Диссертация (1150721)
Текст из файла
Санкт–Петербургский государственный университетНа правах рукописиЯсько Павел ПетровичСВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ИБЛИЗКИХ К ПЕРИОДИЧЕСКИМРЕШЕНИЙ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХТЕЛСпециальность 01.03.01 – астрометрия и небесная механикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководитель:доктор физ.–мат. наук,профессор В.В. ОрловСанкт–Петербург – 2016ОглавлениеВВЕДЕНИЕ31 КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ1.1 История и достижения в изучении задачи трех тел . . .1.2 Постановка задачи . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Исследование периодических орбит . . . . . . . . . . . .ТЕЛ. . . .. . . .. . . .. . . .....................2 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ ИНЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ СКОРОСТЯМИ2.1 Введение и постановка задачи . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .2.2 Результаты исследования переходных областей между известными периодическими орбитами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Метод поиска близких к периодическим орбит . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Результаты сканирования . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .2.4.1 Периоды T < 10τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2 Периоды T < 100τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Тонкая структура перехода между орбитой Шубарта и S-орбитой . .
.2.6 Основные выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМИСТЯМИ3.1 Постановка задачи и общие результаты .3.2 Прямолинейный случай . . . . . . . . . .3.3 Равнобедренный случай . . . . . . . . . .3.4 Общий случай . . . .
. . . . . . . . . . .3.5 Основные выводы . . . . . . . . . . . . .1213182224282831394141536067НАЧАЛЬНЫМИ СКОРО..........................................................................................696972788892ЗАКЛЮЧЕНИЕ93СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ952ВВЕДЕНИЕЗадача трех тел является классической задачей небесной механики. Сформулированная в 1687 году Ньютоном, она привлекала внимание многих выдающихся математиков, механиков и астрономов. Эйлер, Лагранж, Лаплас, Якоби, Хилл, Пуанкаре,Сундман, Биркхофф, Ляпунов, Колмогоров, Арнольд, Мозер и многие другие ученые посвятили этой задаче годы своих исследований. Общее решение задачи трех телбыло получено в 1912 году Сундманом в виде равномерно и абсолютно сходящихсярядов.
Однако, эти ряды сходятся чрезвычайно медленно, что означает их практическую непригодность. Отметим также, что ни одно свойство решений в задаче трехтел не было доказано с помощью этих рядов.Наряду с попытками найти общее решение задачи, предпринимались попыткиполучить решения в различных частных случаях, в которых накладываются дополнительные условия симметрии и упрощающие предположения. Таким частнымслучаем является система трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.
Изучению именно таких систем посвящена данная диссертационная работа.Важную роль в динамике тройных систем играют периодические орбиты. Устойчивые периодические орбиты притягивают“ к себе множества орбит с ограничен”ными движениями, а неустойчивые орбиты порождают хаос. Первые периодическиерешения в задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом были найденыв 1956 году Шубартом в прямолинейном случае, в 1979 году Бруком для равнобедренной задачи и в 1993 году Муром в общем случае.
В 2009 году Мартыновой, Орловыми Рубиновым была обнаружена новая близкая к периодической орбита, названнаяиз-за своей формы S-орбитой. В 2013 году исследования этой задачи Шуваковым иДмитрашиновичем привели к обнаружению 15 новых периодических орбит.Настоящая работа посвящена поиску периодических и близких к периодическиморбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.
Выполнено описание найденных орбит, и проведена их классификация по динамическим игеометрическим свойствам.3Актуальность работыИсследования периодических орбит в задаче трех тел проводятся регулярно со времен Пуанкаре. В последние десятилетия интерес к этой тематике существенно вырос — появилось много работ, использующих качественные, аналитические и численные методы исследований. Непрерывный прогресс в вычислительной технике позволяет разрабатывать и применять все новые методы и подходы в поиске и изучении периодических решений.
Совместное использование численных экспериментов и аналитических методов современной математики (вариационное исчисление,теория групп, функциональный анализ и др.) позволяет эффективно применятьчисленно–аналитический подход для поиска периодических решений и исследованияих свойств. Однако, в основном, в предыдущих работах рассматривались отдельныепериодические орбиты в ограниченных областях начальных условий в различныхчастных случаях задачи трех тел. Например, в прямолинейной и равнобедренной задачах.
Таким образом, представляется актуальным рассмотрение обобщающих случаев в задаче трех тел, локализация и классификация периодических орбит, выделение отдельных семейств периодических орбит, изучение зависимостей устойчивости,топологии, характера эволюции и динамики от начальных условий и параметровзадачи.Цели работыОсновной целью работы является поиск и исследование периодических и близких кпериодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие частныезадачи:1. исследование промежуточных областей между известными устойчивыми периодическими орбитами в пространстве начальных условий;2.
разработка и апробация нового алгоритма, позволяющего определять областиначальных условий для близких к периодическим орбит с заданной точностью;3. применение разработанного алгоритма для локализации начальных условийблизких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом;4. проведение классификации обнаруженных орбит на основе их геометрическихи динамических свойств, выделение семейств периодических орбит на основеэтих свойств.4Научная новизна1. Для двух переходных областей между устойчивыми периодическими орбитамипоказано отсутствие траекторий с ограниченными движениями и установлено, что время жизни долгоживущих тройных систем подчиняется степенномузакону f (Te ) ∝ Te−α с показателем α ≈ 2.2. Разработан новый метод поиска периодических орбит, основанный на минимизации безразмерной функции, определяющей близость начальных и текущихкоординат в фазовом пространстве.3. Впервые локализованы начальные условия для десятков близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.4.
Обнаружены новые семейства близких к периодическим орбит и определеныпорождающие их орбиты.5. Выполнена классификация орбит на основе сходства топологических свойстворбит.6. Обнаружена и детально исследована переходная область от орбит типа орбитыШубарта к орбитам типа S-орбиты.Научная и практическая ценность работыВ диссертационной работе предложен метод, позволяющий эффективно локализовывать начальные условия для периодических решений и близких к ним в общейзадаче трех тел.
Кроме того, его можно применять для определения начальных условий близких к периодическим орбит в задаче N тел. Предложенный метод дополняетимеющиеся инструменты для поиска и исследования периодических орбит и близкихк ним. Обнаруженные области начальных условий для близких к периодическим орбит представляют самостоятельную ценность для небесной механики и динамическойастрономии. Предложенная в работе классификация периодических орбит позволяет проследить изменение топологии и геометрии орбит в зависимости от начальныхусловий и параметров задачи.Результаты, выносимые на защиту1.
Предложен метод локализации начальных условий для близких к периодическим орбит.52. Локализовано несколько десятков областей начальных условий, соответствующих орбитам, близким к периодическим.3. Разработана классификация периодических орбит, основанная на их динамических и геометрических свойствах.4. Показано, что в переходных областях между устойчивыми периодическими орбитами динамическая эволюция тройных систем завершается распадом системы, причем для долгоживущих систем распределение времени распада подчиняется степенному закону.Достоверность результатовВ качестве критерия близости найденного решения к истинному периодическомупринимается значение безразмерной функции, вычисленное в процессе численногоинтегрирования. По определению значение этой функции для точной периодическойорбиты равно нулю.
Достоверность полученных результатов подтверждается согласием в сопоставимых случаях найденных нами решений с решениями, обнаруженными другими авторами, в том числе с использованием других методов и других способов задания начальных условий. Используемая в исследовании программа TRIPLEпоказала свою эффективность в многочисленных работах других авторов.Апробация работыОсновные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Кафедрынебесной механики СПбГУ, общегородском семинаре по звездной динамике и галактической астрономии, семинаре отдела небесной механики и динамической астрономии ГАО РАН.Результаты работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
