Диссертация (1150721), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Срединих 18 орбит для прямолинейной задачи трех тел (точки лежат на оси ξ), 22 орбиты для равнобедренной задачи (точки лежат на окружности: (ξ + 0.5)2 + η 2 = 1) и10 орбит для общего случая (точки лежат внутри или снаружи области D).Все найденные орбиты исследовались методами символической динамики. В результате было выделено два основных типа периодических орбит: в момент времениt = T /2 происходит либо остановка всех трех тел, либо соударение двух тел и остановка третьего тела.В заключении излагаются основные результаты диссертации.11Глава 1КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛГравитационная задача трех тел является одной из классических задач математики,механики и астрономии. Первая научная постановка этой задачи была дана ИсаакомНьютоном в его знаменитом труде Математические начала натуральной филосо”фии“, вышедшем в свет в 1687 году (Newton, 1687).
На протяжении прошедших столетий исследованиями задачи трех тел занималось большое число исследователей(см., например, книги Marchal (1990), Valtonen and Karttunen (2006), Мартыновойи др. (2010), а также обзорную статью Musielak and Quarles (2014)). Привлекательность этой задачи заключается в том, что ее просто сформулировать, но крайнетрудно решить.Важность задачи трех тел для небесной механики и звездной динамики состоитв том, что она позволяет описывать динамическую эволюцию многих астрономических объектов с хорошей степенью точности. Системы трех тел наблюдаются вшироких диапазонах параметров (расстояний, масс, времен): космические аппараты(например, система Солнце–Земля–Луна), тройные астероиды, планетные системы,кратные звезды, тройные черные дыры в ядрах галактик, триплеты галактик и др.Как правило, можно рассматривать ньютоновскую задачу трех тел, однако в некоторых случаях (например, высокоточное моделирование орбит КА, динамика кратных черных дыр и др.) необходимо учитывать релятивистские поправки.
Изучениединамики тройных систем позволяет ответить на различные вопросы, касающиесяформирования и эволюции таких систем.Во многих случаях аппроксимация компонентов точечными массами позволяетнадежно отобразить характерные черты динамики реальных тройных систем безучета других параметров (размеры тел, их строение, форма и т.д.). Такое приближение значительно упрощает динамическое описание системы и сводит ее изучениек классической задаче трех тел.121.1История и достижения в изучении задачи трехтелНьютон, отталкиваясь от законов Кеплера, получил закон всемирного тяготения. Английский ученый первым понял, что все тела притягиваются друг к другу с силой,прямо пропорциональной массам тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
На основе закона всемирного тяготения Ньютону удалось построить теории движения Луны, комет и планет Солнечной системы, теорию приливови отливов, оценить массу Земли и Луны. Нельзя не отметить, что для решения поставленных задач Ньютон разработал аппарат дифференциального и интегральногоисчислений, составивший основу математического анализа.При построении теории движения Луны необходимо учитывать притяжение какСолнца, так и Земли. Таким образом, формулируется задача гравитационного взаимодействия трех тел.
Ньютону не удалось получить точное решение, однако он смогнайти приближенное решение.Дальнейшее развитие изучения задачи трех тел было достигнуто в работах Эйлера (Euler, 1767) и Лагранжа (Lagrange, 1772). Ими были найдены первые частныеаналитические решения для тел произвольных масс. Эйлер получил решение, в котором в каждый момент времени все три тела находятся на одной вращающейсявокруг центра масс прямой (сизигия), а все тела движутся по эллипсам.
В решении, полученном Лагранжем, в любой момент времени тела находятся в вершинахравностороннего треугольника, пульсирующего и вращающегося вокруг центра масстройной системы. Тела также движутся по эллипсам. Заметим, что решения Эйлера и Лагранжа являются периодическими — через определенный интервал временикоординаты и скорости всех тел равны их начальным значениям.Упрощенный вариант задачи трех тел представляет собой ограниченная задачатрех тел: массой одного из тел можно пренебречь (приравнять к нулю). Для описания круговой ограниченной задачи (тела конечных масс двигаются по относительнойкруговой орбите) Эйлер впервые ввел вращающуюся систему координат.
Кроме того,Эйлер обнаружил три равновесные точки, лежащие на прямой, соединяющей центры массивных тел. Позже Лагранжем были найдены еще две точки, находящиеся ввершинах равносторонних треугольников. В литературе часто все пять точек называют точками Лагранжа. Точки равновесия неподвижны во вращающейся системекоординат, в них уравновешены гравитационные силы со стороны массивных тел.В Солнечной системе известны группы тел, которые находятся в окрестности треугольных точек Лагранжа. Например, группы астероидов Греки и Троянцы в системеСолнце–Юпитер.
Недавние исследования показали, что аналогичные астероиды находятся в системах Солнце–Земля, Солнце–Марс, Солнце–Сатурн, Солнце–Нептун.13В дальнейшем изучением круговой ограниченной задачи трех тел занимались,в частности, Якоби и Хилл. Используя вращающуюся систему координат, Якоби(Jacobi, 1836) получил интеграл движения, впоследствии названный в его честь. Применяя интеграл Якоби к движениям астероидов, Хилл (Hill, 1877, 1878a,b,c) нашелобласти возможных движений и ввел поверхности нулевых скоростей, ограничивающие эти области.
Кроме того, им была сформулирована и исследована задача трехтел, в которой одно тело имеет массу много больше масс двух других и находится набольшом удалении от них (расстояние между двумя телами много меньше расстояний между ними и самым массивным телом). Эта задача получила название задачиХилла. В рамках этой задачи Хилл нашел новый класс периодических решений, атакже применил ее для построения теории движения Луны, предсказывавшей положения спутника точнее, чем теория Ньютона.В конце XIX века значительный вклад в задачу трех тел был внесен французскимматематиком Пуанкаре.
Его фундаментальный труд Новые методы небесной меха”ники“, опубликованный в 1892–1899 гг., в большей степени посвящен изучению круговой ограниченной задачи трех тел (Poincaré, 1892). При исследовании этой задачиПуанкаре разработал ряд новых качественных методов решения дифференциальныхуравнений и использовал эти методы для обнаружения и изучения периодическихрешений.
В то же время Пуанкаре показал неинтегрируемость системы уравнений,описывающей движения в задаче трех тел. Новые методы, развитые Пуанкаре, позволили ему выявить непредсказуемость движений в общей задаче трех тел и установитьпроявления нового феномена, известного сейчас, как хаос. Пуанкаре изучил задачу Хилла и обобщил определение периодических орбит. Он нашел такие начальныеусловия, которые соответствовали периодическим решениям в специальном случаеограниченной задачи трех тел. Пуанкаре выделил три сорта решений: первый сортсодержал решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел, второйсорт — решения, порожденные эллиптическими орбитами в задаче двух тел, третийсорт — решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел с ненулевымнаклоном орбиты третьего тела по отношению к плоскости движения главных тел.Работы Пуанкаре послужили стимулом для дальнейших поисков, изучения и классификации периодических орбит в задаче трех тел, а также исследования вопросаоб их устойчивости.Дальнейшее обобщение и развитие идей Пуанкаре об устойчивости периодических орбит было осуществлено в работах Биркхоффа в начале XX века.
Он ввелпонятие рекуррентного движения, которое в течение достаточно длительного интервала времени подходит сколь угодно близко к любому своему состоянию, и показал,как это соотносится с орбитальной устойчивостью. Кроме того, Биркхофф доказалпоследнюю геометрическую теорему“, сформулированную Пуанкаре. Эта теорема”14утверждает, что существует бесконечно много периодических орбит вблизи любойустойчивой периодической орбиты.Занимаясь поиском периодических и непериодических решений в задаче трех тел,исследователи осознали, что дифференциальные уравнения движения содержат сингулярности.
Такие сингулярности обусловлены двойными и тройными соударениями, при которых одно или все три расстояния между телами становятся равныминулю. Двойные соударения не являются существенной особенностью и дальнейшееаналитическое продолжение решения возможно. Тройные соударения представляют собой существенные особенности и в общем случае не допускают аналитическогопродолжения. Совокупность методов, позволюящих устранить сингулярности уравнений движения при двойных соударениях, получили название регуляризации уравнений движения. Заметим, что идея регуляризации движений при двойном соударении в задаче двух тел принадлежала Эйлеру (Euler, 1767).
В своих работах Пенлеве(Painlevé, 1896, 1897) впервые начал исследовать сингулярности в задаче трех тел.Он определил, что в тройных системах сингулярности появляются только при соударениях и они могут быть исключены при определенных начальных условиях, длякоторых уравнения движения могут быть проинтегрированы с помощью степенныхрядов. Несмотря на то, что Пенлеве не смог найти решений в виде рядов, его работыпослужили хорошим стимулом для дальнейших исследований в этой области.В начале XX века регуляризацией двойных соударений занимались Леви-Чивита(Levi-Civita, 1903), Сундман (Sundman, 1907, 1909, 1912) и др. Кроме того, они исследовали тройные соударения и сформулировали теоремы, позволяющие найти условиядля таких соударений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
