Диссертация (1150721), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поскольку полная энергия тройной системы E = −1 и имеетместо зеркальная симметрия движений относительно осей координат, то параметрыk и φ достаточно варьировать в следующих интервалах: k ∈ (0, 1); φ ∈ (0, π2 ). Значения k = 0 и k = 1 соответствуют тройным соударениям. При значении φ = 0 задачавырождается в прямолинейную, а при φ = π2 — в равнобедренную. Эти граничныезначения k и φ нами не рассматривались. Выражения для начальных координат искоростей компонентов тройной системы через параметры k и φ имеют следующийвид:55x1 = − (1 − k), x2 = 0, x3 = (1 − k);22(2.1)y1 = y2 = y3 = 0;(2.2)1ẋ1 = −32ẋ2 =3√√1ẋ3 = −31ẏ1 = −32ẏ2 =3(2.3)3kcos φ,1−k(2.4)3kcos φ;1−k(2.5)3ksin φ,1−k(2.6)3ksin φ,1−k(2.7)3ksin φ.1−k(2.8)√√√1ẏ3 = −33kcos φ,1−k√29Вследствие того, что движение происходит в плоскости, координаты и скорости всехтел по оси z равны нулю.В нашей работе, как и в (Мартынова и др., 2009), использовалась система динамических единиц:• единица расстояния — средний размер тройной системыd=∑Gmi mj,|E|i<j(2.9)где G — гравитационная постоянная, mi (i = 1, 2, 3) — массы тел;• единица времени — среднее время пересечения компонентом тройной системы∑3τ=G(mi )5/2.(2|E|)3/2i=1(2.10)Кроме того, полагалось, что G = 1 и mi = 1 (i = 1, 2, 3).
Таким образом, в принятой√нами системе единиц d = 3, τ = 30.375.Для каждой из рассмотренных нами тройных систем вычисления проводились домомента выполнения одного из двух условий.1. Максимальное взаимное расстояние между компонентами становится больше,чем rmax = 5d при t < 20 000τ .
В ходе динамической эволюции системы происходит выброс одного из компонентов — нарушается устойчивость системы.Такие системы будем называть неустойчивыми. В дальнейшем тройная система распадается.2. Время существования системы до выброса t > 20 000τ при rmax < 5d. Движениятел ограничены в пределах сравнительно небольшого объема пространства —тройная система остается устойчивой на рассмотренном интервале времени.Такие системы будем называть устойчивыми. Согласно КАМ-теории, в этоммножестве должны существовать устойчивые по Лагранжу системы, сохраняющие ограниченные движения на бесконечном интервале времени.Как и в работе Мартыновой и др.
(2009), нами проводилось численное интегрирование уравнений движения общей задачи трех тел методом Булирша–Штёра(Bulirsch and Stoer, 1966) с использованием регуляризации Арсета–Заре (Aarsethand Zare, 1974). Все вычисления проводились по программе TRIPLE, составленнойС.
Арсетом (см. Aarseth, 2003). При вычислениях использовался параметр точностиε = 5 · 10−13 . Отметим, что данные алгоритмы и программы использовались во всехвычислениях, проведенных в рамках диссертационной работы.302.2Результаты исследования переходных областеймежду известными периодическими орбитамиВ работе Мартыновой и др. (2009) была построена карта областей устойчивости вкоординатах k и φ при t > 10 000τ (см. рис. 2 в работе Мартыновой и др., 2009). Нарисунке выделяются три большие области устойчивости, связанные с периодическими орбитами Шубарта, Мура и Брука.
S-орбита (начальные условия: k ≈ 13 и φ ≈ 32 )находится в верхней части области устойчивости, связанной с орбитой Шубарта.В диссертационной работе было выполнено сканирование избранных участковплоскости (k, φ) между областями устойчивости (переходные области) — проводилось одномерное сканирование (перебор) вдоль отрезков прямых, попарно связывающих области устойчивости:1.
переходная область между областью орбиты Шубарта и областью орбиты Мураφ = 10k − 3.01;2. переходная область между областью орбиты Мура и областью орбиты Брукаφ = −10k + 5.85.Сканирование производилось с шагами ∆k = 5 · 10−6 и ∆φ = 5 · 10−5 . Для первогоотрезка начальная точка (k, φ) = (0.371, 0.70), конечная точка (k, φ) = (0.411, 1.10).Для второго отрезка начальная точка (k, φ) = (0.485, 1.00), конечная точка (k, φ) =(0.450, 1.35). Результаты сканирования представлены на рис.
2.1 и 2.2.По оси абсцисс отложены значения координаты k вдоль сканируемых отрезков,по оси ординат — время Te нарушения устойчивости тройной системы. При Te >20 000τ система устойчива. Границы отрезков попадают внутрь соответствующих областей устойчивости, связанных с периодическими орбитами. В пограничных участках Te > 20 000τ . Внутри переходных областей поведение тройных систем различно:в большинстве случаев системы неустойчивы и распадаются при Te < 20 000τ ; такженаблюдаются островки устойчивости, в которых Te > 20 000τ .
Как правило, времяпотери устойчивости не превышает 1 000τ . Границы областей устойчивости, связанных с периодическими орбитами, могут быть как резкие (правые части рис. 2.1 и 2.2,что соответствует области орбиты Мура), так и размытые“ (левые части рис. 2.1 и”2.2, что соответствует областям орбит Шубарта и Брука).Было проведено исследование зависимости результатов от принятого значенияпараметра точности ε. Наряду со значением ε = 5 · 10−13 были рассмотрены значенияε = 5 · 10−12 и ε = 5 · 10−14 . Соответствующие зависимости Te (k) при рассмотренных31Рис. 2.1: Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной области от области орбиты Шубарта (слева) к области орбиты Мура (справа).Параметер точности ε = 5 · 10−13 .Рис.
2.2: Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходнойобласти от области орбиты Брука (слева) к области орбиты Мура (справа). Параметер точности ε = 5 · 10−13 .дополнительных значениях ε для первой и второй переходных областей представлены на рис. 2.3 и 2.4. Сравнение этих рисунков с рис.
2.1 и 2.2 показывает, чтокачественный характер зависимости Te (k) сохраняется при рассмотренных значениях параметра точности.Рассмотрим распределения времени нарушения устойчивости для неустойчивыхтройных систем. На рис. 2.5 и 2.6 показаны гистограммы плотности распределенийf (Te ) для исследуемых переходных областей на интервале Te ∈ (0, 1 000τ ). В каждом32Рис. 2.3: Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходнойобласти от области орбиты Шубарта (слева) к области орбиты Мура (справа) призначениях параметра точности ε = 5 · 10−12 (а) и ε = 5 · 10−14 (б).Рис.
2.4: Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходнойобласти от области орбиты Брука (справа) к области орбиты Мура (справа) призначениях параметра точности ε = 5 · 10−12 (а) и ε = 5 · 10−14 (б).из распределений имеется один глобальный максимум. Для первой области максимум находится в интервале от 20τ до 60τ ; для второй области максимум становитсязаметно шире, смещается в сторону бо́льших значений Te и находится в интервале от250τ до 500τ . Средние значения времен жизни тройных систем составляют T 1 = 501τ ,T 2 = 1 055τ ; стандарты распределений равны σ1 = 1 469τ , σ2 = 1 871τ . Отметим, чтодля второй переходной области между областями орбит Брука и Мура среднее времяжизни неустойчивых тройных систем примерно в два раза больше среднего времени33жизни неустойчивых систем в первой переходной области между областями орбитШубарта и Мура.
Таким образом, во второй переходной области для неустойчивыхтройных систем в среднем требуется больше времени от начала эволюции до момента далекого выброса одного компонента из системы, нежели для триплетов изпервой переходной области. Заметим, что во втором случае отсутствуют системы, укоторых Te < 50τ . Асимметрия и эксцесс для первой и второй переходных областей,соответственно, равны As1 = 7.4, Ex1 = 66; As2 = 5.8, Ex2 = 40. Оба распределенияскошены в сторону бо́льших времен.Рис. 2.5: Распределение времени жизни для неустойчивых систем в переходной области от области орбиты Шубарта к области орбиты Мура.Были исследованы распределения f (Te ) при Te > 1 000τ . Соответствующие распределения для первой и второй переходной областей показаны на рис.
2.7 сплошными линиями. Штриховыми линиями показаны степенные аппроксимации распределений вида f1 (Te ) ∝ Te−α , а штрихпунктирными линиями — аппроксимации экспоненциальными функциями вида f2 (Te ) ∝ e−βTe . Как видно из рисунка, степенной закон приближает распределение времени жизни гораздо лучше, чем показательный.Были получены следующие оценки параметров функций распределения: α1 = 1.9,β1 = 2.3 · 10−4 ; α2 = 2.1, β2 = 2.5 · 10−4 .Дополнительно был проведен анализ отдельных траекторий в рассмотренных переходных областях.
Примеры эволюции неустойчивых тройных систем с начальнымиусловиями (k, φ) = (0.45628, 1.2872) в окрестности области орбиты Брука, (k, φ) =(0.48455, 1.0045) в окрестности области орбиты Мура, (k, φ) = (0.374085, 0.73085) вокрестности области орбиты Шубарта показаны на рис. 2.8– 2.10. Системы становятся неустойчивыми при t = 1 237 τ , t = 1 024 τ и t = 438 τ соответственно.34Рис. 2.6: Распределение времени жизни для неустойчивых систем в переходной области от области орбиты Брука к области орбиты Мура.Рис. 2.7: Распределения времени жизни для неустойчивых систем в первой (а) и второй (б) переходных областях. По обеим осям использован логарифмический масштаб.Штриховой линией показана степенная аппроксимация, штрихпунктирной линией —экспоненциальная аппроксимация полученного распределения (сплошная линия).Эволюцию неустойчивой тройной системы можно разделить на три основных этапа:351.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
