Диссертация (1150721), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Внутри переходной области вне областей устойчивости динамическая эволюция тройных систем завершается далеким выбросом одного из компонентов или уходом по гиперболической орбите, при этом два других тела образуюттесную двойную с эллиптическим движением. Построено распределение времени потери устойчивости. Показано, что на больших временах это распределение имеетстепенной закон.
В результате изучения отдельных траекторий в переходных областях были выделены три основных этапа эволюции неустойчивых тройных систем.Был разработан алгоритм поиска близких к периодическим орбит, основанный наминимизации безразмерной функции, равной сумме квадратов отклонений текущихкоординат и скоростей тел от начальных.Посредством разработанного алгоритма и сканирования области начальных параметров (k, φ) были обнаружены и описаны области начальных условий, каждая изкоторых соответствует определенной периодической орбите с периодом T < 100τ . Всеобнаруженные близкие к периодическим орбиты обладают симметрией относительно поворота на 180◦ : витки траекторий крайних тел накладываются друг на друга,а витки траектории центрального тела самосимметричны.
Это свойство орбит обусловлено способом задания начальных условий: в начальный момент времени все тритела находятся на одной прямой (сизигия), причем одно из тел помещено в центремасс тройной системы. Для ряда орбит также имеет место осевая симметрия относительно двух взаимно ортогональных осей, проходящих через центр масс тройнойсистемы.
В отдельных случаях происходит бифуркация периода орбиты.В области начальных условий, определяемых параметрами (k, φ), обнаруженныеорбиты образуют различные семейства. Принадлежность к тому или иному семейству определяется топологическим сходством и кратностью периода данной орбиты(порожденной) периоду основной (порождающей) орбиты. В качестве порождающихорбит, как правило, выступают известные орбиты: орбита Шубарта, S-орбита, орбита Мура и орбита Брука. Новая орбита 27 (рис. 2.27г) с периодом T = 6.08τ , повидимому, является порождающей, т.к.
ее период не кратен ни одному из четырехперечисленных выше. Эта орбита является базовой для орбит 28 и 29, представленных на рис. 2.28а,б. Их периоды отличаются в 4 раза: T28 ≈ T29 ≈ 4T27 .У орбит из множества, порожденного орбитой Шубарта, с ростом периода прослеживается закономерное изменение топологической структуры: в течение одного67периода увеличивается количество витков траекторий каждого тела, однако формаорбиты сохраняется на качественном уровне (центральное тело поочередно сближается с каждым из крайних тел, причем число сближений увеличивается с ростомпериода).В множестве, порожденном орбитой Шубарта, выделяется особая S-орбита (Мартынова и др., 2009) с периодом, приблизительно равным утроенному периоду орбитыШубарта. В свою очередь, S-орбита порождает свое собственное множество орбитс периодами, кратными ее периоду.
Отметим, что практически для всех орбит измножества орбиты Шубарта витки траекторий тел на начальной стадии движениятопологически напоминают S-орбиту (в течение времени, приблизительно равногопериоду S-орбиты).При переходе через некоторую область начальных условий (пограничную область) происходит качественное изменение топологии орбит: с одной стороны этойобласти орбиты принадлежат множеству орбиты Шубарта, а с другой — множествуS-орбиты.
В этой пограничной области были найдены и исследованы близкие к периодическим орбиты.68Глава 3ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ СНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИСКОРОСТЯМИ3.1Постановка задачи и общие результатыПрименим описанный ранее алгоритм поиска близких к периодическим орбит длядругого способа задания начальных условий. Рассмотрим общую задачу трех телравных масс с нулевыми начальными скоростями (Equal–Mass Free–Fall Three–BodyProblem). Поиск начальных условий для близких к периодическим орбит проводился при помощи сканирования области D всех возможных конфигураций тройныхсистем, задаваемых координатами (ξ, η) (Агекян и Аносова, 1967) (рис. 3.1).
Первоетело A находится в точке с координатами (−0.5, 0), второе тело B находится в точке с координатами (+0.5, 0), а третье тело C располагается в точке с координатами(ξ, η) в замкнутой области D, ограниченной осями координат и дугой окружностиединичного радиуса с центром в точке A: (ξ + 0.5)2 + η 2 = 1. В работе (Агекян иАносова, 1967) было показано, что для любого треугольника найдется подобный емув области D.
Таким образом, в общей задаче трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями координаты (ξ, η) однозначно определяют начальные условиявсех возможных траекторий.Рассмотрим движения тел в плоскости xOy конфигурационного треугольника, гденачало координат O находится в центре масс тройной системы. Для каждой из исследованных тройных систем вычисления проводились до момента времени t, равного100 τ . При вычислениях использовалась динамическая система единиц, применявша√яся ранее (см. 2.9, 2.10).
Сканирование области ξ ∈ (0, 0.5], η ∈ (0, 23 ) проводилосьс шагами ∆ξ = ∆η = 0.0001. В исследуемой прямоугольной области определялисьточки, окрестности которых могут содержать начальные условия для точных периодических орбит. Для этого требовалось выполнение двух условий: минимум функции69Рис. 3.1: Область D всех возможных конфигураций тройных систем.Φ(t) (2.11), равной корню квадратному из суммы квадратов разностей начальных итекущих координат и скоростей тел, был меньше Φcrit = 0.03; момент времени T достижения этого минимума не превышал критического значения, принятого равным100 τ .Как и ранее, уравнения движения общей задачи трех тел численно интегрировались методом Булирша–Штёра (Bulirsch and Stoer, 1966) с использованием регуляризации Арсета–Заре (Aarseth and Zare, 1974).
Все вычисления проводились попрограмме TRIPLE, составленной Арсетом (Aarseth, 2003). При вычислениях использовался параметр точности ε = 1 · 10−15 .В результате сканирования было обнаружено 50 близких к периодическим орбит (рис. 3.2). Все орбиты можно разбить на три типа, в зависимости от начальной конфигурации: прямолинейный случай — движения тел происходят вдоль однойнеподвижной прямой; равнобедренный случай — в каждый момент времени тела образуют равнобедренный треугольник; общий случай — тела находятся в вершинахпроизвольного треугольника.70Рис. 3.2: Начальные условия (ξ, η) для близких к периодическим орбит с периодамиT < 100τ .Построенные траектории представлены на рис. 3.3–3.17. При построении траекторий использовался параметр точности ε = 2 · 10−16 . На рисунках представленытраектории движения тел в системе координат, связанной с центром масс тройнойсистемы, в течение одного периода.
Для систем с начальными условиями на осиOξ вместо траекторий, которые представляют собой отрезки прямых, для наглядности приведены зависимости от времени координат x всех трех тел (в этих случаяхкоординаты y равны нулю). Характеристики найденных орбит представлены в таблицах 3.1– 3.4. Для каждой орбиты в таблицах указаны номер, начальные условия(ξ, η), приближенное значение периода T в единицах τ , символическая последовательность (см. ниже) и событие в момент t = T /2.713.2Прямолинейный случайВблизи оси абсцисс было обнаружено 17 областей, в которых могут находиться начальные условия для точных периодических орбит (рис. 3.3–3.10).
Мы предполагаем,что начальные условия для периодических орбит находятся на оси абсцисс Oξ, тоесть эти орбиты относятся к прямолинейной задаче трех тел. В этих случаях центральное тело C испытывает двойные соударения с каждым из крайних тел A иB. Различным периодическим орбитам соответствуют разные последовательностисоударений.Таблица 3.1: Характеристики найденных близких к периодическим орбит в прямолинейной задаче.N123456789101112131415161718ξ0.01540.02560.02570.04060.06490.08860.14770.15280.16620.19840.20200.20730.21520.22260.34970.23340.21650.0817T, τСимволическая последовательность5.05BAB AAAAAA BAB4.35BAB AAAA BAB8.32BAB AAAA BAB BAB AAA BAB3.98BAB AAA BAB5.80BAB AA BAB AA BAB3.59BAB AA BAB5.84BABABA B ABABAB4.03BABA B ABAB2.21BA B AB6.20BBAB AAAAAAA BABB5.85BBAB AAAAAA BABB5.49BBAB AAAAA BABB5.13BBAB AAAA BABB4.75BBAB AAA BABB9.62B(5) AB A(9) BA B(5)10.20 BBAB AA (BA)(2) BAB (AB)(2) AA BABB10.97BBAB A(4) BAB B(4) BAB A(4) BABB11.18BAB AA (BA)(3) BBB (AB)(3) AA BABПримечанияОстановкаОстановка–СоударениеСоударениеОстановкаСоударениеСоударениеСоударениеСоударениеОстановкаСоударениеОстановкаСоударениеСоударениеСоударениеОстановкаСоударениеДля описания траекторий будем использовать методы символической динамики(см., например, Алексеев, 2001; Saito and Tanikawa, 2009).
Введем символы A и B,обозначающие двойные соударения тела C с телами A и B, соответственно. Тогдакаждую из периодических орбит в течение одного периода можно представить ввиде базовой последовательности символов (четвертый столбец в табл. 3.1–3.4). Динамическая эволюция периодических орбит на интервале времени, кратном периоду,представляется повторением базовой последовательности. Отдельным фрагментамбазовых последовательностей приближенно соответствуют определенные интервалывремени ∆t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
