Диссертация (1150721), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В частности, Сундман (Sundman, 1909) доказал, что тройное соударение возможно только в тройных системах с нулевым угловым моментом.Следовательно, если все три тела столкнутся в одной точке пространства, то онидвигаются в плоскости, в которой лежит их центр масс. При приближении к точкетройного соударения тела асимптотически приближаются к одной из центральныхконфигураций: либо к прямолинейной конфигурации Эйлера, либо к треугольнойконфигурации Лагранжа.Во второй половине XIX века многие исследователи (Delaunay, 1867; Lindstedt,1884; Poincaré, 1892; Painlevé, 1896, 1897) пытались получить решение задачи трехтел в виде рядов, однако эти усилия не увенчались успехом. В то же время Пенлеве пришел к выводу, что такие решения принципиально возможны.
В 1912 годуСундман (Sundman, 1912) получил общее решение задачи трех тел в виде степенныхрядов. Кроме того, он доказал равномерную сходимость этих рядов. В дальнейшемвыяснилось, что ряды, полученные Сундманом, обладают чрезвычайно медленнойсходимостью и не применимы на практике. Кроме того, ни одно свойство решенийзадачи трех тел не было получено с помощью этих рядов.15Еще одна заслуга Пуанкаре в исследовании задачи трех тел состоит в том, чтоон первым записал уравнения движения в гамильтоновой форме (Poincaré, 1892).
Вобщем случае гамильтоновы системы могут быть разделены на интегрируемые и неинтегрируемые. В своих работах Брунс, Пенлеве и Пуанкаре исследовали проблемусуществования в задаче трех тел дополнительных интегралов (кроме 10 классических) и доказали их отсутствие в широком классе функций. Таким образом, можнопредположить, что система уравнений, описывающая движения трех тел, не интегрируема. Такие системы могут иметь периодические решения, зависящие от начальныхусловий (см., например, Арнольд и др. 2002).Со времен Пуанкаре многие исследователи пытались найти ответ на вопрос, чтопроизойдет с решением интегрируемой системы, если основные уравнения слегкавозмутить.
Правильный ответ на этот вопрос был получен Колмогоровым (Колмогоров, 1954) без формального доказательства, которое было дано позже Мозером(Moser, 1962) и Арнольдом (Арнольд, 1963). Соответствующая теорема, известнаяпод названием теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ-теорема), утверждает сохранение большинства инвариантных торов в фазовом пространстве при маломвозмущении интегрируемой гамильтоновой системы. Указанные инвариантные торыобразуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению малавместе с возмущением (см., например, Арнольд и др. 2002). Эта теорема сыгралаважную роль при изучении динамики тройных систем.Шази (Chazy, 1922, 1929, 1932) предложил классификацию финальных движений(при t → ±∞) тройных систем.
В своих работах он также исследовал возможностипереходов от одного типа (при t → −∞) к другому (при t → +∞). Полагаясь насвою интуицию, Шази не всегда верно определял возможность перехода. Например,считал невозможным захват, т.е. переход от гиперболических движений к гиперболоэллиптическим. Однако в дальнейшем Шмидт (Шмидт, 1947) на численном примерепоказал возможность такого перехода.
В этом примере при сближении трех гравитационно не связанных тел формируется двойная система, а третье тело удаляется отнее по гиперболической орбите. Дальнейшее развитие, уточнение и обобщение классификации финальных движений было проведено в работах Алексеева (Алексеев,1981).Важную роль в динамике трех тел играют периодические орбиты. Вокруг устойчивых периодических орбит существуют множества наборов траекторий с ограниченными движениями, на качественном уровне повторяющими порождающую ихпериодическую орбиту.
Согласно КАМ-теории, эти множества имеют конечную меру. Следовательно, существует ненулевая вероятность наблюдений принадлежащихэтим множествам тройных систем реальных астрономических объектов (тройныезвезды, триплеты галактик и т.д.).16До появления компьютеров периодические орбиты в задаче трех тел открывалисьпри помощи аналитических методов, например, решения Эйлера и Лагранжа. Развитие компьютерного моделирования позволило находить новые периодические орбитыи классифицировать их (см., например, Hénon, 1965a,b, 1974; Szebehely, 1967).171.2Постановка задачиНьютоном (Newton, 1687) была сформулирована и решена задача движения двухтел при отсутствии внешних сил. Под решением подразумевается установление зависимости координат и скоростей тел от времени. Дальнейшее усложнение задачиможет быть связано с добавлением третьего тела.
Так возникла гравитационная задача трех тел: три тела произвольных масс движутся в трехмерном пространствепод действием их взаимного притяжения по законам ньютоновской механики. Этапостановка аналогична постановке задачи двух тел и состоит в том, чтобы по известным начальным условиям найти зависимости координат и скоростей тел от временидля прошлых и будущих движений.Обозначим массы тел через mi , где i = 1, 2, 3 — номера тел; ri — радиус-векторател в прямоугольной системе координат (обычно начало кординат выбирается в центре масс тройной системы); пусть rij = rj − ri — вектор взаимного расстояния междутелами (j = 1, 2, 3, i ̸= j); G — гравитационная постоянная.
Предположим, что силавзаимного притяжения является единственной силой, действующей на тела. Тогдауравнения движения тел в векторной форме имеют вид:r̈i = G3∑mj rij, i = 1, 2, 3.3j=1, j̸=i |rij |(1.1)Эти три векторных дифференциальных уравнения второго порядка можно представить как девять скалярных дифференциальных уравнений второго порядка длякоординат тел или как 18 скалярных уравнений первого порядка для координат искоростей тел.Система уравнений (1.1) имеет 10 интегралов движения. Сложив уравнения (1.1)и проинтегрировав один и два раза по времени получим 2 векторных интегралацентра масс:3∑mi ṙi = C1 ,(1.2)mi ri = C1 · t + C2 .(1.3)i=13∑i=1Здесь C1 и C2 — векторные константы, все шесть компонентов этих векторов называются интегралами центра масс.
Из уравнения (1.3) следует, что центр масс тройнойсистемы всегда движется равномерно и прямолинейно. Если константы C1 = C2 = 0,то начало отсчета неподвижно и совпадает с барицентром тройной системы.Умножив векторно произведение радиус-вектора тела ri и его массы mi на векторускорения r̈i , просуммировав по всем телам и проинтегрировав, получим следующие18интегралы момента импульса (интегралы площадей):3∑mi ri × ṙi = C3 .(1.4)1Здесь C3 — вектор углового момента тройной системы.
Векторное соотношение (1.4)раскладывается на три скалярных выражения, соответствующих проекциям углового момента на координатные оси.Десятый интеграл (интеграл энергии) получается в результате скалярного умножения вектора скорости i -го тела на соответствующее уравнение движения (1.1),суммирования по всем телам и последующего интегрирования:323∑∑mi mj1∑mi ṙ2i − G= C4 = E,2 i=1i=1 j=i+1 rij(1.5)где постоянная E — полная энергия тройной системы.С помощью интегралов 1.2—1.5 можно понизить порядок системы уравнений движения (1.1) с 18 до 8.
В действительности, порядок системы уравнений (1.1) можнопонизить до 6, исключив время и так называемый восходящий узел. Якоби (1843)ввел замену переменных таким образом, чтобы два тела двигались вокруг третьегои показал, что различие в долготе между восходящими узлами траекторий двойнойи третьего тела постоянна и равна π.Так как константа E (1.5) может принимать значения любых знаков, то ее удобноиспользовать для классификации движений (см.
выше). Для E > 0 тройная системадолжна распасться. Возможны два варианта распада с точностью до перестановкител: либо образуется двойная, а третье тело уходит от нее по гиперболической орбите (гиперболо-эллиптические движения), либо все три тела разлетаются по гиперболическим орбитам (гиперболические движения). Случай E = 0 является исключительным и, по-видимому, в природе не встречается. Однако, если это действительновозможно, то система распадается: одно из тел ее покидает. Наконец, случай E < 0может привести или к распаду тройной системы (гиперболо-эллиптические движения), или к возникновению ограниченных движений, в частности к периодическиморбитам (эллиптические движения).В дополнение к интегралам движения, для определения устойчивости тройнойсистемы может быть использована теорема вириала:если расстояния и скорости ограничены, то⟨Ekin ⟩ = −⟨Epot ⟩,2(1.6)где ⟨Ekin ⟩ и ⟨Epot ⟩ — средние по времени, соответственно, кинетическая и потенциальная энергии тройной системы.
Система становится неустойчивой, если средняя19по времени кинетическая энергия более чем вдвое превышает среднюю по временипотенциальную энергию (Valtonen and Karttunen, 2006).При исследовании динамики тройных систем часто используют уравнения движения в гамильтоновой форме, впервые введенной Пуанкаре (Poincaré, 1892). Примемгравитационную постоянную G = 1. Введем следующие обозначения: ri = (q1i , q2i , q3i ),i = 1, 2, 3. Введем импульсы компонентов системы pki = mi q̇ki и гамильтониан системы, равный сумме потенциальной и кинетической энергий, H = Ekin + Epot . Тогдауравнения движения (1.1) можно записать в гамильтоновой форме:dqki∂H,=dt∂pkidpki∂H.=−dt∂qki(1.7)Как и система (1.1), система уравнений (1.7) содержит 18 неизвестных. Решениесистемы уравнений в форме (1.1) или (1.7) может быть представлено в виде кривых(траекторий движения тел) в трехмерном пространстве.В процессе динамической эволюции тройной системы расстояния между теламимогут становиться сколь угодно малыми — происходят тесные сближения или дажесоударения компонентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
