Диссертация (1150721), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При этом в процессе численного интегрирования правыечасти уравнений (1.1) растут тем быстрее, чем меньше расстояние между телами,что, в свою очередь, приводит к накоплению ошибок. Для устранения сингулярностей используются различные методы регуляризации уравнений движения (см., например, обзор в книге Мартыновой и др., 2010). Общая идея регуляризации состоитв преобразованиях времени и координат таким образом, чтобы исключить сингулярности в правых частях уравнений движения (1.1). В некоторых случаях регуляризирующее преобразование переводит истинные движения в трехмерном пространствев движения в пространстве с другой размерностью.
Часто используется следующеепреобразование времени: dt = rdτ , где r — минимальное расстояние между телами.Один из методов регуляризации был предложен в работе Кустаанхеймо и Штифеля(Kustaanheimo and Stiefel, 1965). При таком преобразовании производится переход оттрехмерных координат и скоростей к переменным в четырехмерных пространствах.Этот метод получил название KS–регуляризации.Обобщение KS–регуляризации для задачи трех тел было предложено в работеАарсета и Заре (Aarseth and Zare, 1974). Регуляризация двойных сближений проводится при помощи двух одновременных KS–преобразований для двух пар тел. Парывыбираются таким образом, чтобы в одну из них входили тела с минимальным взаимным расстоянием.
Также выполняется преобразование времени вида: dt = R1 R2 dτ ,где R1 и R2 — взаимные расстояния в парах, для которых производится регуляризация. Это преобразование не применимо для тройных соударений, при которых всетри взаимных расстояния одновременно стремятся к нулю, поскольку гамильтониани регуляризованные уравнения движения содержат члены, в которых в знаменате20ле стоит третье взаимное расстояние R, стремящееся к нулю при тройном соударении (Мартынова и др., 2010).
В процессе динамической эволюции тройной системыпроисходит непрерывное изменение взаимных расстояний между телами. Поэтому внекоторый момент времени минимальное расстояние может соответствовать другойпере тел. В таком случае происходит изменение пар тел, для которых выполняютсядва KS–преобразования.Еще один метод регуляризации двойных сближений в задаяче трех тел был предложен Хегги (Heggie, 1974): в нем одновременно проводятся KS–преобразования длявсех трех пар тел. Преобразование времени имеет вид: dt = R1 R2 R3 dτ . ПолученныеХегги преобразованные уравнения не содержат особенностей при двойных соударений, однако сингулярны при тройном соударении. Уравнения Хегги симметричныдля всех трех пар тел и не требуют перемены пар в отличие от метода Аарсета–Заре.В случае двойного соударения регуляризация позволяет продолжить движения засингулярность, что дает решение в виде упругого отскока (без изменения энергии).
Вслучае тройного соударения Зигель (Siegel, 1941) доказал, что аналитическое продолжение решения не может быть найдено практически для любых масс тел. Численноемоделирование задачи трех тел показывает, что во многих случаях тесное тройноесближение приводит к далекому выбросу или уходу из системы одного из тел (см.,например, Мартынова и др., 2010).211.3Частные случаиКак упоминалось ранее, Эйлер (Euler, 1767) и Лагранж (Lagrange, 1772) получилидва класса частных периодических решений задачи трех тел.
В обоих случаях теладвижутся по замкнутым эллиптическим орбитам. В первом случае движения происходят таким образом, что все три тела в каждый момент времени располагаются наодной прямой, которая вращается вокруг центра масс системы. Во втором случае вкаждый момент времени тела располагаются в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг центра масс системы. В обоих этих классах решенийтела находятся в так называемых центральных конфигурациях. По определению центральной конфигурации гравитационные ускорения тел прямо пропорциональны ихвекторам положения. Для центральной конфигурации отношения взаимных расстояний между телами в ходе динамической эволюции остаются постоянными.
Отметим,что решение Эйлера является неустойчивым по отношению к малым вариациям начальных условий. Конфигурационный треугольник Лагранжа в ходе вращения меняет свои размеры, оставаясь при этом равносторонним. В отличие от решения Эйлера,решение Лагранжа может быть как устойчивым, так и не устойчивым в зависимостиот отношений масс тел.Пуанкаре (Poincaré, 1892) разработал новый метод, который позволял находитьпериодические решения в круговой ограниченной задаче трех тел. Как оказалось,оригинальная версия этого метода может быть применена и для общей задачи трехтел.
Метод Пуанкаре состоит в следующем. Рассмотрим гамильтонову систему уравнений:∂Hdpi∂Hdqi=,=−.(1.8)dt∂pidt∂qiПредставим гамильтониан в виде ряда H = H0 + µH1 + µ2 H2 + . . ., где H0 = H0 (q),H1 , H2 , . . . — функции двух векторов q и p. Эти функции являются периодическимис периодом 2π относительно p. Здесь µ — параметр, зависящий от масс компонентов0и b — постоянныесистемы. Если µ = 0, то q = const. Тогда p = at + b, где a = ∂H∂qинтегрирования. Решение является периодическим, если величины ai соизмеримымежду собой. В действительности, если µ = 0, то существует бесконечное множествопостоянных a, определяющих периодические решения.Пуанкаре исследовал вопрос, можно ли получить аналитическое продолжение решения, если параметр µ остается малым (но при этом µ ̸= 0).
Пуанкаре (Poincaré,1890) получил условия, при которых это возможно (см. также Musielak and Quarles,2014). Используя свой метод, Пуанкаре установил, что существуют периодическиеорбиты для всех достаточно малых значений параметра µ. Подход Пуанкаре былобобщен в теоремах Пуанкаре–Бендиксона (Bendixson, 1901) и Пуанкаре–Биркгофа(Birkhoff, 1912, 1913, 1915). Согласно этим теоремам, периодические решения суще22ствуют даже для неинтегрируемых гамильтоновых систем.
Однако, эти теоремы незатрагивают вопрос, что произойдет с интегрируемой системой, если уравнения движения слабо возмущены. Ответ на этот вопрос был получен в рамках КАМ-теории.Важный результат, касающийся существования периодических орбит, был получен Хаджидеметриу (Hadjidemetriou, 1975a). Он доказал, что любая симметричнаяпериодическая орбита в рамках круговой ограниченной задачи трех тел может бытьаналитически продолжена до периодической орбиты в рамках общей плоской задачи трех тел (Hadjidemetriou, 1975b).
Используя данный аналитический результат,Бозис и Хаджидеметриу (Bozis and Hadjidemetriou, 1976) построили семейства периодических орбит в общей плоской задаче трех тел. Обобщение этих результатов натрехмерное пространство было проведено Катоподисом (Katopodis, 1979).Метод аналитического продолжения долгое время использовался для поиска периодических орбит. Суть метода состоит в следующем: взяв за основу некоторуюпериодическую орбиту в ограниченной задаче и варьируя начальные условия и/илимассы тел, мы можем обнаружить новое семейство периодических орбит в общей задаче трех тел. Подробное изложение этого метода дано в книге Маршаля (Marchal,1990).231.4Исследование периодических орбитВ последние полвека периодические орбиты в общей задаче трех тел обычно находились численно (см., например, Hénon, 1965; Szebehely, 1967; Moore, 1993; Šuvakovand Dmitrašinović, 2013; Titov, 2015).
Для оптимизации вычислений Маркеллосом(Markellos, 1980) была предложена формулировка общей пространственной задачитрех тел на основе идеи Хаджидеметриу и Кристидеса (Hadjidemetriou and Christides,1975). В работе Делибалтаса (Delibaltas, 1983) были аналитически определены периодические решения с двойными соударениями в общей задаче трех тел различныхмасс.
Во вращающейся системе координат было найдено 8 различных периодических орбит. Маркеллос (Markellos, 1981) численно нашел периодические орбиты впространственной круговой ограниченной задаче трех тел и соответствующие семейства периодических орбит в общей пространственной задаче трех тел. Было показано, что эти орбиты не изолированы, а формируют непрерывные однопараметрические семейства при заданных массах тел. Отметим, что существуют численноэкспериментальные методы построения периодических решений в рамках общей задачи трех тел (см., например, Valtonen et al., 1989).Новые периодические решения открывались при помощи комбинации аналитических и численных методов. В частности, в рамках общей задачи трех тел равных массМур (Moore, 1993) открыл, а Шансине и Монтгомери (Chenciner and Montgomery,2000) независимо переоткрыли периодическую орбиту восьмерка“ и формально до”казали ее существование (Montgomery, 2001).
Поиск новых периодических решенийв окрестностях орбиты восьмерка“ был выполнен численно в работе Шувакова”(Šuvakov, 2013). Устойчивость этого решения была исследована Симо (Simo, 2002)при помощи КАМ–теории. В работе Брука и др. (Broucke et al., 2006) для изучениясвойств этого решения была введена вращающаяся система координат. Чан и др.(Zhang et al., 2004) обнаружили новые бесстолкновительные симметричные периодические решения для фиксированных числа витков и масс тел. Шуваков и Дмитрашинович (Šuvakov and Dmitrašinović, 2013) обнаружили 13 новых периодических орбитв рамках общей плоской задачи трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.Один из современных методов поиска основан на минимизации функционала действия:∫ TA=(Ekin − Epot )dt.(1.9)0Здесь T — период.
Решение обычно представляется в виде отрезка ряда Фурье. Решается задача оптимизации — определяются начальные координаты и скорости тел, соответствующие минимуму функционала действия. Этот метод использовался, в частности, в работах Moore, 1993; Chenciner and Montgomery, 2000; Simo, 2002; Vanderbei,2004; Titov, 2006, 2012, 2015.24Кроме того, стали применяться топологические методы поиска периодическихрешений (см., например, работу Moore, 1993). Им предложена классификация простых бесстолкновительных периодических орбит в плоской задаче трех тел в видедиаграмм кос, состоящих из n прядей (n — число тел) в трехмерном пространствевремени, с потенциалами вида:αUij ∝ rij.(1.10)Для ньютоновского случая α = −1.
Мур численно получил условие существованияпериодических орбит в зависимости от параметра α.Частным случаем периодического решения в общей задаче трех тел является хореография. Хореографией называется периодическое решение, определяющее однузамкнутую кривую, вдоль которой движутся все три тела. Простейший пример хореографии — решение Лагранжа для тел равных масс, движущихся по одной замкнутой круговой орбите.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
