Диссертация (1150721), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Например, участкам AA“ — ∆t ≈ 0.35τ , AAA“ — ∆t ≈ 0.7τ и т.д.;””72Рис. 3.3: Примеры траекторий с начальными положениями на оси Oξ: (а) Орбита 1:ξ = 0.0154; T = 5.05τ . (б) Орбита 2: ξ = 0.0256; T = 4.35τ . (в) Орбита 3: ξ = 0.0257;T = 8.32τ . (г) Орбита 4: ξ = 0.0406; T = 3.98τ .73Рис. 3.4: Примеры траекторий с начальными положениями на оси Oξ: (а) Орбита 5:ξ = 0.0649; T = 5.80τ . (б) Орбита 6: ξ = 0.0886; T = 3.59τ . (в) Орбита 7: ξ = 0.1477;T = 5.84τ . (г) Орбита 8: ξ = 0.1528; T = 4.03τ .74Рис. 3.5: Примеры траекторий с начальными положениями на оси Oξ: (а) Орбита 9:ξ = 0.1662; T = 2.21τ .
(б) Орбита 10: ξ = 0.1984; T = 6.20τ . (в) Орбита 11: ξ = 0.2020;T = 5.85τ . (г) Орбита 12: ξ = 0.2073; T = 5.49τ .75Рис. 3.6: Примеры траекторий с начальными положениями на оси Oξ: (а) Орбита 13:ξ = 0.2152; T = 5.13τ . (б) Орбита 14: ξ = 0.2226; T = 4.75τ . (в) Орбита 15: ξ = 0.3497;T = 9.62τ .76Рис. 3.7: Примеры траекторий с начальными положениями на оси Oξ: (а) Орбита16: ξ = 0.2334; T = 10.20τ .
(б) Орбита 17: ξ = 0.2165; T = 10.97τ . (в) Орбита 18:ξ = 0.0817; T = 11.18τ .77BAB“ — ∆t ≈ 0.9τ ; ABAB“ — ∆t ≈ 1.8τ ; BBAB“ — ∆t ≈ 1.3τ .”””Аналогичные символические последовательности можно ввести не только дляпрямолинейной задачи, но и для двух других случаев. Например, в равнобедренной задаче с начальными условиями на дуге окружности символические последовательности будут иметь вид B(n), где n равно числу последовательных двойныхсоударений тел B и C. Соответствующие последовательности также приведены в пятых столбцах табл.
3.2–3.4. Для орбит 45 и 46 (рис. 3.16) кроме двойных сближенийцентрального тела C с каждым из крайних, наблюдаются сближения крайних тел Aи B между собой. Для таких сближений мы используем символ Q.Все обнаруженные нами орбиты, кроме орбиты 3, обладают симметрией по времени относительно половины периода. Орбита 3 представляет суперпозицию орбит2 и 4, а ее период равен приблизительно сумме периодов орбит 2 и 4: T3 ≈ T2 + T4 .При этом начальные условия для орбит 2 и 3 близки (см. табл.
3.1). Дополнительныйанализ траекторий с начальными условиями в окрестности точки (ξ, η) = (0.0257, 0)показал, что малые вариации начальных условий приводят к сильной расходимости решений на интервалах времени порядка нескольких периодов. Таким образом,близость орбиты 3 к периодической ставится под сомнение и требует дальнейшегоисследования.На основе вышесказанного можно предположить, что в рамках данной задачиимеется, по крайней мере, два типа периодических орбит, для которых в моментвремени t = T /2 осуществляется одно из двух событий (последний столбец табл.
3.1–3.4):1. одновременная остановка всех трех тел (четное число символов в соответствующей символической последовательности);2. двойное соударение с одновременной остановкой третьего тела (нечетное числосимволов в соответствующей символической последовательности).3.3Равнобедренный случайПусть в начальный момент времени тела располагаются в вершинах равнобедренного треугольника, тогда в ходе динамической эволюции в каждый момент времени тела также будут находиться в вершинах равнобедренного треугольника.
Этимслучаям соответствуют положения тела C(ξ, η) на дуге окружности единичного радиуса с центром в точке A, которая ограничивает область D, и на оси Oη (ξ = 0).Дуге окружности соответствуют треугольники с углом при вершине меньше π/3;оси Oη — треугольники с углом при вершине больше π/3 и меньше π.
Точке пересечения окружности с осью ординат соответствует равносторонний треугольник.78Динамическая эволюция тройной системы с начальными координатами в этой точке√(ξ, η) = (0, 23 ) приводит к тройному соударению.В процессе исследования области D наряду с основным сканированием для всейобласти было проведено дополнительное сканирование дуги окружности, ограничиη).
Величина углавающей область. Сканирование проводилось по углу α = arctg( ξ+1/2α менялась в интервале (0.3, π/3) с шагом ∆α = 10−6 . В результате обоих сканирований было обнаружено несколько областей, соответствующих различным близкимк периодическим орбитам. Соответствующие орбиты приведены на рис. 3.8–3.13. Основная информация об этих орбитах сведена в табл. 3.2 и 3.3. Обозначения в таблицахтакие же, как и в табл. 3.1.Таблица 3.2: Характеристики найденных близких к периодическим орбит из семейства I в равнобедренной задаче.N19202122232425262728ξ0.40240.19450.16770.15460.14640.14070.13640.13390.13040.1281ηT, τ0.4309 2.070.7195 2.760.7444 3.190.7560 3.580.7630 3.960.7678 4.320.7713 4.670.7751 5.020.7763 5.360.7781 5.71Символическая последовательностьB(3)B(4)B(5)B(6)B(7)B(8)B(9)B(10)B(11)B(12)ПримечанияСоударениеОстановкаСоударениеОстановкаСоударениеОстановкаСоударениеОстановкаСоударениеОстановкаСреди близких к периодическим орбит, обнаруженных в результате сканированиядуги окружности, выделяется семейство орбит, характерной особенностью которыхявляется наличие одного направления, вдоль которого происходят последовательные соударения тел B и C в течение половины периода, после чего происходит сменанаправления движения на противоположное.
Это семейство получило название се”мейство I“. Внутри данного семейства происходит чередование типа орбит: орбитас остановкой через t = T /2 меняется на орбиту с двойным соударением тел черезt = T /2 и т.д. С ростом угла α возрастает период орбиты, число двойных соударенийи длина выброса компонента A в течение периода. Последовательность начальныхусловий для орбит семейства I асимптотически приближается к границе зоны распадов (Агекян и Аносова, 1977).В процессе поиска близких к периодическим орбит было обнаружено еще 6 орбитиз этого же семейства, но с большим количеством двойных сближений компонентовв течение периода. Некоторые из этих орбит приведены на рис. 3.10в,г.
Отсутствие79некоторых орбит из последовательностей вида B(n) при n > 12 может быть связанос недостаточно мелким шагом сканирования.Отметим, что символическая последовательность для орбиты Брука (Broucke,1979) (см. рис. 2.12в) выглядит как BB — в течение одного периода происходитдва соударения между телами B и C. Однако, динамика орбиты Брука исключаетодновременную остановку всех трех тел, что означает невозможность обнаружитьэту орбиту в области D.Рис. 3.8: Примеры траекторий с начальными положениями на границе области D —дуге окружности: (а) Орбита 19: (ξ, η) = (0.4024, 0.4309); T = 2.07τ .
(б) Орбита 20:(ξ, η) = (0.1945, 0.7195); T = 2.76τ . (в) Орбита 21: (ξ, η) = (0.1677, 0.7444); T = 3.19τ .(г) Орбита 22: (ξ, η) = (0.1546, 0.7560); T = 3.58τ .Кроме семейства I были обнаружены близкие к периодическим орбиты, по своим топологическим признакам относящиеся к другим семействам. Характеристики80Рис. 3.9: Примеры траекторий с начальными положениями на границе области D —дуге окружности: (а) Орбита 23: (ξ, η) = (0.1464, 0.7630); T = 3.96τ . (б) Орбита 24:(ξ, η) = (0.1407, 0.7678); T = 4.32τ .
(в) Орбита 25: (ξ, η) = (0.1364, 0.7713); T = 4.67τ .(г) Орбита 26: (ξ, η) = (0.1339, 0.7751); T = 5.02τ .найденных орбит представлены в табл. 3.3 по возрастанию периодов. Траекториидвижения показаны на рис. 3.11– 3.13. В отличие от орбит семейства I, для которыххарактерно сохранение направления движения центра масс тел B и C до момента времени t = T /2, в рассмотренных орбитах направление движения центра массменяется, что позволяет рассматривать их отдельно.Эволюция орбит с номерами 31 и 32, отмеченных в табл. 3.3 символом *“, приво”дит в окрестность тройного соударения.
Это наглядно видно из рис. 3.14, на которомпредставлены зависимости координаты x от времени. Тройные соударения расположены симметрично относительно момента времени t = T /2.81Рис. 3.10: Примеры траекторий с начальными положениями на границе области D —дуге окружности: (а) Орбита 27: (ξ, η) = (0.1304, 0.7763); T = 5.36τ . (б) Орбита28: (ξ, η) = (0.1281, 0.7781); T = 5.71τ .
(в) (ξ, η) = (0.1233, 0.7824); T = 6.71τ . (г)(ξ, η) = (0.1092, 0.7930); T = 15.17τ .Заметим, что орбиты с номерами 39 и 40, имеющие одинаковые периоды, топологически идентичны, хотя их начальные условия различаются. Это связано с тем, чтопроисходит перемена мест начала и середины движения (положения тел в моментыt = 0 и t = T /2 меняются местами).82Таблица 3.3: Характеристики найденных близких к периодическим орбит из другихсемейств в равнобедренной задаче.N293031*32*3334353637383940ξ0.28730.23170.17240.20560.42370.34810.24950.37640.14420.29320.36110.2802η0.61660.68170.74020.70860.38310.52980.66200.48170.76480.60900.50850.6255T, τ Символическая последовательность6.01B(8)6.42B(9)6.51B(9)6.79B(10)7.62B(12)9.30B(12)9.62B(14)12.06B(16)12.32B(21)12.44B(17)15.31B(20)15.31B(20)83ПримечанияОстановкаСоударениеСоударениеОстановкаОстановкаОстановкаОстановкаОстановкаСоударениеСоударениеОстановкаОстановкаРис.
3.11: Примеры траекторий с начальными положениями на границе области D —дуге окружности: (а) Орбита 29: (ξ, η) = (0.2873, 0.6166); T = 6.01τ . (б) Орбита 30:(ξ, η) = (0.2317, 0.6817); T = 6.42τ . (в) Орбита 31: (ξ, η) = (0.1724, 0.7402); T = 6.51τ .(г) Орбита 32: (ξ, η) = (0.2056, 0.7086); T = 6.79τ .84Рис. 3.12: Примеры траекторий с начальными положениями на границе области D —дуге окружности: (а) Орбита 33: (ξ, η) = (0.4237, 0.3831); T = 7.62τ . (б) Орбита 34:(ξ, η) = (0.3481, 0.5298); T = 9.30τ . (в) Орбита 35: (ξ, η) = (0.2495, 0.6620); T = 9.62τ .(г) Орбита 36: (ξ, η) = (0.3764, 0.4817); T = 12.06τ .85Рис.
3.13: Примеры траекторий с начальными положениями на границе области D —дуге окружности: (а) Орбита 37: (ξ, η) = (0.1442, 0.7648); T = 12.32τ . (б) Орбита 38:(ξ, η) = (0.2932, 0.6090); T = 12.44τ . (в) Орбита 39: (ξ, η) = (0.3611, 0.5085); T =15.31τ . (г) Орбита 40: (ξ, η) = (0.2802, 0.6255); T = 15.32τ .86Рис. 3.14: Зависимости x(t) для траекторий 31 (а) и 32 (б).873.4Общий случайОрбиты с начальными условиями внутри и вне области D относятся к общему случаю: в начальный момент времени тела образуют произвольный треугольник.
Характеристики обнаруженных орбит сведены в табл. 3.4. Траектории движения показанына рис. 3.15–3.17.Таблица 3.4: Характеристики найденных близких к периодическим орбит с начальными условиями вне границ области D.N41424344454647484950ξ0.20620.02740.06700.05800.34200.31700.42850.21050.14010.1621η0.19880.34110.46800.47680.68580.71410.13370.10830.06360.1777T, τ Символическая последовательность3.64BAB AA BAB3.63BAB AA BAB3.23BAB A BAB6.79BAB A BBB A BAB9.29BB Q AA QQQQ AA Q BB9.31BB Q A BBBB A Q BB12.61B(32)13.06BBAB A(8) B(5) A(8) BABB23.91(BA)(13) B (AB)(13)59.71(BA)(33) B (AB)(33)ПримечанияОстановкаОстановкаСоударениеСоударениеОстановкаОстановкаОстановкаОстановкаСоударениеСоударениеТраектории 41 и 42, имеющие одинаковые базовые последовательности и почтиравные периоды, совпадают (с точностью до перестановки тел) при повороте на 90◦(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
