); T = 11.73τ .58Рис. 2.29: (а) Орбита 32: (k, φ) = (0.567, 0.929); T = 11.73τ . (б) Орбита 33: (k, φ) =(0.459, 1.134); T = 18.40τ . (в) Орбита 34: (k, φ) = (0.419, 1.397); T = 21.68τ . (г) Орбита35: (k, φ) = (0.081, 1.148); T = 13.55τ .592.5Тонкая структура перехода между орбитой Шубарта и S-орбитойРассмотрим более детально структуру ребер“ и хребта“, а также проследим изме””нение топологии орбит при переходе от начальных условий, соответствующих орбитам типа орбиты Шубарта, к начальным условиям, соответствующим орбитам типаS-орбиты.
Для этого отдельные фрагменты области начальных условий (k, φ) былипросканированы с различными шагами ∆k и ∆φ, а также с различными значениями Φcrit = 0.01, 0.003, что позволило локализовать начальные условия для орбит,близких к периодическим, и проследить эволюцию геометрии орбит. В процессе работы были замечены некоторые закономерности изменений периода и топологическойструктуры орбит при вариации начальных условий (k, φ).В результате дополнительного исследования окрестности хребта“ были обнару”жены близкие к периодическим орбиты двух типов:1. орбиты типа орбиты Шубарта (центральное тело движется по кривой, напоминающей несколько восьмерок, и испытывает последовательные двойные сближения с каждым из крайних тел);2. орбиты типа S-орбиты (траектория центрального тела напоминает букву S,траектории крайних тел содержат по одной точке возврата).На рис.
2.30 изображены начальные условия для найденных орбит двух типов (дляорбит типа Шубарта они обозначены плюсиками, для орбит типа S-орбиты — кружками). Серыми точками обозначены начальные условия для всех орбит из рис. 2.25.Проведенный анализ показал, что орбиты с одинаковыми (или кратными) периодамиформируют ребра“. Было высказано предположение, что, если упорядочить орбиты”по периодам, то появится возможность пронаблюдать эволюцию“ топологической”структуры при увеличении периода.
Однако, при движении вдоль хребта“ вверх”и вправо периоды орбит меняются не регулярно: чередуются орбиты с малыми ибольшими периодами (отличие может быть в несколько раз). Из рис. 2.30 видно, чтоначальные условия (k, φ) для орбит этих двух типов не пересекаются друг с другом,расположены в изолированных областях.Было проведено детальное сканирование пограничной области между этими областями (см. рис. 2.31) с шагами ∆k = ∆φ = 0.00001 для Φcrit = 0.003 и периодамиT ≤ 500τ . В левой части рис.
2.31 квадратиками обозначены начальные условия дляблизких к периодическим орбит, принадлежащих области устойчивости, связанной сорбитой Шубарта. Периоды этих орбит в большинстве случаев кратны периоду орбиты Шубарта T ≈ 0.90τ . В правой части рисунка крестиками отмечены начальные60Рис. 2.30: Структура области (k, φ) для орбит с периодами T ≤ 100τ . Серые точкивзяты из рис.
2.25, плюсиками обозначены начальные условия для орбит типа орбитыШубарта, кружками — для орбит типа S-орбиты.условия для близких к периодическим орбит, содержащихся в области, связанной сS-орбитой. Периоды этих орбит, как правило, кратны периоду S-орбиты T ≈ 2.68τ .Прямоугольником на рис. 2.31 выделен фрагмент области (рис. 2.32), для которойпроводилось дополнительное сканирование с шагами ∆k = 0.0000001, ∆φ = 0.0001для Φcrit = 0.01 и периодами T ≤ 2000τ .
На рис. 2.32 хорошо выделяются два множества точек: слева — множество, связанное с орбитой Шубарта; справа — связанноес S-орбитой. Эти множества разделены зоной избегания“ (отделена двумя парал”лельными прямыми), в которой было обнаружено только несколько точек, удовлетворяющих условиям поиска. Периоды орбит, начальные условия которых находятсяв зоне избегания“, не кратны периодам орбиты Шубарта и S-орбиты.”61Рис. 2.31: Пограничная область между областями орбиты Шубарта и S-орбиты.
Прямоугольником выделена область, для которой проведено сканирование с более мелким шагом (см. рис. 2.32).62Рис. 2.32: Тонкая структура пограничной области (выделена прямоугольником нарис. 2.31) между областями орбиты Шубарта и S-орбиты.63Рис. 2.33: Пример траектории(0.311056, 0.62952); T = 314.60τ .изобластиорбитыШубарта:(k, φ)=Рассмотрим траектории движения тел в тройных системах с начальными условиями из области орбиты Шубарта (рис.
2.33), в зоне избегания“ (рис. 2.34а-в) и из”области S-орбиты (рис. 2.34г). На рис. 2.32 начальные условия для этих орбит обозначены кружками. Траектория, представленная на рис. 2.33, с периодом T = 314.60τ ,имеет топологию, характерную для орбит семейства орбиты Шубарта (см. Яськои Орлов, 2014а,б): траектории имеют две взаимно ортогональных оси симметрии,проходящие через центр масс тройной системы (имеет место осевая и центральнаясимметрия); центральное тело испытывает чередующиеся сближения с каждым изкрайних тел.
Однако, заметим, что период данной орбиты не кратен периоду орбитыШубарта, отношение периодов равно 349.56.Орбиты в зоне избегания“ (рис. 2.34а-в) обладают чертами, характерными как”для орбит типа орбиты Шубарта, так и для орбит типа S-орбиты. У орбиты, изображенной на рис. 2.34а, с периодом T = 152.12τ есть две взаимно ортогональныеоси симметрии, как и у орбит типа орбиты Шубарта. С другой стороны, образуютсяразрежения и сгущения витков траектории центрального тела (намечаются верхняяи нижняя дуги буквы S“).
Орбита с периодом T = 1089.31τ , представленная на”рис. 2.34б, не обладает осевой симметрией, но сохраняет центральную симметрию,свойственную S-орбите. Витки траектории центрального тела образуют два разрежения и утолщение, напоминающие по форме букву S“. Витки траекторий крайних”тел начинают разрежаться с одной стороны и уплотняться с другой, что характерно для орбит типа S-орбиты. Дальнейшая эволюция топологии видна на рис. 2.34в(T = 158.44τ ): четко видна S-образная структура, описываемая витками траекториицентрального тела, а витки траекторий крайних тел приобретают петлеобразную64форму с самопересечениями, характерную для траекторий крайних тел в S-орбите,сохраняется центральная симметрия. Для сравнения на рис. 2.34г приведена близкаяк периодической орбита типа S-орбиты с периодом T = 88.62τ .
Отношение периодаэтой орбиты к периоду S-орбиты приблизительно равно 33.06.Посредством подробного сканирования пограничной области на плоскости начальных условий (k, φ) было обнаружено следующее.• Пограничная область разделяет области начальных условий для тройных систем на множества орбиты Шубарта (слева снизу) и S-орбиты (справа сверху).• Топология орбит из пограничной области обладает чертами, характерными какдля множества орбиты Шубарта, так и для множества S-орбиты.• В пограничной области не обнаружено орбит с периодами T ≤ 100τ .• Периоды орбит из пограничной области не кратны ни периоду орбиты Шубарта, ни периоду S-орбиты.65Рис.
2.34: Примеры траекторий из пограничной области: (а) (k, φ)=(0.3116677, 0.62905); T = 152.12τ . (б) (k, φ) = (0.311306, 0.62975); T = 1089.31τ .(в) (k, φ) = (0.3114001, 0.62965); T = 158.44τ . (г) Пример траектории из областиS-орбиты: (k, φ) = (0.31223, 0.62902); T = 88.62τ .662.6Основные выводыВ рамках задачи трех тел с компонентами равных масс и нулевым угловым моментом изучалось поведение тройных систем в переходных областях между областямиустойчивости известных периодических орбит. Были рассмотрены две различные переходные области: между орбитой Шубарта и орбитой Мура; между орбитой Брукаи орбитой Мура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
